1、11.4 二项分布与正态分布,高考理数,考点一 条件概率、相互独立事件及二项分布 1.条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概 率叫做条件概率,用符号P(B|A)来表示,其公式为P(B|A)= . (2)条件概率具有的性质 (i)0P(B|A)1; (ii)如果B和C是两个互斥事件,则P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A). 2.相互独立事件 (1)对于事件A、B,若A的发生与B的发生互不影响,则称A、B是相互独 立事件.,知识清单,(2)若A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B). (3)
2、若A与B相互独立,则A与 , 与B, 与 也都相互独立. (4)若P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立. 3.独立重复试验与二项分布,4.二项分布的均值与方差 若XB(n,p),则EX=np,DX=np(1-p).,考点二 正态分布及其应用 1.正态曲线及其特点 (1)正态曲线的定义 函数,(x)= ,x(-,+)(其中实数和(0)为参数)的图 象为正态分布密度曲线,简称正态曲线. (2)正态曲线的特点 (i)曲线位于x轴上方且与x轴不相交; (ii)曲线是单峰的,它关于直线x=对称; (iii)曲线在x=处达到峰值 ; (iv)曲线与x轴之间的面积为1;,(v)当一定时,曲线随着的
3、变化而沿x轴移动; (vi)当一定时,曲线的形状由确定,越小,曲线越“瘦高”;越大,曲线 越“矮胖”. 2.正态分布 (1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a,b(ab),随机变量X满足P(aXb)= ,(x)dx,则称 X的分布为正态分布,记作 XN(,2) . (2)正态分布的三个常用数据 (i)P(-X+)=0.682 6; (ii)P(-2X+2)=0.954 4; (iii)P(-3X+3)=0.997 4.,1.利用定义,分别求P(A)和P(AB),得P(B|A)= . 2.当基本事件适合有限性和等可能性时,可借助古典概型概率公式,先求 事件A包含的基本事件数n(A),在事件
4、A发生的条件下求事件B包含的基 本事件数,即n(AB),得P(B|A)= . 例1 (2017湖北襄阳五中一模,15)抛掷红、蓝两颗骰子,设事件A为 “蓝色骰子的点数为3或6”,事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”. 当已知蓝色骰子的点数为3或6时,两颗骰子的点数之和大于8的概率为 .,条件概率的求法,方法技巧,解析 设x为掷红色骰子得到的点数,y为掷蓝色骰子得到的点数,则所 有可能的事件与(x,y)建立一一对应的关系,共有36个基本事件.显然,P(A)= = ,P(B)= = ,P(AB)= . 解法一:P(B|A)= = = .,解法二:P(B|A)= = .,答案,1.n次独立重复试验中
5、事件A恰好发生k(k=0,1,2,n)次可看作是 个互 斥事件的和,其中每一个事件都可看作是k个A事件与n-k个 事件同时 发生,只是发生的次序不同,其发生的概率都是pk(1-p)n-k(p为事件A发生 的概率).因此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为 pk(1-p)n-k. 2.判断某随机变量是否服从二项分布的方法: (1)在每一次试验中,事件发生的概率相同. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)在每一次试验中,试验的结果只有两个,即发生与不发生.,独立重复试验及二项分布问题的求解方法,例2 (2017河北“五个一名校联盟”二模,18)空气质量指数(Air Quali- t
6、y Index,简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照AQI 大小分为六级:050为优;51100为良;101150为轻度污染;151200为中 度污染;201300为重度污染;300以上为严重污染.一环保人士记录去年 某地六月10天的AQI的茎叶图如图. (1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI100)的天数; (2)将频率视为概率,从六月中随机抽取3天,记三天中空气质量为优良的 天数为,求的分布列和数学期望.,解析 (1)从茎叶图中可以发现样本中空气质量为优的天数为2,空气质 量为良的天数为4,该样本中空气质量为优良的频率为 = ,从而估 计该地六月空气质量为优良
7、的天数为30 =18. (2)由(1)估计某天空气质量为优良的概率为 ,的所有可能取值为0,1,2, 3,且B . P(=0)= = , P(=1)= = , P(=2)= = ,P(=3)= = , 的分布列为,E=3 =1.8.,解题关键 判断出服从二项分布是解第(2)问的关键.,1.在正态分布N(,2)中,的意义分别是期望和标准差,在正态分布曲 线中确定曲线的位置,而确定曲线的形状.如果给出两条正态分布曲 线,我们可以根据正态分布曲线的位置和形状判定相应的和的大小 关系. 2.对正态分布曲线的性质考查最多的是其对称性,即正态分布曲线关于 直线x=对称,也可以推广到P(+0). 例3 (2
8、014课标,18,12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测 量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:,正态分布及其应用方法,(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差s2(同一组中的 数据用该组区间的中点值作代表); (2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(,2),其 中近似为样本平均数 ,2近似为样本方差s2.,(i)利用该正态分布,求P(187.8Z212.2); (ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量 指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用(i)的结果,求EX. 附: 1
9、2.2. 若ZN(,2),则P(-Z +)=0.682 6, P(-2Z +2)=0.954 4.,解析 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数 和样本方差s2分别为=1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+2200.08+2300.02=200, s2=(-30)20.02+(-20)20.09+(-10)20.22+00.33+1020.24+2020.08+3020.02=150. (2)(i)由(1)知,ZN(200,150), 从而P(187.8Z212.2)=P(200-12.2Z200+12.2)=0.682 6. (ii)由(i)知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6, 依题意知XB(100,0.682 6),所以EX=1000.682 6=68.26.,评析 本题主要考查了频率分布直方图、正态分布及二项分布问题,考 查学生的识图能力及阅读理解能力,理解和掌握基础知识是解题关键.,
