1、第一部分 数学方法、思想指导,第1讲 选择题、填空题的解法,-3-,高考选择题、填空题绝大部分属于低中档题目,一般按由易到难的顺序排列,注重多个知识点的小型综合,渗透各种数学思想和方法,能充分考查灵活应用基础知识解决数学问题的能力. (1)解题策略:选择题、填空题是属于“小灵通”题,其解题过程“不讲道理”,所以解题的基本策略是充分利用题干所提供的信息作出判断,先定性后定量,先特殊后一般,先间接后直接,另外对选择题可以先排除后求解. (2)解决方法:选择题、填空题属“小”题,解题的原则是“小”题巧解,“小”题不能大做.主要分直接法和间接法两大类.具体的方法有:直接法,等价转化法,特值、特例法,数
2、形结合法,构造法,对选择题还有排除法(筛选法)等.,-4-,方法一,方法二,方法三,方法四,方法五,方法六,方法一 直接法 直接法就是利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论.这种策略多用于一些定性的问题,是解题最常用的方法.,-5-,方法一,方法二,方法三,方法四,方法五,方法六,例1(1)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且ABBC.若点P的坐标为(2,0),则 的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9,-6-,方法一,方法二,方法三,方法四,方法五,方法六,-7-,方法一,方法二,方法三,方法四,方法五,方法六,-8-
3、,方法一,方法二,方法三,方法四,方法五,方法六,突破训练1(1)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图所示,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是( ),答案: (1)C (2)B,-9-,方法一,方法二,方法三,方法四,方法五,方法六,解析: (1)如图所示,顶点D在正三角形ABC上的射影G为三角形ABC的外心,故正三棱锥的高过其外接球的球心,侧棱DB与三棱锥的高构成的截面过球心,设截面与棱AC的交点为F,BGAC,F为AC中点.取BD的中点E,连接EF,则EF是等腰三角形BDF底边上的高.(2)f(0)=0.当x0时, f(x)=f(x-1)-f(x-2
4、),f(x+1)=f(x)-f(x-1)=-f(x-2), f(x+3)=-f(x),f(x+6)=f(x),f(x)是周期为6的周期函数, f(2 019)=f(3366+3)=f(3)=f(2)-f(1)=f(1)-f(0)-f(1)=-f(0)=0.,-10-,方法一,方法二,方法三,方法四,方法五,方法六,方法二 等价转化法 等价转化法就是用直接法求解时,问题中的某一个量很难求,把所求问题等价转化成另一个问题后,这一问题的各个量都容易求,从而使问题得到解决.通过转化,把不熟悉、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题.,-11-,方法一,方法二,方法三,方法四,方法五,方法六,例2(1)如图,
5、在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=3,点M是BB1的中点,则三棱锥C1-AMC的体积为 ( ),(2)设点P是椭圆 +y2=1上异于长轴端点的一个动点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,O为坐标原点,若M是F1PF2的平分线上一点,F1MMP,则|OM|的取值范围是 .,-12-,方法一,方法二,方法三,方法四,方法五,方法六,答案: (1)A (2)C 解析: (1)(方法一)取BC中点D,连接AD. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中,因为ABC为正三角 形,所以ADBC. 又平面BCC1B1平面ABC,交线为BC,即AD平 面BCC1B1,所以点A到平面MCC1的距离就是
6、AD.在正三角形ABC中,AB=2,所以AD= . 又AA1=3,点M是BB1的中点,-13-,方法一,方法二,方法三,方法四,方法五,方法六,-14-,方法一,方法二,方法三,方法四,方法五,方法六,突破训练2(2018河北唐山三模,10)已知a= ,b=log23,c=log34,则a,b,c的大小关系是( ) A.abc B.bca C.cab D.cba,答案,解析,-15-,方法一,方法二,方法三,方法四,方法五,方法六,方法三 特值、特例法 特值、特例法是解选择题、填空题的最佳方法之一,适用于解答“对某一集合的所有元素,某种关系恒成立”,这样以全称判断形式出现的题目,其原理是“结论
7、若在某种特殊情况下不真,则它在一般情况下也不真”,利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略. 当题目已知条件中含有某些不确定的量时,可将题目中变化的不定量选取一些符合条件的特殊值(或特殊函数,特殊角,特殊数列,特殊图形,图形特殊位置,特殊点,特殊方程,特殊模型等)进行处理,从而得出探求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.,-16-,方法一,方法二,方法三,方法四,方法五,方法六,例3如图所示,在平行四边形ABCD中,APBD,垂足为P,且AP=3,则,答案,解析,-17-,方法一,方法二,方法三,方法四,方法五,方法六,答案,解析,-18-,方法一,方法二,方法三,方法四,方法五,方法六
8、,方法四 数形结合法 在处理数学问题时,将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来,通过对图形或示意图形的观察分析,将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来,利用图象的直观性解决问题,这种方法称为数形结合法.,-19-,方法一,方法二,方法三,方法四,方法五,方法六,例4(2018山东潍坊三模,理15)设抛物线x2=4y的焦点为F,A为抛物线上第一象限内一点,满足|AF|=2,已知P为抛物线准线上任一点,当|PA|+|PF|取得最小值时,PAF的外接圆半径为 .,-20-,方法一,方法二,方法三,方法四,方法五,方法六,-21-,方法一,方法二,方法三,方
9、法四,方法五,方法六,-22-,方法一,方法二,方法三,方法四,方法五,方法六,突破训练4(1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间0,2上是增函数.若方程f(x)=m(m0)在区间-8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4= . (2)已知函数f(x)=ax-x-1(a0,且a1)恰有一个零点,则实数a的取值范围为 .,答案: (1)-8 (2)(0,1)e,-23-,方法一,方法二,方法三,方法四,方法五,方法六,解析: (1)由奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),可得f(4-x)=f(x),即f(2-x)=f(2+x)
