1、2.4 压轴大题1 导数在函数中的应用,-2-,-3-,-4-,-5-,-6-,1.导数的几何意义 (1)函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率,即k=f(x0). (2)函数切线问题的求解策略:用好切点“三重性”: 切点在函数图象上,满足函数解析式; 切点在切线上,满足切线方程; 切点处的导数等于切线的斜率. 2.函数的导数与单调性的关系 函数y=f(x)在(a,b)内可导, (1)若f(x)0在(a,b)内恒成立,则f(x)在(a,b)内单调递增; (2)若f(x)0在(a,b)内恒成立,则f(x)在(a,b)内单调递减.,-7-,3.函数的导数与单
2、调性的等价关系 函数f(x)在(a,b)内可导,f(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0f(x)在(a,b)上为增函数.f(x)0f(x)在(a,b)上为减函数. 4.函数的极值、最值 (1)若在x0附近左侧f(x)0,右侧f(x)0,则f(x0)为函数f(x)的极小值. (2)设函数y=f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在a,b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得. (3)若函数f(x)在a,b上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.,-8-,5
3、.常见恒成立不等式 (1)ln xx-1;(2)exx+1. 6.构造辅助函数的四种方法 (1)移项法:证明不等式f(x)g(x)(f(x)0(f(x)-g(x)0),进而构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x); (2)构造“形似”函数:对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数;把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构,根据“相同结构”构造辅助函数; (3)主元法:对于(或可化为)f(x1,x2)A的不等式,可选x1(或x2)为主元,构造函数f(x,x2)(或f(x1,x); (4)放缩法:若所构造函数最值不易求解,可将所证明不等式进行放缩,再重新构造函数.,-9-,7.函数不等式的类型
4、与解法 (1)xD,f(x)kf(x)maxk;xD,f(x)kf(x)mink; (2)xD,f(x)g(x2)f(x)在a,b上的最小值g(x)在c,d上的最大值. (2)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最大值g(x)在c,d上的最小值. (3)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最小值g(x)在c,d上的最小值.,-10-,(4)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最大值g(x)在c,d上的最大值. (5)x1a,b,当x2c,d时,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域与g(x)在c,d上的
5、值域交集非空. (6)x1a,b,x2c,d,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域g(x)在c,d上的值域. (7)x2c,d,x1a,b,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域g(x)在c,d上的值域.,-11-,9.求解导数应用题宏观上的解题思想是 借助导函数(正负)研究原函数(单调性); 重点是把导函数先“弄熟悉”; 为了把导函数先“弄熟悉”采取的措施: (1)通分; (2)二次求导或三次求导; (3)能画出导函数草图是最好的!,2.4.1 函数的单调性、极值点、 极值、最值,-13-,考向一,考向二,考向三,考向四,求单调区间或讨论单调性(多维探究) 例1(2018江
6、西南昌一模,文21节选)已知函数f(x)=ex-aln x-e(aR),其中e为自然对数的底数. (1)若f(x)在x=1处取到极小值,求a的值及函数f(x)的单调区间; (2)略.,-14-,考向一,考向二,考向三,考向四,-15-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得求f(x)的单调区间,需知f(x)的正负,若f(x)不含参数,但又不好判断正负,将f(x)中正负不定的部分设为g(x),对g(x)再进行一次或二次求导,由g(x)的正负及g(x)的零点判断出g(x)的正负,进而得出f(x)的正负.,-16-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练 1(2018青海西宁一模,文21节选)设
