1、2.4.1 导数与函数的单调性、极值、最值,-2-,解题策略一,解题策略二,讨论、判断、证明单调性或求单调区间 解题策略一 分类讨论法 例1已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)0,求a的取值范围. 难点突破 (1)讨论f(x)的单调性求函数的定义域求导函数判断导函数的符号确定单调区间;(2)讨论a的取值范围求f(x)导函数确定f(x)的单调区间求f(x)取最小值解不等式f(x)max0得a的范围合并a的范围.,-3-,解题策略一,解题策略二,解 (1)函数f(x)的定义域为(-,+),f(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex
2、-a). 若a=0,则f(x)=e2x,在(-,+)单调递增. 若a0,则由f(x)=0得x=ln a. 当x(-,ln a)时,f(x)0.故f(x)在(-,ln a)单调递减,在(ln a,+)单调递增.,-4-,解题策略一,解题策略二,解题心得利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号,当f(x)含参数时,需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.,-5-,解题策略一,解题策略二,对点训练1(2018山东济南一模)设函数f(x)= ,aR. (1)讨论f(x)的单调性; (2)当a0时,记f(x)的最小值为g(a),证明g(a)1.,(1)解 f(x)的定义域为(0,+),
3、当a0时,f(x)0,f(x)在(0,+)上单调递增; 当a0时,当x(0,a),f(x)0,f(x)单调递增; 综上,当a0时,f(x)在(0,+)上单调递增; 当a0时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+)上单调递增.,-6-,解题策略一,解题策略二,-7-,解题策略一,解题策略二,解题策略二 构造函数法 例2已知函数 (k为常数,e是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与x轴平行. (1)求k的值; (2)求f(x)的单调区间.,-8-,解题策略一,解题策略二,即h(x)在(0,+)上是减函数. 由h(1)=0知,当00,从而f(x)0; 当x1时,h(x
4、)0,从而f(x)0. 综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+).,解题心得通过导数研究单调性首先要判断构造函数的导函数的正负,因此,构造函数的关键在于其导函数的零点是否易求或易估.,-9-,解题策略一,解题策略二,对点训练2设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=(e-1)x+4. (1)求a,b的值; (2)求f(x)的单调区间.,-10-,解题策略一,解题策略二,(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex. 由f(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x0知,f(x)与1-x+ex-1同号. 令g(x)=1-
5、x+ex-1, 则g(x)=-1+ex-1. 所以,当x(-,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1,+)上单调递增. 故g(1)=1是g(x)在区间(-,+)上的最小值, 从而g(x)0,x(-,+). 综上可知,f(x)0,x(-,+). 故f(x)的单调递增区间为(-,+).,-11-,解题策略一,解题策略二,解题策略三,求函数的极值、最值 解题策略一 利用单调性求 例3已知函数f(x)=ln x- ,g(x)=ax+b. (1)若a=2,F(x)=f(x)-g(x),求F(x)的单调区间; (2)若函数g(x)=ax+b是函数f(x)=ln x- 图象的切线,求a+b的最小值. 难点突
6、破 (1)求出F(x)的导数,解关于导函数的不等式,即得函数的单调区间;,-12-,解题策略一,解题策略二,解题策略三,当t(0,1)时,(t)0,(t)在(1,+)上单调递增. 即有t=1时,(t)取得极小值,也为最小值. 则a+b=(t)(1)=-1,故a+b的最小值为-1.,-13-,解题策略一,解题策略二,解题策略三,解题心得1.求最值的常用方法是由导数确定单调性,由单调性确定极值,比较极值与定义域的端点值确定最值; 2.对kf(x)恒成立,求参数k的最值问题,若求不出f(x)的极值点,可先求极值点所在区间,再由极值点范围求极值的范围,由此得出参数的最值.,-14-,解题策略一,解题策
7、略二,解题策略三,对点训练3已知函数f(x)=excos x-x. (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程; (2)求函数f(x)在区间 上的最大值和最小值.,解 (1)因为f(x)=excos x-x,所以f(x)=ex(cos x-sin x)-1,f(0)=0. 又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=1. (2)设h(x)=ex(cos x-sin x)-1, 则h(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x.,-15-,解题策略一,解题策略二,解题策略三,解题策略二 构造函数法,-16-,解题策
