1、第4讲 从审题中寻找解题思路,-2-,审题亦即提取有效信息,挖掘隐含信息,提炼关键信息.条件是题目的“泉眼”.为考察学生的观察、理解、分析、推理等能力,高考试题往往变换概念的表述形式,精简试题从条件到结论的中间环节,透析试题的条件之间的联系,隐去问题涉及的数学思想及背景.如何科学地审题是同学们最需要掌握的基本技能.事实上,审题能力的培养并未引起应有的重视,很多同学热衷于题型的总结与解题方法和技巧的训练,把数学学习等同于解题训练,一味地机械模仿导致应变能力不强,遇到陌生的问题往往束手无策,致使解题失误或陷入误区.,-3-,审题和解题是解答数学试题的重要两步,其中,审题是解题的前提,详细全面地审题
2、为顺利解题扫除大部分障碍,正确把握数学试题中的已知条件和所求,从题目关键词语中挖掘隐含条件、启发解题思路,最短时间内理解条件和结论所包含的详细信息是保障解题效率与解题质量的必需条件.解题作为审题活动的升华,是全面解答数学试题的核心.,-4-,怎样才算审清题意了呢?主要是弄清题目已经告诉了什么信息,需要我们去做什么,从题目本身获取“如何解这道题”的逻辑起点、推理目标以及沟通起点与目标之间联系的更多信息.试题的条件和结论是两个信息源,为了从中获取尽可能多的信息,我们要字斟句酌地分析条件、分析结论、分析条件与结论之间的关系,常常还要辅以图形或记号,以求手段与目标的统一.,-5-,一,二,三,四,五,
3、六,七,一、审清条件信息 审视条件一般包括“挖掘隐含信息、洞察结构特征、洞悉图形趋势、研读图表数据”等几方面. 审题时要避开过去熟悉的同类题目的影响,看似相同,就按过去同类型题目进行求解,要审出同还是不同,不能似是而非.,-6-,一,二,三,四,五,六,七,例1在ABC中,D为边BC上一点,BD= DC,ADB=120,AD=2,若ADC的面积为3- ,则BAC= .,答案 60,-7-,一,二,三,四,五,六,七,-8-,一,二,三,四,五,六,七,-9-,一,二,三,四,五,六,七,审题指导一 先作出草图了解题意,由ADC的面积为3- DCDBBC. 在ADC中,由余弦定理得AC,在ABD
4、中,由余弦定理得AB,在ABC中,由余弦定理得BAC. 审题指导二 考虑已知的条件ADB=120,AD=2,SADC=3- ,作AEBC,在RtDAE中易得AE,DE,由SADC易得DC,从而得BC;分别在RtAEC,RtAEB中由勾股定理易得AC,AB,这样由余弦定理得BAC. 审题指导三 在审题指导二得出AE,DE,BE后,如能及时审视出AE=BE,则有EAB=45,在RtAEC中易求tanEAC,从而利用tanBAC=tan(45+EAC)得出BAC.,-10-,一,二,三,四,五,六,七,二、审条件中的隐含 有的数学试题条件并不明显,审题时要注意挖掘隐含条件和信息,对条件进行再认识、再
5、加工,只有这样,方可避免因忽视隐含条件而出现错误.要注意已知条件中的概念本身容易疏忽的限定信息,关注问题中易于疏忽的特殊情形、可能情形,相近概念之间的差异,要清晰定理成立、公式存在的前提.,-11-,一,二,三,四,五,六,七,例2(1)若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,则m的取值范围是( ) A.(1,2) B.(2,+) C.3,+) D.(3,+) (2)设点P在曲线y= ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为( ),答案 (1)B (2)B,-12-,一,二,三,四,五,六,七,-13-,一,二,三,四,五,六,七,-14-,一,二
6、,三,四,五,六,七,-15-,一,二,三,四,五,六,七,-16-,一,二,三,四,五,六,七,三、审条件中的结构特征 高考数学试题中的已知条件,很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的.在这些问题的数式结构中,往往隐含着某种特殊关系,我们不仅要认真审视数式的浅层结构特征,还要对数式结构进行深入的分析、加工、转化,努力弄清其深层结构特征,在这个逐步清晰的过程中,力争寻找到突破问题的方案.,-17-,一,二,三,四,五,六,七,例3已知an是公差为3的等差数列,数列bn满足b1=1,b2= , anbn+1+bn+1=nbn. (1)求an的通项公式; (2)求bn的前n项和.,-18-,一,
7、二,三,四,五,六,七,-19-,一,二,三,四,五,六,七,四、审图形特点寻简捷 在一些高考数学试题中,问题的条件往往是以图形的形式给出,或将条件隐含在图形之中,因此在审题时,最好画一个图,并在图中标出必要的条件和数据,画图的过程是一个熟悉问题的过程,是一个对已知条件进行再认识的过程.不仅如此,还要善于观察图形,洞悉图形所隐含的特殊的关系、数值的特点、变化的趋势,抓住图形的特征,利用图形所提供的信息来解决问题.,-20-,一,二,三,四,五,六,七,例4函数y=2x2-e|x|在-2,2的图象大致为( ),-21-,一,二,三,四,五,六,七,答案 D 解析 特殊值验证法,取x=2,则y=2
8、4-e28-2.71820.6(0,1),排除A,B; 当0x2时,y=2x2-ex,则y=4x-ex, 由函数零点的判定可知,y=4x-ex在(0,2)内存在零点, 即函数y=2x2-ex在(0,2)内有极值点,排除C,故选D.,-22-,一,二,三,四,五,六,七,审题指导 这类题型的最佳解法应为结合函数的性质,选取特殊点进行排除.y=f(x)=2x2-e|x|为偶函数,当x0时,f(x)=4x-ex,作y=4x与y=ex的图象如图所示,故存在实数x0(0,1),使得f(x0)=0,则当x(0,x0)时,f(x0)0,所以f(x)在(0,x0)内单调递减,在(x0,2)内单调递增,又f(2
9、)=8-e28-7.4=0.6,故选D.,-23-,一,二,三,四,五,六,七,五、审图表数据找关联 数据分析素养是数学学科核心素养之一.此类问题关注现实生活,其试题中的图表、数据隐藏着丰富的数据和信息及其内在联系,也往往暗示着解决问题的目标和方向,要求考生发现生活中的问题,学着运用课堂上学到的知识来分析、解决.在审题时,要认真观察分析图表、数据的特征和规律,找到其中的内在联系,为解决问题提供有效的途径.,-24-,一,二,三,四,五,六,七,例5某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果
