1、第十章 概率、统计及统计案例,高考文数,10.2 统计及统计案例,知识清单,考点一 抽样方法1.三种抽样方法的比较,2.分层抽样中公式的运用 抽样比= = .3.简单随机抽样 每次每个个体被抽到的概率都相等,都是 . 在抽样过程中,每个个体被抽到的概率都是 .,4.系统抽样的步骤 当 是整数时,(1)先将总体中每一个个体编号.(2)确定分段间隔k= ,对 编号进行分段.(3)在第一段用抽签法确定第一个个体编号t(tk).(4)按 照一定的规则抽取样本,通常是抽取t,t+k,t+2k,t+(n-1)k. 当 不是整数时,先随机地从总体中剔除余数个个体,然后按上述步骤进行.,考点二 频率分布直方图
2、与茎叶图 1.频率分布直方图的特征 (1)各个小矩形的面积和为1. (2)纵轴的含义为 ,矩形的面积=组距 =频率. (3)样本数据的平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘矩形底边中点 横坐标之和. (4)众数为最高矩形的底边中点的横坐标. 2.茎叶图的优点 茎叶图的优点是可以保留原始数据,而且可以随时记录,这给数据的记 录和表示都带来了方便.,考点三 样本的数字特征 1.众数、中位数、平均数,2.方差和标准差 方差和标准差反映了数据波动程度的大小. (1)方差: s2= (x1- )2+(x2- )2+(xn- )2 ;,(2)标准差:s= . 注意:方差和标准差描述了一组数据与平均数的离散程
3、度,反映了一组 数据相对于平均数的波动情况,标准差和方差越大,说明这组数据的波 动性越大. 3.关于平均数、方差的有关性质 (1)若x1,x2,xn的平均数为 ,那么mx1+a,mx2+a,mxn+a的平均数为 m +a. (2)数据x1,x2,xn与数据x1=x1+a,x2=x2+a,xn=xn+a的方差相等. (3)若x1,x2,xn的方差为s2,那么ax1+b,ax2+b,axn+b的方差为a2s2.,考点四 变量间的相关性1.回归直线方程为 = + x,其中其中( , )为样本点的中心, = xi, = yi.2.样本相关系数r= . 如果|r|r0.05,那么表明有95%的把握认为x
4、与y具有线性相关关系. 如果|r|r0.05,那么求回归直线方程没有意义.,3.相关指数:R2=1- .R2越大,模型的拟合效果越好;R2越小, 模型的拟合效果越差. 4.相关系数r.|r|1,表示两个变量的线性相关性越强. |r|0,表明两个变量之间几乎不存在线性相关性. 通常|r|0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性.,考点五 独立性检验 1.分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这样的变量称为分类变量. 2.列联表:列出两个分类变量的频数表,称为列联表.假设有两个分类变量X和Y,它们的可能取值分别为x1,x2和y1,y2,其样本频数列联表(称为22列联表)如下:,可构
5、造一个随机变量K2= ,其中n=a+b+c+d为 样本容量. 3.独立性检验 利用独立性假设、随机变量K2来确定是否有一定把握认为“两个分类 变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验. 两个分类变量X和Y是否有关系的判断标准: 统计学研究表明:当K23.841时,认为X与Y无关; 当K23.841时,有95%的把握说X与Y有关; 当K26.635时,有99%的把握说X与Y有关; 当K210.828时,有99.9%的把握说X与Y有关.,系统抽样与分层抽样的特点及步骤 1.系统抽样 (1)适用于元素个数很多且均衡的总体; (2)各个个体被抽到的机会均等; (3)总体分组后,在起始部分采用的是
6、简单随机抽样; (4)如果总体容量N能被样本容量n整除,则抽样间隔k= ,如果总体容量 N不能被样本容量n整除,可随机地从总体中剔除余数个个体,然后再按 系统抽样的方法抽样. 2.分层抽样适用于由差异明显的几部分组成的总体,抽取的步骤是: (1)按某种特征将总体分成若干部分. (2)按比例确定每层抽取的个体数.,方法技巧,(3)各层按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取个体. (4)综合每层抽取的个体,组成样本. 例1 (2016广东肇庆三模,3)一个总体中有100个个体,随机编号为0,1,2, ,99.依编号顺序平均分成10个小组,组号依次为一,二,三,十.现用系 统抽样方法抽取一个容量为10的
7、样本,如果在第一组随机抽取的号码为 m,那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同.若m=6, 则在第七组中抽取的号码是 ( A ) A.63 B.64 C.65 D.66,解析 若m=6,则在第7组中抽取的号码个位数字与13的个位数字相同, 而第7组中的编号依次为60,61,62,63,69,故在第7组中抽取的号码是63.,频率分布直方图 1.小长方形的面积=组距 =频率. 2.各小长方形的面积之和等于1. 例2 (2017安徽黄山二模,19)全世界越来越关注环境保护问题,某监测 站点于2016年8月某日起连续n天监测空气质量指数(AQI),数据统计如 下表:,(1)根据所给统计
8、表和频率分布直方图中的信息求出n,m的值,并完 成频率分布直方图;(2)由频率分布直方图,求该组数据的平均数与中位数; (3)在空气质量指数分别为(50,100和(150,200的监测数据中,用分层抽,样的方法抽取5天,从中任意选取2天,求事件A“两天空气质量等级都为 良”发生的概率.,解析 (1)0.00450= ,n=100, 20+40+m+10+5=100,m=25.=0.008; =0.005; =0.002; =0.001. 由此完成频率分布直方图,如图:,(2)由频率分布直方图得该组数据的平均数为 250.00450+750.00850+1250.00550+1750.00250
9、+2250.001 50=95, 0,50的频率为0.00450=0.2,(50,100的频率为0.00850=0.4, 中位数为50+ 50=87.5. (3)由题意知在空气质量指数为(50,100和(150,200的监测天数中分别 抽取4天和1天, 在所抽取的5天中,将空气质量指数为(50,100的4天分别记为a,b,c,d; 将空气质量指数为(150,200的1天记为e, 从中任取2天的基本事件为(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d), (c,e),(d,e),共10个,其中事件A“两天空气质量等级都为良”包含的基本事件为 (a,b
