1、第七章 不等式,高考文数,考点一 不等式的概念及性质 1.实数比较大小的方法 a-b0ab;a-b=0a=b;a-bbbb,bcac. (3)aba+cb+c. 推论1 a+bcac-b. 推论2 ab,cda+cb+d. (4)ab,c0acbc;ab,c0acbc.,7.1 不等式的概念和性质、基本不等式,知识清单,推论1 ab0,cd0acbd. 推论2 ab,ab0 b0anbn(nN*,且n1). (5)ab0 (nN*,且n1).,考点二 基本不等式 1.两个重要不等式 (1)若a、bR,则a2+b22ab,当且仅当a=b时取“=”. (2)若a、b(0,+),那么 ,当且仅当a=
2、b时取“=”. 2.算术平均数、几何平均数 若a、b(0,+),那么 叫做正数a、b的算术平均数, 叫做正数a、b的几何平均数. 3.基本不等式求最值的方法 (1)若a、b(0,+),当ab为定值时,a+b有最小值,最小值为2 ,当且仅当 a=b时取“=”.,(2)若a、b(0,+),当a+b为定值时,ab有最大值,最大值为 , 当且仅当a=b时取“=”. (3)若a、bR,则 .当a、b(0,+)时,a+b , 当a2+b2为定值时,a+b有最大值,当且仅当a=b时取“=”. 4.基本不等式的几种变形及相关结论 (1)几种变形 对于基本不等式,不仅要记住原始形式,而且还要掌握它的几种变形形
3、式及公式的逆用等,如: ab (a、bR);, (a0,b0). (2)常用的结论 (i)如果a、b(0,+),则 (当且仅当a=b时 取等号). (ii)若a(0,+),则a+ 2(当且仅当a=1时取等号); 若a0,则a+ 2(当且仅当a=1时取等号)或a+ -2(当且仅当a=-1时 取等号). (iii)若a、bR,则2(a2+b2)(a+b)2,当且仅当a=b时取等号. (iv)a2+b2+c2ab+ac+bc,当且仅当a=b=c时取等号.,比较大小常用的方法 比较大小常用的方法有作差法和作商法. (1)作差法比较大小的步骤:作差变形判断差的符号下结论. (2)作商法比较大小的步骤:作
4、商变形判断商与1的大小下结论. 其中变形是关键,变形方法有通分、因式分解和配方等,变形要彻底,要 有利于与0或1比较大小. 例1 若00且a1,则|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小关系是 ( A ) A.|loga(1-x)|loga(1+x)| B.|loga(1-x)|loga(1+x)| C.不确定,由a的值决定 D.不确定,由x的值决定,方法技巧,解析 00, |loga(1-x)|-|loga(1+x)| = - =- lg(1-x)+lg(1+x) =- lg(1-x2)0, |loga(1-x)|loga(1+x)|.,应用不等式的性质解题 使用不等式的性质时,
5、一定要注意它们成立的前提条件,不可强化或弱 化它们成立的条件,盲目套用.例如: (1)ab,cda+cb+d,已知的两个不等式必须是同向不等式; (2)ab0且cd0acbd,已知的两个不等式不仅要求同向,而且必须 为正值; (3)ab0anbn,其中a,b为正值,并且nN*,n1.若去掉“b0”这个条 件,取a=3,b=-4,n=2,就会出现32(-4)2的错误结论;若去掉“nN*,n1” 这个条件,取a=3,b=2,n=-1,会出现3-12-1,即 的错误结论. 例2 已知-1x+y4且2x-y3,则z=2x-3y的取值范围是 .(答案 用区间表示),解析 解法一(待定系数法):设2x-3
6、y=(x+y)+(x-y)=(+)x+(-)y, 则 从而2x-3y=- (x+y)+ (x-y), 又由已知得-2- (x+y) ,5 (x-y) , 3- (x+y)+ (x-y)8,即z(3,8). 解法二(线性规划法):-1x+y4且2x-y3表示的平面区域如图,其中, A(3,1),B(1,-2).,当直线z=2x-3y经过点A时,z取得最小值,zmin=3,当直线z=2x-3y经过点B时, z取得最大值,zmax=8,又A,B两点不在可行域内,故z(3,8).,答案 (3,8),利用基本不等式求最值 1.已知某些变量(正数)的积为定值,可求和的最小值. 2.已知某些变量(正数)的和
7、为定值,可求积的最大值. 在运用基本不等式解决最值问题时,要注意条件“一正、二定、三相 等”.创造使用基本不等式的条件,常用的技巧有变常数、变系数、拆 项等. 另外,对于函数f(x)=ax+ (a0,b0)定义域内不含实数 的类型的最 值问题,应用“对勾函数”的单调性求解. 例3 (1)(2016天津红桥高考模拟,11)已知x3,则x+ 的最小值为 ( D ) A.2 B.4 C.5 D.7,(2)(2016江西重点中学盟校一模,10)若直线mx+ny+2=0(m0,n0)被圆(x +3)2+(y+1)2=1截得的弦长为2,则 + 的最小值为 ( D ) A.4 B.12 C.16 D.6,解题导引 (1)添项成x-3+3+ 使用基本不等式解决 (2)求圆的半径及圆心坐标 直线过圆心(-3,-1) 3m+n=2 用“1” 代换 利用基本不等式求最小值,解析 (1)x3,则x-30,所以x+ =x-3+ +32 +3=7, 当且仅当x=5时等号成立.故选D. (2)圆(x+3)2+(y+1)2=1的半径为1,圆心为(-3,-1), 因为直线mx+ny+2=0(m0,n0)被圆(x+3)2+(y+1)2=1截得的弦长为2,所以 直线经过圆的圆心, 则可得3m+n=2. 则 + = (3m+n)= 3+ =6. 当且仅当m= ,n=1时取等号.故选D.,
