1、,4.1.1 定积分的背景 面积和路程问题,这些图形的面积该怎样计算呢？如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的一个典型问题。,引入新课 合作探究 思考交流 学以致用 课堂小结 作业布置,我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。,引入新课 合作探究 思考交流 学以致用 课堂小结 作业布置,1,一.曲边梯形的概念：,引入新课 合作探究 思考交流 学以致用 课堂小结 作业布置,2,探究1（阿基米德问题）：求由抛物线y=x2与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积,Archimedes，约公元前287年约公元前212年,引入新课 合作探究 思考交流
2、学以致用 课堂小结 作业布置,3,问题1：我们古代的数学家是怎样计算圆的面积的？ 圆周率是如何确定的？,割圆术,刘徽,祖冲之,引入新课 合作探究 思考交流 学以致用 课堂小结 作业布置,4,问题2：你知道祖冲之的“割圆术”是怎样操作的？对我们有何启示？,引入新课 合作探究 思考交流 学以致用 课堂小结 作业布置,5,割圆术,用圆的外切正多边形的面积（圆面积的过剩估计值)和圆的内接正多边形的面积（圆面积的不足估计值）来逼近圆的面积。,祖冲之,分割,近似替代,求和,逼近（极限）,区间长度：x=,区间高：h=,小矩形面积：S=,第i个小区间,探究1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形
3、的面积。,引入新课 合作探究 思考交流 学以致用 课堂小结 作业布置,6,引入新课 合作探究 思考交流 学以致用 课堂小结 作业布置,7,引入新课 合作探究 思考交流 学以致用 课堂小结 作业布置,10,探究1.求由抛物线y=x2与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积的近似值,引入新课 合作探究 思考交流 学以致用 课堂小结 作业布置,7,问题3：如何更精确地求出阴影部分的面积S?,0.1 0.2 0.3 . 0.9 1,0.1 0.2 0.3 0.9 1,A A1+ A2 + + An,将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩形的面积代替小曲边梯形 的面积，再求和，于是曲边梯形的面积A近
4、似为：, 以直代曲,无限逼近（用过剩估计值和不足估计值无限逼近曲边梯形面积的准确值。）,抽象概括：求曲边梯形的面积的方法：,引入新课 合作探究 思考交流 学以致用 课堂小结 作业布置,12,引入新课 合作探究 思考交流 学以致用 课堂小结 作业布置,13,（2）其中体现了“以直代曲”和“无限逼近”的数学思想，这也是定积分的基本思想,练习1 S为曲线 yx25,直线x=0,x=2及x轴所围成的平面图形的面积 （1）画出该平面图形；(2)试估计该平面图形的面积.,引入新课 合作探究 思考交流 学以致用 课堂小结 作业布置,14,0.2 1.8,0.2 1.8,解 将区间0,2 10等分，如图：,过
5、剩估计值S1(0250.2251.825)0.27.72 不足估计值S2(0.2250.4251.825225)0.26.92 可以用过剩估计值或不足估计值或它们中间的一个值来估计平面图 形的面积。,练习1 S为曲线 yx25,直线x=0,x=2及x轴所围成的平面图形的面积 （1）画出该平面图形；(2)试估计该平面图形的面积.,引入新课 合作探究 思考交流 学以致用 课堂小结 作业布置,14,探究2 求变速运动的路程 一辆汽车在直线形公路上变速行驶，汽车在时刻t的速度为v(t)t25(单位：km/h)试估计这辆汽车在0t2 (单位：h)这段时间内行驶的路程,思路点拨与求曲边梯形面积类似，将区间
6、0,2分成n个小区间，在每个小区间上，由于v(t)的变化很小，可近似的看做汽车做匀速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，再求和得S的近似值，即通过求矩形面积问题即可解决故采取“以不变代变”，将变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题。,引入新课 合作探究 思考交流 学以致用 课堂小结 作业布置,15,解： 将区间0,2 10等分，如图：,估计该车在这段时间内行驶的路程介于6.92 km与7.72 km之间,引入新课 合作探究 思考交流 学以致用 课堂小结 作业布置,16,过剩估计值S1(0250.2251.825)0.27.72(km) 不足估计值S2(0.2250
7、.4251.825225)0.26.92（km）,引入新课 合作探究 思考交流 学以致用 课堂小结 作业布置,18,反思与感悟,一.本节课你学到了哪些知识 ？,二.本节课用到哪些数学思想方法？,知识回顾 引入新课 合作探究 思考交流 学以致用 课堂小结 作业布置,1.曲边梯形的概念。 2.求曲边梯形的面积（变速直线运动的路程）的一般步骤：分割、近似替代、求和、逼近(取极限) 3.了解了定积分的实际背景-曲边梯形的面积和变速直线运动的路程。,“以直代曲”、“以不变代变” “无限逼近”的数学思想方法， 这也是定积分的基本思想,引入新课 合作探究 思考交流 学以致用 课堂小结 作业布置,19,知识回顾 引入新课 合作探究 思考交流 学以致用 课堂小结 作业布置,（1）必做题：课本：P80 A 组 1、2 题,（2）选做题：,（3）思考题：,弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即F(x)=3(x为伸长量， 单位：m,力的单位:N），试估计弹簧从平衡位置拉长5m所做 的功，并写出估计值的误差。,引入新课 合作探究 思考交流 学以致用 课堂小结 作业布置,20,以区间内任意点i的函数值f(i)作高，求此时曲边梯形的面积,感谢各位领导和各位老师的聆听，希望多提宝贵意见！,一沙一世界，一花一天堂。 掌上有无穷，瞬间即永恒。,-布莱克（英国）,欣赏小诗：,
