1、第六章 数列,高考文数,6.4 数列的综合应用,知识清单,考点 数列前n项和的求法1.常见的数列求和方法 (1)分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和的数列. (2)拆项相消:把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程消去 中间项,只剩有限项再求和. (3)错位相减:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的 数列求和. (4)倒序相加:例如,等差数列前n项和公式的推导方法.,2.常见的拆项公式 (1) = - ;,(2) = ; (3) = - . (4)an是等差数列,公差为d,则 = .,数列求和的方法 1.一般地,数列求和应从通项入手,若无通项,则先求通项,然后通过对通 项
2、变形,转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式,从而 选择合适的方法求和. 2.常见类型及方法 an=kn+b,利用等差数列前n项和公式直接求解; an=a1qn-1,利用等比数列前n项和公式直接求解,但要注意对q分q=1与q 1两种情况进行讨论; an=bn+cn,数列bn、cn是可以直接求和的数列,采用分组求和法求 an的前n项和; an=bncn,bn是等差数列,cn是等比数列,采用错位相减法求an的前,方法技巧,n项和; 可化为an=f(n)-f(n-1)形式的数列,可采用裂项相消法求an的前n项和; an-k+ak=cbn,可考虑用倒序相加法求和; an=(-1)nf(n),
3、可将相邻两项合并求解,即采用“并项法”. 例1 (2015湖南,19,13分)设数列an的前n项和为Sn.已知a1=1,a2=2, 且an+2=3Sn-Sn+1+3,nN*. (1)证明:an+2=3an; (2)求Sn.,解题导引 (1)用n-1代替n,代入an+2= 3Sn-Sn+1+3 an+1=3Sn-1-Sn+3, n2 得an+2-an+1=3an-an+1, n2,即an+2=3an,n2 验证当n=1时 等式的正确性 (2)由(1)知an+2=3an a2n-1=3n-1, a2n=23n-1 分组求和,解析 (1)证明:由条件,对任意nN*,有an+2=3Sn-Sn+1+3,
4、 因而对任意nN*,n2,有an+1=3Sn-1-Sn+3. 两式相减,得an+2-an+1=3an-an+1,n2,即an+2=3an,n2. 又a1=1,a2=2,所以a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1. 故对一切nN*,an+2=3an. (2)由(1)知,an0,所以 =3.于是数列a2n-1是首项a1=1,公比为3的等比 数列;数列a2n是首项a2=2,公比为3的等比数列.因此a2n-1=3n-1,a2n=23n-1. S2n=a1+a2+a2n=(a1+a3+a2n-1)+(a2+a4+a2n) =(1+3+3n-1)+2(1+3+3n-1) =3(1+3+
5、3n-1)= ,从而S2n-1=S2n-a2n= -23n-1= (53n-2-1). 综上所述,Sn=,例2 (2017湖南湘潭三模,17)已知数列an满足Sn=2an-1(nN*),bn是 等差数列,且b1=a1,b4=a3. (1)求数列an和bn的通项公式; (2)若cn= - (nN*),求数列cn的前n项和Tn.,解题导引 由Sn求an 求bn 求cn 裂项相消求Tn,解析 (1)Sn=2an-1,n2时,Sn-1=2an-1-1,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,n2, 即an=2an-1,n2. 当n=1时,S1=a1=2a1-1,a1=1, an是以1为首项,2为公比的等比数列, an=2n-1,b4=a3=4,又b1=1, = =1. bn=1+(n-1)=n. (2)由(1)知cn= - =21-n- =21-n-2 , Tn= -2,=2- -2 = -21-n.,
