1、4.2 最大值、最小值问题,1.理解函数最值的概念 2.掌握利用导数求函数最值的方法 3.掌握利用导数求最值的步骤.,1.求函数在a，b上的最值(重点) 2.函数的极值与最值的区别与联系(易混点) 3.利用函数的单调性，图象等综合考查(难点),1函数极值的判定 解方程f(x)0，当f(x0)0时， (1)如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极小值 2函数yx24x4在3,4上的最大值为 ，最小值为 .,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,36,0,1函数f(x)在闭区间a，b上的最值 如果在区间a，b上函数
2、yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b上一定能够取得 和 并且函数的最值必在 或 取得 2求函数yf(x)在a，b上最值的步骤 (1)求函数yf(x)的 ； (2)将函数yf(x)的 与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,最大值,最小值,极值,端点处,极值,各极值,端点值,1函数f(x)x33x1的闭区间3,0上的最大值、最小值分别是( ) A1、1 B1、17 C3、17 D9、19 解析： f(x)3x23，令f(x)3x230，x21，x1 f(3)17，f(1)3，f(0)1，最大值3.最小值17. 答案： C,答案： B,3函数f(x)lnxx在(0，
3、e上的最大值为_答案： 1,4已知函数f(x)2x312x.求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在1,3上的最大值和最小值,解题过程 (1)f(x)4x34x， 令f(x)4x(x1)(x1)0，得 x1，x0，x1. 当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表：,1.已知函数f(x)2x36x2a在2,2上有最小值37. (1)求实数a的值； (2)求f(x)在2,2上的最大值 解析： (1)f(x)6x212x6x(x2) 令f(x)0得x0或x2. f(2)a40，f(0)a，f(2)a8， 比较知f(x)的最小值是f(2)， 由已知f(2)a4037， a3.,(2)由a
4、3知f(0)3，f(2)5 f(0)3是f(x)在2,2上的最大值,故m2时才可能有符合条件的m，n. 当m2时，只有n3符合要求 当m3时，只有n5符合要求 当m4时，没有符合要求的n. 综上所述，只有m2，n3或m3，n5满足上述要求,已知函数f(x)x3ax2bxc(a，b，cR)(1)若函数f(x)在x1和x3处取得极值，试求a，b的值；(2)在(1)的条件下，当x2,6时，f(x)2c恒成立，求c的取值范围,(2)由(1)知f(x)x33x29xc，f(x)3x26x9，当x变化时，有下表：,而f(2)c2，f(6)c54， x2,6时，f(x)的最大值为c54. 要使f(x)2c恒
5、成立，只要c542c即可 c54. c的取值范围为(54，),1函数的极值表示函数在某一点附近的局部性质，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较 2函数的极值不一定是最值，需要将极值和区间端点的函数值进行比较，或者考查函数在区间内的单调性,3如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值 4可导函数在极值点的导数为零，但是导数为零的点不一定是极值点例如，函数yx3在x0处导数为零，但x0不是极值点,(1)抽象出实际问题的数学模型，列出变量之间的函数关系式yf(x)； (2)求出函数的导数f(x)，解方程f(x)0； (3)比较函数在区间端点和使f(x)0的点的取值大小，最大者为最大值、最小者为最小值,已知aR，f(x)(x24)(xa) (1)求f(x)； (2)若f(1)0，求函数f(x)在2,4上的最大值和最小值,【错因】 第(2)问，求函数f(x)在2,4上的最大值和最小值时，误将f(x)在2,4上的极值当作了最值，再就是没有将区间端点的函数值与极值进行大小比较，从而导致出现错误,
