1、4.2.2 求数列的通项及前n项和,-2-,考向一,考向二,考向三,求数列的通项及错位相减求和 例1(2018湖南衡阳二模,理17)等差数列an中,a3=1,a7=9,Sn为等比数列bn的前n项和,且b1=2,若4S1,3S2,2S3成等差数列. (1)求数列an,bn的通项公式; (2)设cn=|an|bn,求数列cn的前n项和Tn.,-3-,考向一,考向二,考向三,解: (1)在等差数列中,设公差为d,a7-a3=4d=9-1=8d=2, an=a3+(n-3)d=1+2(n-3)=2n-5.设等比数列bn的公比为q,依题意有6S2=4S1+2S3q=2,bn=2n. (2)cn=|2n-
2、5|2n. 当n=1时,T1=6,当n=2时,T2=10.当n3时,2n-50, Tn=10+123+324+(2n-7)2n-1+(2n-5)2n, 2Tn=20+124+325+(2n-7)2n+(2n-5)2n+1, -得,-Tn=-10+8+2(24+2n)-(2n-5)2n+1, Tn=34+(2n-7)2n+1.,-4-,考向一,考向二,考向三,解题心得若已知数列为等差或等比数列,求其通项是利用等差、等比数列通项公式,或通过变形转换成等差、等比数列求通项;如果数列an与数列bn分别是等差数列和等比数列,那么数列anbn的前n项和采用错位相减法来求.,-5-,考向一,考向二,考向三,
3、对点训练 1(2018山东潍坊一模,理17)公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn,已知S4=10,且a1,a3,a9成等比数列. (1)求an的通项公式;,-6-,考向一,考向二,考向三,-7-,考向一,考向二,考向三,-8-,考向一,考向二,考向三,-9-,考向一,考向二,考向三,解题心得对于已知等式中含有an,Sn的求数列通项的题目,一般有两种解题思路,一是消去Sn得到f(an)=0,求出an;二是消去an得到g(Sn)=0,求出Sn,再求an. 把数列的通项拆成两项之差,求和时中间的项能够抵消,从而求得其和.注意抵消后所剩余的项一般前后对称.,-10-,考向一,考向二,考向三,对点训
4、练 2(2018江西南昌一模,理17)已知等比数列an的前n项和为Sn,满足S4=2a4-1,S3=2a3-1. (1)求an的通项公式及数列an的前n项和; (2)记bn=log2(anan+1),数列bn的前n项和为Tn,-11-,考向一,考向二,考向三,-12-,考向一,考向二,考向三,求数列的通项及分项求和 例3(2018山东济宁一模,理17)已知an是等比数列,满足a1=2,且a2,a3+2,a4成等差数列,数列bn满足(1)求an和bn的通项公式; (2)设cn=(-1)n(an-bn),求数列cn的前2n项和S2n.,-13-,考向一,考向二,考向三,解: (1)设数列an的公比
5、为q,则由条件得2(a3+2)=a2+a4.又a1=2, 则2(2q2+2)=2q+2q32(q2+1)=q(1+q2). 1+q20,q=2,故an=2n. 对于bn,当n=1时,b1=21=2;,-14-,考向一,考向二,考向三,解题心得若能把一个数列的通项分成一部分是等差数列通项,另一部分是等比数列,则其前n项和分成了两个数列的前n项和,分别求和后相加即可;同理,若一个数列的前n项和不好求,对其通项变形后,如果能分成两个部分,每一部分的前n项和能求,则问题得到解决.,-15-,考向一,考向二,考向三,对点训练 3(2018福建龙岩4月质检,文17)已知正项等比数列an的前n项和为Sn,且Sn=2an-1(nN*). (1)求数列an的通项公式; (2)若bn=lg an,求数列an+bn的前n项和Tn.,-16-,考向一,考向二,考向三,解: (1)由Sn=2an-1(nN),可得S1=2a1-1, a1=2a1-1.a1=1. S2=2a2-1,a1+a2=2a2-1, a2=2.数列an是等比数列,数列an的通项公式为an=2n-1. (2)由(1)知,bn=lg an=(n-1)lg 2, 数列bn+an的前n项和 Tn=(b1+a1)+(b2+a2)+(bn+an)=(0+1)+(lg 2+2)+(n-1)lg 2+2n-1,
