1、高考理数,考点 利用基本不等式求最值 1.基本不等式,其中 为正数a,b的算术平均数, 为正数a,b的几何平均数,基 本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.几个常用的不等式 (1)a2+b22ab(a,bR). (2)ab (a,bR). (3) (a,bR).,知识清单,(4) (a,b0). (5) + 2(a,b同号且不为0).,1.利用基本不等式可以求一些函数或代数式的最大值或最小值. (1)已知x,yR+,若x+y=P(定值),当且仅当x=y时,积xy有最大值,是 P2(简 记:和为定值,积有最大值); (2)已知x,yR+,若xy=S(定值),当且仅当
2、x=y时,和x+y有最小值,是2 (简 记:积为定值,和有最小值). 2.利用基本不等式求最值应满足的三个条件 (1)一正:各项或各因式均为正; (2)二定:和或积为定值; (3)三相等:各项或各因式能取到使等号成立的值.,利用基本不等式求最值问题,方法技巧,简记:一正、二定、三相等. 如果解题过程中不满足上述条件,则可进行拆分或配凑因式,以满足以 上三个条件. 3.利用基本不等式求函数的最值时,关键在于将函数变形为两项和或积 的形式,然后用基本不等式求出最值. 例1 (2017广东清远一中一模,10)若正数a,b满足: + =1,则 + 的最小值为 ( C ) A.16 B.9 C.6 D.
3、1,解题导引,解析 正数a,b满足 + =1,a1,且b1. + =1可变形为 =1, ab=a+b,ab-a-b=0,(a-1)(b-1)=1,a-1= ,a-10, + =+9(a-1)2 =6,当且仅当 =9(a-1),即a= 时取“=”, + 的最小值为6.,应用基本不等式解决实际问题的步骤: (1)仔细阅读题目,透彻理解题意; (2)分析实际问题中的数量关系,引入未知数,并用它表示其他的变量,把 要求最值的变量设为函数; (3)应用基本不等式求出函数的最值; (4)还原实际问题,作出解答. 例2 (2017江西南昌二模,16)网店和实体店各有利弊,两者的结合将在 未来一段时期内,成为
4、商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支 架销售公司从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销 售模式.根据几个月的运营发现,产品的月销售量x万件与投入实体店体,基本不等式的实际应用,验安装的费用t万元之间满足x=3- 的函数关系式.已知网店每月固定 的各种费用支出为3万元,产品每1万件进货价格为32万元,若每件产品 的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装 费用的一半”之和,则该公司的最大月利润是 万元.,解题导引,解析 由题意知t= -1(1x3),设月利润为y万元,所以y= x- 32x-3-t=16x- -3=16x- + -3=45.5- 45.5-2 =37.5, 当且仅当x= 时取等号,即最大月利润为37.5万元.,答案 37.5,