8、略一,解题策略二,解题策略三,解 (1)由已知得f(x)=f(1)ex-1-f(0)+x. 所以f(1)=f(1)-f(0)+1,即f(0)=1. 又f(0)=f(1)e-1,所以f(1)=e. 从而f(x)=ex-x+ x2. 由于f(x)=ex-1+x, 故当x(-,0)时,f(x)0. 从而,f(x)在(-,0)单调递减,在(0,+)单调递增.,-17-,解题策略一,解题策略二,解题策略三,(2)由已知条件得ex-(a+1)xb. ()若a+10,设g(x)=ex-(a+1)x, 则g(x)=ex-(a+1). 当x(-,ln(a+1)时,g(x)0. 从而g(x)在(-,ln(a+1)
9、单调递减,在(ln(a+1),+)单调递增. 故g(x)有最小值g(ln(a+1)=a+1-(a+1)ln(a+1). 所以f(x) x2+ax+b等价于 ba+1-(a+1)ln(a+1). 因此(a+1)b(a+1)2-(a+1)2ln(a+1).,-18-,解题策略一,解题策略二,解题策略三,设h(a)=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1), 则h(a)=(a+1)(1-2ln(a+1).,-19-,解题策略一,解题策略二,解题策略三,解题心得本例在(2)中,通过作差将条件进行转化,通过构造函数求函数的最小值得出关于a,b的不等式,通过乘(a+1)得(a+1)b的关系式,再通过第二次
10、构造函数求函数最大值得出结果.,-20-,解题策略一,解题策略二,解题策略三,对点训练4已知函数f(x)=ax-ln x,F(x)=ex+ax,其中x0,a0. (1)若f(x)和F(x)在区间(0,ln 3)上具有相同的单调性,求实数a的取值范围; (2)若 ,且函数g(x)=xeax-1-2ax+f(x)的最小值为M,求M的最小值.,a0,即F(x)在(0,+)上单调递增,不合题意. 当a0,得xln(-a),由F(x)0,得0xln(-a), F(x)的单调减区间为(0,ln(-a),单调增区间为(ln(-a),+), f(x)和F(x)在区间(0,ln 3)上具有相同的单调性, ln(
11、-a)ln 3,即a-3. 综上,a的取值范围是(-,-3.,-21-,解题策略一,解题策略二,解题策略三,-22-,解题策略一,解题策略二,解题策略三,-23-,解题策略一,解题策略二,解题策略三,解题策略三 分类讨论法 例5已知函数f(x)= x3-2x2+(2-a)x+1,其中aR. (1)若a=2,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程; (2)求f(x)在区间2,3上的最大值和最小值. 难点突破 在(2)中求得f(x)在某闭区间上的最值,因f(x)是关于x的二次函数,判别式为=8a, 所以求最值分两个层次讨论,第一层次是=8a0和=8a0,因=8a0,f(x)没有极值点,函
12、数单调,易求最值;当=8a0,因f(x)有两个极值点,所以第二层次讨论以这两个极值点与所给闭区间的关系进行分类.,-24-,解题策略一,解题策略二,解题策略三,-25-,解题策略一,解题策略二,解题策略三,-26-,解题策略一,解题策略二,解题策略三,解题心得依据题意,对参数分类,分类后相当于增加了一个已知条件,在增加条件的情况下,对参数的各个范围逐个验证是否适合题意,最后适合题意的范围即为所求范围,这个范围的最大值也就求出.,-27-,解题策略一,解题策略二,解题策略三,-28-,解题策略一,解题策略二,解题策略三,-29-,解题策略一,解题策略二,解题策略三,-30-,证明函数有最值并求最
13、值范围 解题策略 零点分布法 例6已知函数f(x)=xln x- x2,直线l:y=(k-2)x-k+1,且kZ. (1)若x0e,e2,使得f(x0)0成立,求实数a的取值范围; (2)设a=0,当x1时,函数f(x)的图象恒在直线l的上方,求k的最大值.,-31-,-32-,-33-,解题心得在证明函数f(x)有最值及求最值范围时,若f(x)=0解不出,可运用零点存在性定理求出极值点t存在的范围,从而用t表示出最值,此时最值是关于t的函数,通过函数关系式求出最值的范围.,-34-,对点训练6已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x+2)2(x0). (1)若f(x)是(0,+)上的单调递增
14、函数,求实数a的取值范围; (2)当 时,求证:函数f(x)有最小值,并求函数f(x)最小值的取值范围.,-35-,(2)f(x)=ex+(x-2)ex+2ax+4a,f(x)=xex+2a0, y=f(x)在(0,+)上单调递增, 又f(0)=4a-10, 存在t(0,1)使f(t)=0,x(0,t)时,f(x)0, 当x=t时,f(x)min=f(t)=(t-2)et+a(t+2)2, 由f(t)=0,即et(t-1)+2a(t+2)=0,-36-,f(t)在(0,1)上递减, f(1)f(t)f(0),-ef(t)-1, f(x)的最小值的取值范围是(-e,-1).,-37-,与极值、最值有关的证明问题 解题策略 等价转换法 例7已知函数f(x)=ln x-2ax,aR. (1)若函数y=f(x)存在与直线2x-y=0垂直的切线,求实数a的取值范围;,-38-,-39-,-40-,解题心得将已知条件进行转换或将要解决的问题进行等价转换是解决函数问题的常用方法,通过转换变陌生问题为熟悉问题,从而得到解决.,-41-,对点训练7设函数f(x)=e2x-4aex-2ax,g(x)=x2+5a2,aR. (1)若a=1,求f(x)的递增区间; (2)若f(x)在R上单调递增,求a的取值范围; (3)记F(x)=f(x)+g(x),求证: .,-42-,