10、),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共6个, 所以P(A)= = .,样本的数字特征 1.利用频率分布直方图估计样本的数字特征 (1)在样本数据的频率分布直方图中,众数就是最高矩形底边中点的横 坐标. (2)在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等, 由此可以估计中位数的值. (3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个 小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的积之和. 2.平均数: = ; 方差:s2= (x1- )2+(x2- )2+(xn- )2;,标准差:s= . 方差、标准差描述数据的离散程度. 例3 (2017湖北黄冈
11、3月质检,7)已知数据x1,x2,x3,xn是某市n(n3,nN*) 个普通职工的年收入,设这n个数据的中位数为x,平均数为y,方差为z, 如果再加上世界首富的年收入xn+1,则这(n+1)个数据中,下列说法正确的 是 ( B ) A.年收入平均数可能不变,中位数可能不变,方差可能不变 B.年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差变大 C.年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差也不变 D.年收入平均数大大增大,中位数一定变大,方差可能不变,解析 数据x1,x2,x3,xn是某市n(n3,nN*)个普通职工的年收入,xn+1 为世界首富的年收入,则xn+1远大于x1,x2,x3,xn,故这
12、(n+1)个数据中,年收 入平均数大大增大;中位数可能不变,也可能稍微变大;由于数据的集中 程度受到xn+1的影响比较大,更加离散,所以方差变大.,回归分析的应用 分析两个变量的相关关系时,我们可根据样本数据散点图确定两个变量 之间是否存在相关关系,还可利用最小二乘法求出回归直线方程.把样 本数据表示的点在直角坐标系中作出,构成的图叫散点图.从散点图上, 我们可以分析出两个变量是否存在相关关系.如果这些点大致分布在通 过散点图中心的一条直线附近,那么就说这两个变量之间具有线性相关 关系,这条直线叫做回归直线,直线方程叫做回归直线方程. 求回归直线方程的步骤: (1)整理数据,计算出 , xiy
13、i, , . (2)计算回归系数 , ,公式为,(3)写出回归直线方程 = x+ . 例4 (2015重庆,17,13分)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增 长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:,(1)求y关于t的回归方程 = t+ ; (2)用所求回归方程预测该地区2015年(t=6)的人民币储蓄存款. 附:回归方程 = t+ 中,= , = - .,解析 (1)列表计算如下:,这里n=5, = ti= =3, = yi= =7.2. 又ltt= -n =55-532=10,lty= tiyi-n =120-537.2=12, 从而 = = =1.2, = - =7.
14、2-1.23=3.6,故所求回归方程为 =1.2t+3.6. (2)将t=6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为=1.26+3.6=10.8(千亿元).,独立性检验的思想方法 1.独立性检验的思想来自于统计上的假设检验思想,它与反证法类似,它 们都是先假设结论不成立,然后根据是否能推出“矛盾”来判定结论是 否成立.但二者“矛盾”的含义不同,反证法中的“矛盾”是指不符合 逻辑的事件发生;而假设检验中的“矛盾”是指不符合逻辑的小概率事 件发生,即在结论不成立的假设下推出有利于结论成立的小概率事件的发生. 2.独立性检验的一般步骤: (1)独立性检验原理只能解决两个对象,每个对象有两
15、类属性的问题,所 以对于一个实际问题,我们要首先确定能否用独立性检验的思想加以解决;,(2)如果确实属于这类问题,要科学地抽取样本,样本容量要适当,不可太小; (3)根据数据列出22列联表; (4)提出假设H0:所研究的两类对象(X、Y)无关; (5)根据公式计算K2= 的值; (6)比较观测值k与临界值表中相应的检验水平,根据小概率原理肯定或 者否定假设,即判断X、Y是否相关. 例5 (2017安徽池州4月模拟,18)某职称晋级评定机构对参加某次专业 技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制的频率分布直方图如图所示. 规定80分以上者晋级成功,否则晋级失败(满分为100分).,(1)求图中a
16、的值; (2)估计该次考试的平均分 (同一组中的数据用该组的区间中点值代表); (3)根据已知条件完成下面22列联表,并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关.,参考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d,解析 (1)由频率分布直方图中各小长方形面积总和为1,得 (2a+0.020+0.030+0.040)10=1,解得a=0.005. (2)由频率分布直方图知各小组的中点值依次是 55,65,75,85,95, 对应的频率分别为0.05,0.30,0.40,0.20,0.05, 则估计该次考试的平均分为 =550.05+650.3+750.4+850.2+95 0.05=74(分). (3)由频率分布直方图知,晋级成功的频率为0.2+0.05=0.25, 故晋级成功的人数为1000.25=25, 填写22列联表如下:,K2= 2.6132.072, 所以有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关.,