10、备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面条形图.,记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.,-25-,一,二,三,四,五,六,七,(1)若n=19,求y与x的函数解析式; (2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值; (3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,
11、以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?,-26-,一,二,三,四,五,六,七,解 (1)当x19时,y=3 800; 当x19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700. 所以y与x的函数解析式为,(2)由条形图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19.,-27-,一,二,三,四,五,六,七,(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800,20台的费用为4 300,10台的费用为4 800,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平
12、均数为 (3 80070+4 30020+4 80010)=4 000. 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000,10台的费用为4 500,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 (4 000 90+4 50010)=4 050. 比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.,-28-,一,二,三,四,五,六,七,审题指导 把统计与函数结合在一起进行考查,有综合性但难度不大. (1)当n=19时,探求y与x的函数解析式,由于机器使用前额外购买这种零件的价格与机器使用期间再购买这种零件的价格不同,需对1
13、台机器在三年使用期内需更换的易损零件数x与购机的同时购买的易损零件数n=19加以比较,自然应用分类讨论思想对x19与x19,分别探求y与x的函数解析式; (2)本题的统计图表不是高频考查的频率分布直方图,而是统计图表中的条形图; (3)许多考生没有读懂题意,本问是判断购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件,而判断的决策依据是:这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,为此需计算两种方案时的平均数.每一种方案,如何求解其平均数呢?自然借助于条形图!,-29-,一,二,三,四,五,六,七,六、审结论善转换 结论是解题的最终目标,解决问题的思维在很多情形下都是在目标意识下启动和定向的
14、.审视结论是要探索已知条件和结论间的联系与转化规律,可以从结论中捕捉解题信息,确定解题方向.有些问题的结论看似不明确或不利于解决,我们可以转换角度,达到解决问题的目的.,-30-,一,二,三,四,五,六,七,例6如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G. (1)证明G是AB的中点; (2)在题图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.,-31-,一,二,三,四,五,六,七,解 (1)因为P在平面ABC内的正投影为D, 所以ABPD. 因为D在平
15、面PAB内的正投影为E,所以ABDE.所以AB平面PED,故ABPG.又由已知可得,PA=PB,从而G是AB的中点. (2)在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.,-32-,一,二,三,四,五,六,七,理由如下:由已知可得PBPA,PBPC, 又EFPB,所以EFPA,EFPC. 因此EF平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影. 连接CG, 因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心. 由(1)知,G是AB的中点,所以D在CG上,-33-,一,二,三,四,五,六,七,审题指导 (1)本题条件中出现正三棱锥P-ABC的顶点P在
16、平面ABC内的正投影为点D,可得ABPD,又D在平面PAB内的正投影为点E,则ABDE,AB平面PED;而待证G是AB的中点,由于PA=PB,只需证明ABPG.,-34-,一,二,三,四,五,六,七,七、审已知与结论建联系 高考试题的条件和结论是两个信息源,其条件和结论,很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的.弄清问题不仅要弄清条件,弄清结论,而且还要弄清条件与所求结论的相互联系,以求手段与目标的统一.,-35-,一,二,三,四,五,六,七,-36-,一,二,三,四,五,六,七,-37-,1.试题的条件和结论是解题的两个信息源,题目的条件对于得出结论是充分的,解题的钥匙就放在题目的条件里,其中的许多信息常常是通过语言文字、公式符号以及它们之间的联系间接地告诉我们,所以,审题要逐字逐句看清楚,力求从语法结构、逻辑关系、数字含义、条件特征、答题形式、数据联系等各方面真正弄懂题意.只有细致审题才能挖掘出来,让其“现出原形”,避免发生会而不对、对而不全的现象.欲速则不达,磨刀不误砍柴工,审题不要怕慢!当然这有待于平时的审题训练. 2.审题决定成败.审题是解题的一个重要步骤,通过审题收集信息、加工信息,熟悉题目并深入到题目内部去思考,去分析,我们就会找到问题解决的突破口.审题是通向成功的起点,也是成功的归宿.,
