1、三、数形结合思想,-2-,高考命题聚焦,思想方法诠释,数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,在高考试题中,数形结合思想主要用于解选择题和填空题,有直观、简单、快捷等特点;而在解答题中,考虑到推理论证的严密性,图形只是辅助手段,最终要用“数”写出完整的解答过程.,-3-,高考命题聚焦,思想方法诠释,1.数形结合思想的含义 数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.它包含两个方面:(1)“以形助数”,把抽象问题具体化,这主要是指用几何的方法去解决代数或三角问题;(2)“以数解形”,把直观图形数量化,使形更加精确,这主要是指用代数或三角的方法去
2、解决几何问题.,-4-,高考命题聚焦,思想方法诠释,2.数形结合思想在解题中的应用 (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围、研究方程根的范围、研究量与量之间的大小关系. (2)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式. (3)构建立体几何模型研究代数问题. (4)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题. (5)构建方程模型,求根的个数.,-5-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,利用数形结合求函数零点的个数 【思考】 如何利用函数图象解决函数零点的个数问题? 例1若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1,则
3、关于x的方程3(f(x)2+2af(x)+b=0的不同实根个数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6,答案,解析,-6-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思因为方程f(x)=0的根就是函数f(x)的零点,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)和g(x)的图象的交点的横坐标,所以用数形结合的思想讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数,其基本步骤是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函数),然后在同一坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解的个数.,-7-,命题热点一,命题热点
4、二,命题热点三,命题热点四,对点训练1(2018浙江,15)已知R,函数 当=2时,不等式f(x)0的解集是 .若函数f(x)恰有2个零点,则的取值范围是 .,答案,解析,-8-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,利用数形结合求参数范围及解不等式 【思考】 如何利用函数图象解决不等式问题?函数的哪些性质与函数图象的哪些特征联系密切?例2已知函数 若存在k使得函数f(x)的值域是0,2,则实数a的取值范围是( ),答案,解析,-9-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思在解含有参数的不等式时,由于涉及参数,往往需要讨论,导致演算过程烦琐冗长.如果题设与几何图形有
5、联系,那么利用数形结合的方法,问题将会简练地得到解决. (1)解不等式问题经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题,往往可以避免烦琐的运算,获得简捷的解答. (2)函数的单调性经常联系函数图象的升、降;奇偶性经常联系函数图象的对称性;最值(值域)经常联系函数图象的最高点、最低点的纵坐标.,-10-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,对点训练2若不等式|x-2a| x+a-1对xR恒成立,则a的取值范围是 .,答案,解析,-11-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,答案,
6、解析,-12-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思首先画出满足条件的图形区域,然后根据目标函数的特点(或所求量的几何意义),转化为距离或直线的斜率、截距等.,-13-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,对点训练3已知实数x,y满足 z=|2x-2y-1|,则z的取值范围是 .,答案,解析,-14-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,数形结合在解析几何中的应用 【思考】 数形结合思想在解析几何中有哪些方面的应用? 例4已知函数y=f(x)(x(-,-2)(2,+),在其图象上任取一点P(x,y)都满足方程x2-4y2=4. 函数y=f(x)一定具
7、有奇偶性; 函数y=f(x)在(-,-2)上是单调函数; x0(-,-2)(2,+),使x02f(x). 以上说法正确的序号是 .,答案,-15-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思1.如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征,那么就要考虑用数形结合的思想方法来解题,即所谓的几何法求解,比较常见的对应有:,2.在解析几何中的一些范围及最值问题中,常根据图形的性质结合几何概念进行相互转换,使问题得到简便快捷的解决.,-16-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,对点训练4已知双曲线 (a0,b0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有
8、一个交点,求此双曲线离心率的取值范围.,答案,-17-,规律总结,拓展演练,1.实现数形结合的渠道主要有:(1)实数与数轴上点的对应;(2)函数与图象的对应;(3)曲线与方程的对应;(4)以几何元素及几何条件为背景,通过坐标系来实现的对应,如复数、三角、空间点的坐标等. 2.用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法,值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整,以便于作图),然后作出两个函数的图象,由图求解.,-18-,规律总结,拓展演练,3.在运用数形结合思想分析问题和解决问题时,需做到以下四点: (1)要彻底明白一些概念和运算
9、的几何意义以及曲线的代数特征; (2)要恰当设参,合理用参,建立关系,做好转化; (3)要正确确定参数的取值范围,以防重复和遗漏; (4)精心联想“数”与“形”,使一些较难解决的代数问题几何化,几何问题代数化,以便于问题求解. 4.很多数学概念都具有明显的几何意义,善于利用这些几何意义,往往能达到事半功倍的效果.,-19-,规律总结,拓展演练,1.已知0a1,则方程 =|logax|的实根个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4,B,解析 作出函数y=a|x|,y=|logax|的图象,由图象可知,两图象只有两个交点,故方程有2个实根.,-20-,规律总结,拓展演练,2.一个游泳池长100
10、 m,甲、乙两人分别在游泳池相对两边同时朝对面游泳,甲的速度是2 m/s,乙的速度是1 m/s,若不计转向时间,则从开始起到5 min止,它们相遇的次数为( ) A.6 B.5 C.4 D.3,B,解析 如图,两曲线共有5个交点,故选B.,-21-,规律总结,拓展演练,A,-22-,规律总结,拓展演练,-23-,规律总结,拓展演练,4.已知函数f(x)满足:f(x)|x|,且f(x)2x,xR.( ) A.若f(a)|b|,则ab B.若f(a)2b,则ab C.若f(a)|b|,则ab D.若f(a)2b,则ab,B,解析 f(x)|x|,且f(x)2x,f(x)表示的区域如图阴影部分所示.
11、对于选项A和选项C而言,无论f(a)|b|还是f(a)|b|,均有ab或ab都成立,选项A和选项C均不正确;对于选项B,若f(a)2b,只能得到ab,故选项B正确;对于选项D,若f(a)2b,由图象可知ab与ab均有可能,故选项D不正确.,-24-,规律总结,拓展演练,5.使log2(-x)x+1成立的x的取值范围是 .,(-1,0),解析 在同一坐标系中,分别作出y=log2(-x),y=x+1的图象,由图象可知,x的取值范围是(-1,0).,-25-,规律总结,拓展演练,6.已知奇函数f(x)的定义域是x|x0,xR,且在(0,+)内单调递增,若f(1)=0,则满足xf(x)0的x的取值范围是 .,(-1,0)(0,1),解析 作出符合条件的一个函数图象草图即可,由图可知,满足xf(x)0的x的取值范围是(-1,0)(0,1).,
