1、第二章 函数 2.2 函数的基本性质,高考理数,2.2 函数的基本性质,考点一 函数的单调性及最值1.函数的单调性 (1)增函数、减函数,知识清单,注意:(1)单调函数的定义有以下两种等价形式: x1,x2a,b,且x1x2, (i) 0f(x)在a,b上是增函数;0f(x)在a,b上是增函数; (x1-x2)f(x1)-f(x2)0f(x)在a,b上是减函数. (2)单调区间只能用区间表示,当一个函数的增区间(或减区间)有多个 时,不能用“”连接,而应该用“和”或“,”连接.例如:y= 的单调减 区间为(-,0)和(0,+),但不能写成(-,0)(0,+).,2.函数的最值,考点二 函数的奇
2、偶性1.函数的奇偶性,考点三 函数的周期性1.周期函数的概念 设函数y=f(x),xD.如存在非零常数T,使得对任何xD都有f(x+T)=f(x), 则函数f(x)为周期函数,T为y=f(x)的一个周期. 2.关于函数周期性的几个常用结论 (1)若T为函数f(x)的一个周期,则kT(k为非零整数)也是函数f(x)的周期,这 就是说,一个函数如果有周期,就有无数多个. (2)当函数f(x)满足f(x+a)= (a0)或f(x+a)=-f(x)(a0)时,2|a|是它的 一个周期. (3)设f(x)是R上的偶函数,且图象关于直线x=a(a0)对称,则f(x)是周期 函数,2|a|是它的一个周期.,
3、(4)设f(x)是R上的奇函数,且图象关于直线x=a(a0)对称,则f(x)是周期 函数,4|a|是它的一个周期. (5)若函数y=f(x)恒满足f(x+a)=-f(x+b)(ab),则y=f(x)是周期函数,且2|a-b| 是它的一个周期. (6)若函数y=f(x)恒满足f(x+a)= (ab),则y=f(x)是周期函数,且2|a -b|是它的一个周期.,判断函数单调性的方法 1.定义法:利用定义严格判断. 2.利用函数的运算性质判断.若f(x),g(x)为增函数,则在公共定义域内: (i)f(x)+g(x)为增函数; (ii) 为减函数(f(x)0); (iii) 为增函数(f(x)0);
4、 (iv)f(x)g(x)为增函数(f(x)0,g(x)0); (v)-f(x)为减函数. 3.利用复合函数关系判断单调性,法则是“同增异减”,即若两个简单函 数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数 的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.,方法技巧,4.利用图象判断函数单调性. 5.导数法: (i)若f(x)在某个区间内可导,当f (x)0时, f(x)为增函数;当f (x)0)在(-1,1)上的单调性.,解题导引 解法一:任取x1,x2(-1,1),且x1x2 作差,整理得f(x1)-f(x2)= 判断差的符号 得 f(x)的单调性 解法二:f (x)= 判断
5、f (x)的符号 得f(x)的单调性,解析 解法一(定义法):任取x1,x2(-1,1),且x10,x1x2+10,( -1)( -1)0. 又a0,f(x1)-f(x2)0,故函数f(x)在(-1,1)上为减函数. 解法二(导数法): f (x)=,= = =- . a0,x(-1,1), f (x)0. f(x)在(-1,1)上是减函数.,判断函数奇偶性的方法 1.定义法,3.性质法 若f(x),g(x)在其公共定义域上具有奇偶性,则奇+奇=奇;奇奇=偶,偶+偶 =偶,偶偶=偶,奇偶=奇. 例2 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=(1-x) ; (2)f(x)=,2.图象法,(3)f
6、(x)= ; (4)f(x)=log2(x+ ).,解题导引 求f(x)的定义域 找f(x)与f(-x)的关系 结论,解析 (1)当且仅当 0时函数有意义,-1x0时,-x0, f(-x)=-x2-2x+1=-f(x), f(-x)=-f(x),即函数是奇函数. (3)由题意知 -2x2且x0, 函数的定义域为-2,0)(0,2,关于原点对称. f(x)= = ,又f(-x)= =- =-f(x), f(-x)=-f(x),即函数是奇函数. (4)解法一:易知f(x)的定义域为R. f(-x)=log2(-x)+ =log2 =-log2(x+ )=-f(x),f(x)是奇函数. 解法二:易知
7、f(x)的定义域为R. f(-x)+f(x)=log2(-x)+ +log2(x+ )=log21=0,f(-x)=-f(x), f(x)为奇函数.,规律总结 (1)对于解析式比较复杂的函数,有时需要将函数化简后再 判断它的奇偶性,但一定要先考虑它的定义域; (2)对于分段函数,必须分段判定它的奇偶性,只有在每一段上都满足奇 偶函数的定义时,才能下相应的结论; (3)当f(x)0时,奇偶函数定义中的判断式f(-x)=f(x)常被它的变式 =1所替代.,函数性质的综合应用 求解函数性质的综合问题时,一要紧扣奇偶性、单调性、周期性的定义 及有关的结论,二要充分利用各种性质之间的联系. 例3 (20
8、16福建基地综合,7)已知定义在R上的奇函数满足f(x+4)=-f(x), 且在区间0,2上是增函数,则 ( D ) A.f(-25)f(11)f(80) B.f(80)f(11)f(-25) C.f(11)f(80)f(-25) D.f(-25)f(80)f(11),解题导引 求出f(x)的周期为8 在-2,2内求f(-25), f(80),f(11) 根据f(x)为奇函数且在0,2上是 增函数得f(x)在-2,2上是增函数 结论,解析 f(x+4)=-f(x),f(x+8)=-f(x+4), f(x+8)=f(x), f(x)的周期为8,f(-25)=f(-1), f(80)=f(0), f(11)=f(3)=f(-1+4)=-f(-1)=f(1), 又奇函数f(x)在区间0,2上是增函数, f(x)在区间-2,2上是增函数, f(-25)f(80)f(11),故选D.,
