1、第十四章 坐标系与参数方程,高考文数,考点一 坐标系 1.平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换: 的作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称为平面直角坐标系中的伸缩变换. (2)常见的伸缩变换问题的题型:已知变换前的解析式及伸缩变换,求变 换后的解析式;已知伸缩变换及变换后的解析式,求变换前的解析式;已 知变换前、后的解析式,求伸缩变换.,知识清单,(1)极坐标系的四要素: 极点 、 极轴 、 单位(长度单 位、角度单位) 以及 正方向 . (2)点的极坐标是由极径和极角组成的有序实数对,即 (,) ,一般 地,不作特殊说明时,我们认为0
2、,R. 3.直角坐标与极坐标的互化 (1)两者互化的前提:直角坐标系的原点与极点重合;x轴的正半轴与极轴 重合;在两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式:设M是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为 (x,y)和(,),则有 且 (3)把直角坐标化为极坐标,求极角时,应注意确定极角的终边所在的位 置,以便准确地求出. 4.简单曲线的极坐标方程,2.极坐标系及极坐标,考点二 参数方程1.直线、圆和椭圆的参数方程和普通方程,2.参数方程化为普通方程的关键是消参数:一要熟练掌握常用技巧 (如整体代换),二要注意变量取值范围的一致性,这一点最易忽视.,知识拓展1.求曲线的极坐标方程的步骤
3、: (1)建立适当的极坐标系,设P(,)是曲线上任意一点; (2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径与极角 之间的关系式; (3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程.2.根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义,有如下常用结论: (1)直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为t1,t2,则弦长l=|t1-t2|; (2)定点M0是弦M1M2的中点t1+t2=0; (3)设弦M1M2的中点为M,则点M对应的参数值tM= (由此可求|M2M|及 中点坐标).,极坐标方程与直角坐标方程的互化方法 若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴正半轴重合,并 在两种
4、坐标系中取相同的长度单位,则极坐标方程与直角坐标方程可以 互化,极坐标方程化为直角坐标方程时通常通过构造cos ,sin ,2的 形式,其中方程两边同乘以或同时平方是常用的变形方法,要注意变形 的等价性. 例1 (2017山西孝义三模,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方 程为 (为参数),曲线C2的普通方程为 + =1,以原点为极 点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C1的普通方程和C2的极坐标方程;,(2)若A,B是曲线C2上的两点,且OAOB,求 + 的值.,方法技巧,解析 (1)曲线C1的普通方程为(x-1)2+y2=1,即x2-2x+y2=0,曲线C2的极
5、坐 标方程为2cos2+42sin2=16(只要写出,的关系式均可). (2)曲线C2的极坐标方程为 + =1, 设A(1,),B , 代入C2的极坐标方程得 + =1, + =1, 故 = + = + + + = , + = .,例2 (2015课标,23,10分)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2 +(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C1,C2的极坐标方程; (2)若直线C3的极坐标方程为= (R),设C2与C3的交点为M,N,求 C2MN的面积.,解析 (1)因为x=cos ,y=sin , 所以C1的极坐标方程为c
6、os =-2, C2的极坐标方程为2-2cos -4sin +4=0. (5分) (2)将= 代入2-2cos -4sin +4=0,得2-3 +4=0,解得1=2 ,2= , 故1-2= ,即|MN|= . 由于C2的半径为1,所以C2MN的面积为 . (10分),参数方程与普通方程的互化方法 1.将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征选取适当的 消参方法,常见的消参方法有:代入消参法、加减消参法、平方消参法 等,对于含三角函数的参数方程,常利用同角三角函数关系式消参, 如sin2+cos2=1等. 2.将参数方程化为普通方程时,要注意参数的取值范围对普通方程中点 的坐标的影响,
7、注意两种方法的等价性,避免产生增解. 3.将普通方程化为参数方程时,应选择适当的参数,把点(x,y)的横、纵坐 标分别用参数表示出来,同时注意参数的意义和取值范围.,例3 (2017江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数 方程为 (t为参数),曲线C的参数方程为 (s为参数).设P 为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.,解题导引 消去参数t得直线l的普通方程 设P(2s2,2 s),利用点到 直线的距离公式得距离的表达式 利用二次函数求距离的最小值,解析 直线l的普通方程为x-2y+8=0. 因为点P在曲线C上,设P(2s2,2 s), 从而点P到直线l的
8、距离d= = . 当s= 时,dmin= . 因此当点P的坐标为(4,4)时,曲线C上点P到直线l的距离取到最小值 .,例4 (2017安徽师大附中等名校联考,22)在平面直角坐标系xOy中,圆C 的参数方程为 (t为参数),在以原点O为极点,x轴的非负 半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为cos =- . (1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程; (2)设直线l与x轴,y轴分别交于A,B两点,点P是圆C上任意一点,求A,B两 点的极坐标和PAB面积的最小值.,解题导引 (1)利用sin2t+cos2t=1消去参数t得圆C 的普通方程 利用两角和的余弦公式和极坐标与直角坐标的
9、 互化公式可得直线l的直角坐标方程(2)先求出A、B的直角坐标, 再化为极坐标 利用圆C的参数方程 设出点P的坐标 由点到直线的距离公式和 三角函数的知识求出点P到直线l距离的最小值 求出|AB|,利用三角形面积公式求SPAB的最小值,解析 (1)由 (t为参数)消去参数t,得(x+5)2+(y-3)2=2, 所以圆C的普通方程为(x+5)2+(y-3)2=2. 由cos =- ,得cos -sin =-2, 可得直线l的直角坐标方程为x-y+2=0. (2)直线l与x轴,y轴的交点分别为A(-2,0),B(0,2),化为极坐标为A(2,), B , 设点P的坐标为(-5+ cos t,3+
10、sin t),则点P到直线l的距离为d= ,所以dmin= =2 ,又|AB|=2 , 所以PAB面积的最小值= 2 2 =4.,与参数方程有关问题的求解方法 1.过定点P0(x0,y0),倾斜角为的直线的参数方程的标准式为 (t为参数),使用该式时直线上任意两点P1,P2对应的参数分 别为t1,t2,则|P1P2|=|t1-t2|,线段P1P2的中点对应的参数为 (t1+t2). 2.对于形如 (t为参数)的参数方程,当a2+b21时,应先化为标 准式后才能利用t的几何意义解题. 3.解决与直线与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时,要注意普 通方程与参数方程的互化公式,主要通过互化解决与
11、圆、圆锥曲线上动 点有关的问题,如最值、范围等.,例5 (2017河北“五个一名校”联盟二模,22)在平面直角坐标系xOy中, 曲线C的参数方程为 (为参数).以坐标原点O为极点,x轴正 半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为cos = .l与C 交于A、B两点. (1)求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程; (2)设点P(0,-2),求|PA|+|PB|的值.,解题导引 (1)利用sin2+cos2=1得曲线C的普通方程 利用极直互 化公式得直线l的直角坐标方程 (2)写出直线l的参数方程 代入曲线C的普通方程 得关于t的一元 二次方程 利用t的几何意义及根与系数的关系得结果,解析 (1)由曲线C的参数方程为 (为参数),得普通方程为+y2=1. 因为直线l的极坐标方程为cos = , 即cos -sin =2, 所以直线l的直角坐标方程为y=x-2. (2)点P(0,-2)在l上,则l的参数方程为 (t为参数), 代入 +y2=1整理得3t2-10 t+15=0,由题意可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|= .,
