1、四、转化与化归思想,-2-,高考命题聚焦,思想方法诠释,转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位,数学问题的解决总离不开转化与化归,如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等.各种转化具体解题方法都是化归的手段,转化与化归的思想方法渗透到所有的数学解题过程中.,-3-,高考命题聚焦,思想方法诠释,1.转化与化归思想的含义 转化与化归的思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的
2、问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 2.转化与化归思想在解题中的应用 (1)在三角函数和解三角形中,主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化、通过正、余弦定理实现边角关系的相互转化. (2)换元法是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法.,-4-,高考命题聚焦,思想方法诠释,(3)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时,常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化. (4)在解决数列问题时,常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解. (5)在利用导数研究函数
3、问题时,常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题转化为其导函数f(x)构成的方程、不等式问题求解. (6)在解决解析几何、立体几何问题时,常常在数与形之间进行转化.,-5-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,特殊与一般的转化 【思考】 如何实现由特殊到一般的转化? 例1 (其中e为自然常数)的大小关系是 ( ),答案,解析,-6-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思1.当问题难以入手时,应先对特殊情况或简单情形进行观察、分析,发现问题中特殊的数量或关系结构或部分元素,再推广到一般情形,以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡,这就是特殊化的化归策略. 2
4、.数学题目有的具有一般性,有的具有特殊性,解题时,有时需要把一般问题化归为特殊问题,有时需要把特殊问题化归为一般问题.,-7-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,对点训练1在定圆C:x2+y2=4内过点P(-1,1)作两条互相垂直的直线与C分别交于A,B和M,N,则 的取值范围是 .,答案,解析,-8-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,命题的等价转化 【思考】 在应用化归与转化思想去解决问题时应遵循怎样的原则? 例2在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量q=(2a,1),p=(2b-c,cos C),且qp. (1)求sin A的值; (2)求三角
5、函数式 的取值范围.,解：(1)pq,2acos C=2b-c,根据正弦定理, 得2sin Acos C=2sin B-sin C. 又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,-9-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-10-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思在应用化归与转化的思想方法去解决数学问题时,没有一个统一的模式,它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换.在解题过程中进行化归与转化时,要遵循以下五项基本原则:(1)化繁为简的原则;(2)化生为熟的原则;(3)等价性原则;(4)正难则反的原则;(5)形象具体化原则.
6、,-11-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,对点训练2设a,b0,a+b=5,则 的最大值为 .,答案,解析,-12-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,常量与变量的转化 【思考】 怎样的情况下常常进行常量与变量之间的转化? 例3设f(x)是定义在R上的单调增函数,若f(1-ax-x2)f(2-a)对任意a-1,1恒成立,则x的取值范围为 .,答案,解析,-13-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思在处理多变量的数学问题时,当常量(或参数)在某一范围内取值,求变量x的范围时,经常进行常量与变量之间角色的转化,即可以选取其中的常数(或参数),将
7、其看作变量,而把变量看作常量,从而达到简化运算的目的.,-14-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,对点训练3对于满足0p4的所有实数p,使不等式x2+px4x+p-3成立的x的取值范围是 .,答案,解析,-15-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,函数、方程与不等式之间的转化 【思考】 怎样的情况下常常要进行函数、方程与不等式之间的转化? 例4设函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,f(x)+g(x)=ex,其中e为自然对数的底数. (1)求f(x),g(x)的解析式,并证明:当x0时,f(x)0,g(x)1; (2)设a0,
8、b1,证明:当x0时,ag(x)+(1-a) bg(x)+(1-b).,-16-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,设函数h(x)=f(x)-cxg(x)-(1-c)x, 由,有h(x)=g(x)-cg(x)-cxf(x)-(1-c)=(1-c)g(x)-1-cxf(x).,-17-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,当x0时,若c0,由,得h(x)0, 故h(x)在0,+)上为增函数,从而h(x)h(0)=0, 即f(x)cxg(x)+(1-c)x,故成立. 若c1,由,得h(x)0, 故h(x)在区间0,+)上为减函数,从而h(x)h(0)=0, 即f(x)cx
9、g(x)+(1-c)x,故成立. 综合,得ag(x)+(1-a) bg(x)+(1-b).,-18-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系,解决方程、不等式的问题需要函数帮助,解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简,常常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题;将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题;将方程的求解问题转化为函数的零点问题、两个函数图象的交点问题等.,-19-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,对点训练4已知函数f(x)=x2-aln
10、x-1,函数F(x)=a-1- (1)若f(x)在3,5上是单调递增函数,求实数a的取值范围; (2)当a=2,x0,且x1时,比较 与F(x)的大小.,解：(1)f(x)=x2-aln x-1在3,5上是单调递增函数, f(x)=2x- 0在3,5上恒成立. a2x2在3,5上恒成立. y=2x2在3,5上的最小值为18,a18. 故所求a的取值范围为(-,18.,-20-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-21-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-22-,规律总结,拓展演练,1.在将问题进行化归与转化时,一般应遵循以下几种原则. (1)熟悉化原则:将陌生的问
11、题转化为我们熟悉的问题. (2)简单化原则:将复杂的问题通过变换转化为简单的问题. (3)直观化原则:将较抽象的问题转化为比较直观的问题(如数形结合思想,立体几何问题向平面几何问题转化). (4)正难则反原则:若问题直接求解困难时,可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题.,-23-,规律总结,拓展演练,2.转化与化归的基本类型 (1)正与反、一般与特殊的转化,即正难则反、特殊化原则. (2)常量与变量的转化,即在处理多元问题时,选取其中的常量(或参数)当“主元”,其他的变量看作常量. (3)数与形的转化,即利用对数量关系的讨论来研究图形性质,也可利用图形直观提供思路,直接地反映函数
12、或方程中变量之间的关系. (4)数学各分支之间的转化,如利用向量方法解几何问题,用解析几何方法处理平面几何、代数、三角问题等. (5)相等与不等之间的转化. (6)实际问题与数学模型的转化.,-24-,规律总结,拓展演练,A,解析 由AB=A,得BA,则m=3或 ,即m=3或m=0,m=1,根据集合元素的互异性可知,m1,故m=0或3.,-25-,规律总结,拓展演练,2.(2018天津,文5)已知 ,则a,b,c的大小关系为( ) A.abc B.bac C.cba D.cab,D,-26-,规律总结,拓展演练,3.已知函数f(x)=(x-a)ex在区间(2,3)内没有极值点,则实数a的取值范围是( ) A.(-,34,+) B.3,4 C.(-,3 D.4,+),A,解析 f(x)=(x+1-a)ex,依题意,x+1-a0或x+1-a0在区间(2,3)内恒成立,即ax+1或ax+1. x+1(3,4), a3或a4.故选A.,-27-,规律总结,拓展演练,4.若关于x的不等式m(x-1)x2-x的解集为x|1x2,则实数m的值为 .,2,解析 关于x的不等式m(x-1)x2-x的解集为x|1x2, 方程m(x-1)=x2-x, 即x2-(m+1)x+m=0的两根为1,2,
