1、导数在实际问题中的应用,4.2.2最大值、最小值问题,函数的极值是局部性概念，而最值是一个全局性概念。,一、函数的最大值与最小值的定义：,函数y=f（x）在a,b上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f（ x0 ）。,同理，如果所有点的函数值都不小于f（ x0 ），即xa，b,都有f（x） f（ x0 ），则称x0是最小值点。,结论：,即：xa,b,都有f（x） f（ x0 ）,三.求最大（最小）值应用题的一般方法,(1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步。,(2)确定函数定义域，并求出极值点。,(3)比较各极值与定义域端
2、点函数值的大小， 结合实际，确定最值或最值点。,二.两种特殊情况：,（1）如果 在 上是单调函数；,单调函数的最值在端点处取得。,解：,解方程,由上表可见：x1=0是函数的极大值点，x2= 是函数的极小值点。计算函数极大值点x1=0、极小值点x2= 、区间端点x3=-2和x4=2处的值。,四.例题讲解,图像如右图所示。,例5:在边长为48cm的正方形铁皮的四角各切去相 等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一 个无盖长方体容器,所得容器的体积V（单位：cm3） 是关于截去的小正方形的边长 （单位：cm3）的 函数。（1）随着 的变化容积V是如何变化的？（2）截去的小正方形的边长是多少时
3、容器的容积最大?最大容积是多少?,解,该函数的定义域为（0，24）.,由导数公式表及求导法则得,所以极大值为f（8）=（48-16）28=8192（cm3）,当0x8时，f(x)是增加的；当8x24时，f（x）是减少的。,（2）又（0,24）上任意点的函数值都不超过f（8），可见f（8）=8192是最大值。,即当截去的小正方形的边长为8cm时，容器的容积最大为8192cm3。,由以上两根得下表，分析导函数的符号得到函数的单调性与极值点。,解,五.随堂演练,你做对了吗？,利润为,令 ，得,于是 （万元）是最大值。,即每年生产400台时，总利润最大，最大利润为5万元。,因为 是函数,的唯一极大值点，,解,六.思考探究,一、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题， 主要有以下几个方面：（1）与几何有关的最值问题；（2）与物理学有关的最值问题；（3）与利润及其成本有关的最值问题；（4）效率最值问题。,七.课堂小结,二、求最大（最小）值应用题的一般方法,(1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步。,(2)确定函数定义域，并求出极值点。,(3)比较各极值与定义域端点函数的大小， 结合实际，确定最值或最值点。,