7、f(x)=ln x,g(x)= x|x|. (1)令F(x)=xf(x)-g(x),求F(x)的单调区间; (2)略.,-17-,考向一,考向二,考向三,考向四,-18-,考向一,考向二,考向三,考向四,例2(2018河北保定一模,理21节选)已知函数 (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)略.,-19-,考向一,考向二,考向三,考向四,-20-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得在求函数f(x)的单调区间时,若f(x)中含有参数不容易判断其正负时,需要对参数进行分类,本例分类的标准(1)按导函数是否有零点分大类;(2)在小类中再按导函数零点的大小比较分小类;(3)在小类中再按零点是否
8、在定义域中分类.,-21-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练 2(2018华南师大附中测试三,理21节选)函数f(x)=x2+mln(1+x). (1)讨论f(x)的单调性; (2)略.,-22-,考向一,考向二,考向三,考向四,-23-,考向一,考向二,考向三,考向四,-24-,考向一,考向二,考向三,考向四,讨论函数极值点的个数 例3(节选)设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中aR. (1)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由; (2)略.,解: (1)定义域为(-1,+),令g(x)=2ax2+ax+1-a(x-1), 当a=0时,g(x)=1,则f(x)0在
9、(-1,+)上恒成立, 则f(x)在(-1,+)上单调递增,即当a=0时,函数无极值点;,-25-,考向一,考向二,考向三,考向四,-26-,考向一,考向二,考向三,考向四,-27-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得利用导数求含参数的原函数的单调区间极值最值恒成立问题的步骤: 1.求函数定义域; 2.求导通分或因式分解或二次求导(目的:把导函数“弄熟悉”); 3.对参数分类,分类的层次:(1)按导函数的类型分大类; (2)按导函数是否有零点分小类; (3)在小类中再按导函数零点的大小分小类; (4)在小类的小类中再按零点是否在定义域中分小类.,-28-,考向一,考向二,考向三,考向四,
10、对点训练 3(2018湖南衡阳一模,理21节选)已知函数f(x)=ln x+x2-ax(a0). (1)讨论f(x)在(0,1)上的极值点的个数; (2)略.,-29-,考向一,考向二,考向三,考向四,-30-,考向一,考向二,考向三,考向四,求函数的极值、最值 例4(2018宁夏银川一中一模,理21)已知函数f(x)=ln x-ax2+(a-2)x. (1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值; (2)求函数y=f(x)在a2,a上的最大值.,-31-,考向一,考向二,考向三,考向四,-32-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得求最值的常用方法是由导数确定单调性,由单调性确定极值,比
11、较极值与定义域的端点值确定最值.,-33-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练 4已知函数f(x)=ln x- ax2+x,aR. (1)当a=0时,求函数f(x)在(1,f(1)处的切线方程; (2)令g(x)=f(x)-ax+1,求函数g(x)的极值.,-34-,考向一,考向二,考向三,考向四,-35-,考向一,考向二,考向三,考向四,在恒成立中求参数的极值、最值 例5(2018山东济宁期末,理21)设函数f(x)=x+ln x- (aR). (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)当a=1时,记g(x)=xf(x),是否存在整数t,使得关于x的不等式tg(x)有解?若存在,请求出t
12、的最小值;若不存在,请说明理由.,-36-,考向一,考向二,考向三,考向四,-37-,考向一,考向二,考向三,考向四,-38-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得1.kf(x)(或kf(x)恒成立,求参数k的最值问题,一般的解题思路是,先求f(x)的最小值(或最大值),得出关于kg(t)(或kg(t)的函数不等式,然后再求函数g(t)的最值.从而得出k的最值. 2.对于导函数的零点存在但不可求的问题,可根据零点存在定理确定出零点所在的区间,在求函数的最值时可利用整体代换的方法求解,这是在用导数解决函数问题中常见的一种类型.,-39-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练 5(2018福建厦门一模,理21)函数f(x)=aln x-x2+x,g(x)=(x-2)ex-x2+m,其中e为自然对数的底数. (1)当a0时,讨论函数f(x)的单调性; (2)当a=1,x(0,1时,f(x)g(x)恒成立,求正整数m的最大值.,-40-,考向一,考向二,考向三,考向四,-41-,考向一,考向二,考向三,考向四,-42-,考向一,考向二,考向三,考向四,