10、,且f(x-8)=f(x),可知函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(x)为周期T=8的周期函数.又f(x)在区间0,2上是增函数,故在区间-2,0上也是增函数.如图,方程f(x)=m(m0)在区间-8,8上的四个不同的根x1,x2,x3,x4满足x1+x2=-12,x3+x4=4,故x1+x2+x3+x4=-8.,-24-,方法一,方法二,方法三,方法四,方法五,方法六,(2)f(x)=ax-x-1(a0,且a1)恰有一个零点函数y=ax与函数y=x+1的图象只有一个交点,由图象可知,当01时,两图象都过点(0,1),所以a=e. 综上,实数a的取值范围为(0,1)e.,-25-,方法
11、一,方法二,方法三,方法四,方法五,方法六,方法五 构造法 利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型,从而简化推理与计算过程,使较复杂的数学问题得到简捷的解决.构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的,从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感,构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型,使问题得到快速解决.,-26-,方法一,方法二,方法三,方法四,方法五,方法六,例5(1)已知函数f(x)的定义域为R,其图象关于点(1,0)成中心对称,其导函数为f(x),当x0,则不等式xf(x+1)f(2)的解集为 . (2)如图,已知球O的球面上有四点A,B,C,D,DA平面ABC,ABBC,DA=A
12、B=BC= ,则球O的体积等于 .,答案: (1)(-,-1)(1,+) (2),-27-,方法一,方法二,方法三,方法四,方法五,方法六,解析: (1)设g(x)=(x-1)f(x),当xf(2)h(x)h(1), 即|x|1,解得x1或x-1.,-28-,方法一,方法二,方法三,方法四,方法五,方法六,-29-,方法一,方法二,方法三,方法四,方法五,方法六,突破训练5(1)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,且对xR,均有f(x)f(x),则有( ) A.e2 016f(-2 016)e2 016f(0) B.e2 016f(-2 016)f(0),f(2 016)e2 016f(0
13、) D.e2 016f(-2 016)f(0),f(2 016)2x,则g(x)x2+4的解集为 .,-30-,方法一,方法二,方法三,方法四,方法五,方法六,答案: (1)D (2)(-,-1),-31-,方法一,方法二,方法三,方法四,方法五,方法六,(2)f(x)是定义在R上的奇函数, f(x)的图象过原点. 又g(x)=f(x+1)+5, g(x)的图象过点(-1,5). 令h(x)=g(x)-x2-4, h(x)=g(x)-2x. 对xR,总有g(x)2x, h(x)在R上是增函数, 又h(-1)=g(-1)-1-4=0, g(x)x2+4的解集为(-,-1).,-32-,方法一,方
14、法二,方法三,方法四,方法五,方法六,方法六 排除法(针对选择题) 数学选择题的解题本质就是去伪存真,舍弃不符合题目要求的选项,找到符合题意的正确结论.排除法(又叫筛选法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例,对于错误的选项,逐一剔除,从而获得正确的结论.,-33-,方法一,方法二,方法三,方法四,方法五,方法六,例6(1)(2018河北唐山一模,理12)已知函数f(x)=x2-2xcos x,则下列关于f(x)的表述正确的是( ) A.f(x)的图象关于y轴对称 B.f(x)的最小值为-1 C.f(x)有4个零点 D.f(x)有无数个极值点,答案: D,-34-,方法一,方法二
15、,方法三,方法四,方法五,方法六,-35-,方法一,方法二,方法三,方法四,方法五,方法六,(2)(2018浙江卷,5)函数y=2|x|sin 2x的图象可能是 ( ),答案: D,-36-,方法一,方法二,方法三,方法四,方法五,方法六,解析: 因为在函数y=2|x|sin 2x中,y1=2|x|为偶函数,y2=sin 2x为奇函数, 所以y=2|x|sin 2x为奇函数. 所以排除选项A,B.当x=0,x= ,x=时,sin 2x=0,故函数y=2|x|sin 2x在0,上有三个零点,排除选项C,故选D.,-37-,方法一,方法二,方法三,方法四,方法五,方法六,突破训练6(1)下列函数中
16、,在其定义域内既是奇函数又是增函数的为( ) A.y=ln x3 B.y=-x2 C.y=- D.y=x|x| (2)已知函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可以是( ),答案: (1)D (2)D,-38-,方法一,方法二,方法三,方法四,方法五,方法六,解析: (1)A.y=ln x3的定义域为(0,+),不关于原点对称,不是奇函数, 该选项错误; B.y=-x2是偶函数,不是奇函数,该选项错误; C.y= 在定义域内没有单调性,该选项错误; D.y=x|x|的定义域为R,且(-x)|-x|=-x|x|,该函数在定义域内为奇函数,该选项正确.故选D. (2)由函数的图象可知函
17、数是奇函数,排除B,对A,当x=-20时,-39-,1.解选择题、填空题的基本方法比较多,但大部分选择题、填空题的解法是直接法,在解题时要根据题意灵活运用上述一种或几种方法“巧解”,在“小题小做”“小题巧做”上做文章,切忌盲目地采用直接法. 2.由于选择题供选选项多、信息量大、正误混杂、迷惑性强,稍不留心就会误入“陷阱”,应该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证,既谨慎选择,又大胆跳跃. 3.解填空题不要求求解过程,从而结论是判断正确的唯一标准,因此解填空题时要注意以下几个方面: (1)要认真审题,明确要求,思维严谨、周密,计算要准确; (2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论; (3)要重视对所求结果的检验. 4.作为平时训练,解完一道题后,还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”,并注意及时总结,这样才能有效地提高解选择题的能力.,
