1、7.2 概率,-2-,-3-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,互斥事件与对立事件的概率 【思考】 概率与频率有什么联系?互斥事件与对立事件有怎样的关系? 例1某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100名顾客的相关数据,如下表.已知这100名顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.,(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (2)求一名顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率),-4-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-5-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思1
2、.概率是频率的稳定值,也是一个确定的值,这个值是客观存在的,在大量试验中,可用事件发生的频率估计概率. 2.互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生,对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生,对立事件是互斥事件的特殊情形.即两个事件对立必互斥,但两个事件互斥却不一定对立.,-6-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-7-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,古典概型的概率 【思考】 怎样判断一个概率模型是古典概型?如何查找古典概型的基本事件? 例2一辆小客车有5个座位,其座位号为1,2,3,4,5,乘客P1,P2,P3,P4,P5的座位号分别为1,2,3,
3、4,5,他们按照座位号从小到大的顺序先后上车,乘客P1因身体原因没有坐1号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就座:如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位;如果自己的座位已有乘客就座,就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位.,-8-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,(1)若乘客P1坐到了3号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有4种坐法.下表给出了其中两种坐法,请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处);,(2)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,求乘客P5坐到5号座位的概率.,-9-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,解 (1)当乘客P1坐
4、在3号位置上,此时P2的位置没有被占,只能坐在2位置,P3位置被占,可选剩下的任何一个座位,即可选1,4,5;当P3选1位置,P4位置没被占,只能选4位置,P5选剩下的,只有一种情况;当P3选4位置,P4可选5位置也可选1位置,P5选剩下的,有两种情况;当P3选5位置,P4只可选4位置,P5选剩下的,有一种情况,填表如下:,-10-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,(2)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就坐,则所有可能的坐法可用下表表示:,于是,所有可能的坐法共8种. 设“乘客P5坐到5号座位”为事件A,则事件A中的基本事件的个数为4,所以 所以乘客P5坐到5号座位的概
5、率是,-11-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思1.具有以下两个特点的概率模型简称古典概型: (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (2)每个基本事件出现的可能性相等. 2.用列举法写出所有基本事件时,可借助“树状图”列举,以便做到不重、不漏.,-12-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,对点训练2从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ),答案,解析,-13-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,几何概型的概率 【思考】 几何概型有什么特点?
6、解答几何概型问题的关键点是什么? 例3(1)如图,在ABC中,B=60,C=45,高AD= ,在BAC内作射线AM交BC于点M,则BM1的概率为 . (2)在区间0,1上任取三个数a,b,c.若向量m=(a,b,c),则|m|1的概率为 .,-14-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-15-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-16-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思1.几何概型的两个基本特点:(1)无限性:在一次试验中可能出现的结果有无限多个; (2)等可能性:每个试验结果的发生具有等可能性. 2.求解几何概型的概率问题的关键点是:一定要
7、正确确定试验的全部结果构成的区域,从而正确选择合理的测度,进而利用概率公式求解.,-17-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,(2)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( ),答案,解析,-18-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,统计、统计案例与概率的综合应用 【思考】 求解统计与概率的综合问题的基本思路是怎样的? 例4 某学校就某岛有关常识随机抽取了16名学生进行测试,用“10分制”以茎叶图方式记录了他们对该岛的了解程度,分别以小数点前的一
8、位数字为茎,小数点后的一位数字为叶.(1)指出这组数据的众数和中位数; (2)若所得分数不低于9.5分,则称该学生对该岛“非常了解”,从所抽取的对该岛“非常了解”的学生中再随机抽取2人,求此2人分数相差不到0.2分的概率.,-19-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思有关古典概型与统计结合的题型,求解的关键是由概率分布表、分布直方图、茎叶图等图表提炼信息,结合列表或树状图直观写出试验结果,确定包括的基本事件.,-20-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,对点训练4某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造,对所辖企业是否支持改造进行问卷调查,结
9、果如下表:,(1)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关? (2)从上述320家支持节能降耗改造的中小型企业中按分层抽样的方法抽出8家,然后从这8家中选出2家,求这2家中恰好中、小型企业各一家的概率.,-21-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-22-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-23-,规律总结,拓展演练,1.对随机事件的概率问题,解题关键是理解题目的实际含义,把实际问题转化为概率模型,必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和,或者先求其对立事件的概率,进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式
10、求解. 2.对古典概型,从集合的角度看概率,在一次试验中,等可能出现的全部结果组成一个集合I,基本事件的个数n就是集合I的元素个数,事件A是集合I的一个包含m个元素的子集.故 .在计算古典概型中基本事件与要发生事件的事件数时,列举法适用于较简单的试验;树状图法适用于较为复杂的问题中的基本事件的探求.,-24-,规律总结,拓展演练,3.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的对象和对象的活动范围.当涉及射线的转动,扇形中有关落点区域问题时,应以角的大小作为区域度量来计算概率,事实上,当半径一定时,由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比,所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比. 4.对于几何
11、概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识,它只与大小有关,而与形状和位置无关,在解题时,要掌握“测度”为长度、面积、体积等常见的几何概型的求解方法.,-25-,规律总结,拓展演练,1.为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ),C,解析 总的基本事件是:红黄,白紫;红白,黄紫;红紫,黄白,共3种.满足条件的基本事件是:红黄,白紫;红白,黄紫,共2种.故所求事件的概率为,-26-,规律总结,拓展演练,A,-27-,规律总结,拓展演练,3.有一个底面圆的半径为1,高为2的圆柱,点O为这个圆柱底面圆的圆
12、心,在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为 .,-28-,规律总结,拓展演练,4.(2018天津,文15)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动. (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人? (2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作. 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果; 设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.,-29-,规律总结,拓展演练,解 (1)由已知,甲、乙、丙三个年级的
13、学生志愿者人数之比为322,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人. (2)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为 A,B,A,C,A,D,A,E,A,F,A,G,B,C,B,D,B,E, B,F,B,G,C,D,C,E,C,F,C,G,D,E,D,F,D,G,E,F, E,G,F,G,共21种. 由(1),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为A,B,A,C,B,C, D,E,F,G,共5种. 所以,事件M发生的概率,
