1、二、分类讨论思想,-2-,高考命题聚焦,思想方法诠释,从近五年的高考试题来看,分类讨论思想在高考试题中频繁出现,已成为高考数学试题的一个热点,也是高考的难点.高考中经常会有几道题,解题思路直接依赖于分类讨论,特别在解答题中(尤其是导数与函数)常有一道分类求解的压轴题,选择题、填空题也会出现不同情形的分类讨论题.,-3-,高考命题聚焦,思想方法诠释,1.分类讨论思想的含义 分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,需要把研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究,得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答.对问题实行分类,分类标准等于是增加的一个已知条件,实现了有效增设,将
2、大问题分解为小问题,优化了解题思路,降低了问题难度. 2.分类讨论思想在解题中的应用 (1)由数学概念引起的分类讨论; (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论; (3)由数学运算要求引起的分类讨论; (4)由图形的不确定性引起的分类讨论; (5)由参数的变化引起的分类讨论.,-4-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,根据数学概念的分类讨论 【思考】 在中学数学中,哪些概念会引起分类讨论? 例1设00,且a1,比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小.,答案,-5-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思有许多核心的数学概念是分类的,由数学概
3、念引起的分类讨论,如绝对值的定义、二次函数的定义、分段函数的定义、异面直线所成角的定义、直线的斜率、指数函数、对数函数等.,-6-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,对点训练1若函数 (a0,且a1)的值域是4,+),则实数a的取值范围是 .,答案,解析,-7-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,根据运算、定理、公式进行的分类讨论 【思考】 哪些运算的要求或性质、定理、公式的条件会引起分类讨论? 例2设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点M.且M为线段AB的中点,若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是( ) A.(
4、1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4),D,-8-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-9-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思1.在中学数学中,一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性,基本不等式,等比数列的求和公式在不同的条件下有不同的结论,或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目条件确定是否进行分类讨论. 2.有些分类讨论的问题是由运算的需要引发的.比如除法运算中分母能否为零的讨论;解方程及不等式时,两边同乘一个数是否为零、正数,还是负数的讨论;二次方程运算中对两根大小的讨论;求函数单调性时,导数正负的讨论;排序问题;差值比较中
5、的差的正负的讨论;有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等.,-10-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,对点训练2若函数f(x)=ax-x-a(a0,且a1)有两个零点,则实数a的取值范围是 .,答案,解析,-11-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,根据图形位置或形状变动分类讨论 【思考】 由图形的位置或形状变动引发的讨论有哪些?例3若x,y满足 且z=y-x的最小值为-4,则k的值为( ),答案,解析,-12-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括:二次函数对称轴位置的变动;函数问题中区间的变动;
6、函数图象形状的变动;直线由斜率引起的位置变动;圆锥曲线由焦点引起的位置变动或由离心率引起的形状变动;立体几何中点、线、面的位置变动等.,-13-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,对点训练3设F1,F2为椭圆 的两个焦点,P为椭圆上一点.已知P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|PF2|,则 的值为 .,答案,解析,-14-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,根据字母的取值情况分类讨论 【思考】 题目中含有参数的分类讨论问题主要有哪些?求解的一般思路是什么?,例4已知函数f(x)=ln x,g(x)=f(x)+ax2+bx,函数g(x)的图象在点(1
7、,g(1)处的切线平行于x轴. (1)用a表示b; (2)试讨论函数g(x)的单调性; (3)证明:对任意nN*,都有,(1)解 依题意,得g(x)=ln x+ax2+bx, 则g(x)= +2ax+b. 由函数g(x)的图象在点(1,g(1)处的切线平行于x轴, 得g(1)=1+2a+b=0,故b=-2a-1.,-15-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-16-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-17-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,(3)证明 由(2)知当a=1时,函数g(x)=ln x+x2-3x在区间(1,+)内单调递增, 故ln x+
8、x2-3xg(1)=-2,即ln x-x2+3x-2=-(x-1)(x-2).,-18-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思含有参数的分类讨论问题主要包括:(1)含有参数的不等式的求解;(2)含有参数的方程的求解;(3)函数解析式中含参数的最值与单调性问题;(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等.求解这类问题的一般思路是:结合参数的意义及参数对结果的影响进行分类讨论.讨论时,应全面分析参数变化引起结论的变化情况,参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想.,-19-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,对点训练4已知函数f(x)=2x3-3x. (1)求f
9、(x)在区间-2,1上的最大值; (2)若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围.,-20-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,设g(x)=4x3-6x2+t+3,则“过点P(1,t)存在三条直线与曲线y=f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同的零点”,g(x)=12x2-12x=12x(x-1),g(x)与g(x)的情况如下:,所以,g(0)=t+3是g(x)的极大值,g(1)=t+1是g(x)的极小值, 当g(0)=t+30,即t-3时,g(x)在区间(-,1和(1,+)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多有2个零点, 当g(1)=t+10,即
10、t-1时,g(x)在区间(-,0)和0,+)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多有2个零点.,-21-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,当g(0)0,且g(1)0, 所以g(x)分别在区间-1,0),0,1)和1,2)上恰有1个零点,由于g(x)在区间(-,0)和(1,+)上单调,所以g(x)分别在区间(-,0)和1,+)上恰有1个零点. 综上可知,当过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时,t的取值范围是(-3,-1).,-22-,规律总结,拓展演练,1.简化分类讨论的策略:(1)消去参数;(2)整体换元;(3)变更主元;(4)考虑反面;(5)整体变形;(6)数
11、形结合;(7)缩小范围等. 2.分类讨论遵循的原则是:不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论. 3.解题时把好“四关”. (1)要深刻理解基本知识与基本原理,把好“基础关”; (2)要找准划分标准,把好“分类关”; (3)要保证条理分明,层次清晰,把好“逻辑关”; (4)要注意对照题中的限制条件或隐含信息,合理取舍,把好“检验关”.,-23-,规律总结,拓展演练,1.下列命题正确的是( ) A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行,答案,解析,-24-,规律总结,拓展演练,2.已知常数a0,椭圆x2-a2+a2y2=0的长轴长是短轴长的2倍,则a等于( ),答案,解析,-25-,规律总结,拓展演练,3.已知线段AB和平面,A,B两点到平面的距离分别为1和3,则线段AB的中点到平面的距离为 .,答案,解析,-26-,规律总结,拓展演练,答案,解析,
