1、1.3.1 函数的单调性,1.3函数的基本性质,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当 x1x2时，都有 f(x1) f(x2) ，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数。,1.定义：一般的，设函数 f(x)的定义域为I：,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当 x1x2 时，都有 f(x1) f(x2) ，那么就说函数f(x) 在区间D上是减函数。,知识梳理：,2.判断函数单调性的方法步骤,1 任取x1，x2D，且x1x2； 2 作差f(x1)f(x2)； 3 变形（通常是因式分解和配方）； 4 定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；
2、 5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）,利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：,题型探究,类型一 求单调区间并判断单调性,例1.函数y|x22x3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性,解 y|x22x3|的单调区间有(，1，1,1，1,3，3，)， 其中单调递减区间是(，1，1,3；单调递增区间是1,1，3，),反思与感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有,
3、类型二 证明单调性,例2.求证：函数f(x) 在1，)上是增函数,证明： 设x1，x2是1，)上的任意实数，且1x1x2，,则f(x1)f(x2),1x1x2，x1x20,1x1x2，,即f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2),函数f(x)在区间1，)上是增函数,反思与感悟 运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且x1x2的条件下，转化为确定f(x1)与f(x2)的大小，要牢记五大步骤：取值作差变形定号小结,类型三 单调性的应用,命题角度1 利用单调性求参数范围,例3 已知函数f(x)x22ax3在区间1,2上单调，则实数a的取值范围为_,【解
4、析】 由于二次函数开口向上，故其增区间为a，)，减区间为(，a，而f(x)在区间1,2上单调，所以1,2a，)或1,2(，a，即a1或a2.,(，12，), 若函数 是定义在R上的减函数，则a的取值范围为( ),【解析】 要使f(x)在R上是减函数，需满足：,A,反思与感悟 分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要接口处不能反超另外，函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的,命题角度2 用单调性解不等式,例4 已知yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且f(1a)f(2a1)，求a的取值范围,解 f(1a)f(2a1)等价于,即所求a的取值范围是0a,解得0a ，,反思与感悟 若
5、已知函数f(x)的单调性，则由x1，x2的大小，可得f(x1)，f(x2)的大小；由f(x1)，f(x2)的大小，可得x1，x2的大小,三达标检测,1.f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有 ，则必有( ) A函数f(x)先增后减 B函数f(x)先减后增 C函数f(x)是R上的增函数 D函数f(x)是R上的减函数,C,2.若函数yf(x)的定义域为R，且为增函数，f(1a)f(2a1)，则a的取值范围是 。,【解析】 yf(x)的定义域为R，且为增函数， 又f(1a) ，,3.f(x)是定义在0，)上的减函数，则不等式f(x)f(2x8)的解集是_,4.求证函数f(x) 在(0，)上是减函数,【解析】对于任意的x1，x2(0，)，且x1x2，,有f(x1)f(x2),0x1x2，x2x10，x2x10，,f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，,函数f(x)在(0，)上是减函数,
