1、第三章 导数及其应用 3.3 定积分与微积分基本定理,高考理数,考点一 定积分的计算 1.定积分的概念 如果函数f(x)在区间a,b上连续,用分点a=x0x1xi-1xixn=b,将区 间a,b等分成n个小区间,在每个小区间xi-1,xi上任取一点i(i=1,2,n), 作和式 = f(i),当n时,上述和式无限接近某个常数,这 个常数叫做函数f(x)在区间a,b上的定积分,记作 f(x)dx,即.这里,a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间 a,b叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量, f(x)dx叫做被 积式.,知识清单,(1) kf(x)dx=k f(x)dx; (2)
2、 f1(x)f2(x)dx= f1(x)dx f2(x)dx ; (3) f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx(其中acb). 3.微积分基本定理 一般地,如果f(x)是区间a,b上的连续函数,并且F(x)=f(x),那么 f(x)dx= F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼茨公式. 为了方便,我们常常把F(b)-F(a)记成F(x) ,即f(x)dx=F(x) =F(b)-F(a).,2.定积分的基本性质,考点二 定积分的意义 1.定积分的几何意义 (1)当函数f(x)在区间a,b上恒为正时,定积分 f(x)dx的几何意义是由直 线x=a,x=b(ab)
3、,y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(甲图中阴 影部分).,(2)一般情况下,定积分 f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线y=f(x)以及 直线x=a、x=b之间的曲边梯形面积的代数和(乙图中阴影部分),其中在 x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上 积分值的相反数. 2.定积分的物理意义 (1)变速直线运动的路程公式 做变速直线运动的物体所经过的路程s等于其速度函数v=v(t)(v(t)0) 在时间区间a,b上的定积分,即s= . (2)变力做功公式 如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与F(x)相同的,方向从x=a移动到x=b(ab
4、),则变力F(x)所做的功W= .,1.计算一些简单的定积分的步骤 (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等与常 数的积的和或差; (2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分; (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数; (4)利用微积分基本定理求出各个定积分; (5)计算原始定积分.,定积分的求解,方法技巧,2.利用定积分的几何意义求定积分 当曲边梯形面积易求时,可通过求曲边梯形的面积求定积分.如:定积分 的几何意义是单位圆面积的 ,所以 = .,例1 (1)(2017江西赣中南五校二模,5)设f(x)= 则 f(x) dx的值为 ( A ) A. + B. +3
5、C. + D. +3 (2)(2017陕西西安高新一中一模,8) (xcos x+ )dx的值为 ( D ) A. B. C. D.,解析 (1)由题意可知 f(x)dx= dx+ (x2-1)dx,根据定积分的几 何意义,可知 dx是以原点为圆心,1为半径的圆的面积的 , dx= , f(x)dx= + = + ,故选A. (2)y=xcos x为奇函数, xcos xdx=0. dx= = 2= , (xcos x+ )dx= ,故选D.,1.求解步骤 (1)在直角坐标系中画出图形; (2)借助图形确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限; (3)将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和; (4)计算定积分. 2.关键环节 (1)认定曲边梯形,选定积分变量; (2)确定被积函数与积分上、下限.,求曲边梯形的面积,解题导引,解析 由题意,建立如图所示的坐标系,则D(2,1), 设抛物线的方程为y2=2px(p0), 将D(2,1)代入,可得p= , y= , 所求面积S=2 dx= = ,故选D.,
