1、17.5 反证法,学习目标,1.掌握反证法的证明步骤。 2.能用反证法进行推理。 3.学会反面说理的方法，培养从正反两方面进行说理的能力。 学习重点 反证法的证明步骤 学习难点 能用反证法进行推理证明,故事说一个少妇抱着小孩回娘家，路过瓜田，遇上一个恶少调戏。少妇不从，被诬偷瓜，告到县衙。恶少暗中用 钱收买为他看瓜的地保，嘱他摘三个大瓜到县衙作证。张飞升堂审讯，问恶 少，恶少说少妇偷他的瓜，有人证物证；问少妇，少妇说恶少调戏她。张飞 “想了一想”，佯断少妇偷瓜，命恶少先把三个大瓜 抱回去。恶少左抱右抱，怎么也抱不起来。张飞虎眉一 竖，拍案而起，痛斥恶少“你堂堂男子汉，三个瓜都抱不动，她是弱女子
2、， 又抱小孩，怎能偷你三个大瓜？分明是你调戏。“经过审问，果然不错。,张飞是怎样证明少妇无罪的呢? 他运用了怎样的推理方法?,张飞断案,假设“少妇偷瓜”,少妇同时要抱小孩和三个瓜,与 “恶少无法抱动三个瓜”产生矛盾,假设 “少妇偷瓜”不成立,所以“少妇没有偷瓜” 是正确的,张飞推理方法是:,从前有个聪明的孩子叫王戎。他7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.,有人问王戎为什么， 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.,王戎是怎样知道李子是苦的呢? 他运用了怎样的推理方法?,假设“李子甜”,树在
3、道边则李子少,与已知条件“树在道边而多子”产生矛盾,假设 “李子甜”不成立,所以“树在道边而多子,此必为苦李” 是正确的,王戎推理方法是:,身边的例子,妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天在外地旅游. 小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!,上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么?,小芳全家没外出旅游.,如何推断该命题的正确性的?,老师的困惑：,一个三角形中不可能有两个钝角。,一个三角形中最多有一个直角。,还有很多呢！,证明：一个三角形中不可能有两个钝角。,已知：ABC。 求证：三角形中不可能有两个钝角。,C,B,A,证明：假设ABC有两个钝角， 不妨设A和B都是钝角。 A+ B 18
4、0 A+ B+ C 180 这与“三角形的内角和是180 ”相矛盾， 所以，我们假设三角形中可以有两个钝角是错误的，因此一个三角形中不可能有两个钝角。,谁能帮老师解决,“一个三角形中最多有一个直角”你能证明它吗？,已知:ABC 求证：在ABC中，如果它含有直角，那么它只有一个直角。,A,B,C,证明：假设ABC中有两个（或三个）直角，设A=B=90A+B=90A+B+C180 这与“三角形的内角和等于180”相矛盾。 因此，三角形有两个（或三个）直角的假设是不成立的。 所以，如果三角形含有直角，那么它只能有一个直角。,过同一直线上的三点不能作圆.,已知：点A、B、C三点在直线 L上. 求证：过
5、A、B、C三点不能作圆.,设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线L1上，又在线段BC的垂直平分线L2上，即点P为 L1与L2的交点.,而这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾。假设不成立。,所以，过同一直线上的三点不能作圆。,证明：假设过A、 B、 C三点可以作一个圆。,用反证法证明（填空）:在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60.,这与_相矛盾.,所以_不成立，所求证的结论成立.,已知: A，B，C是ABC的内角.,求证: A，B，C中至少有一个角大 于或等于60.,证明: 假设所求证的结论不成立，即A _ 60 ，B _ 60 ，C _60则A
6、+B+C 180.,三角形三个内角的和等于180,假设,试一试,求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.,已知:,直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1l2,l3与l1相交于点P.,求证:,l3与l2相交.,证明:,假设_,那么_.,因为已知_,这与“_ _”矛盾.,所以假设不成立,即求证的命题正确.,l3与l2 不相交.,l3l2,l1l2,经过直线外一点,有且只有一条直线平行于已知直线,所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,用反证法证明平行线的性质定理一： 两条平行线被第三条直线所截同位角相等,已知：如图直线ABCD,直线EF分别与直线AB
7、,CD交于点G,H.1和2是同位角。 求证：1=2,A,B,C,D,E,G,H,F,1,2,两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。已知:如图，只想AB CD，直线EF分别于直线AB,CD交于点G,H, 1和2是同位角。 求证： 1= 2。 证明：假设1 2。过点G作直线MN，使得EGN= 1 . EGN= 1 ,MN CD（基本事实）。又 AB CD（已知）过点G有两条不同的直线AB和MN都与直线CD平行，这与“经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾。 1 2的假设是不成立的。因此， 1= 2。,1,2,F,C,M,A,G,E,H,D,N,B,推理过程,原结论是正确的,命
8、题中的结论不成立,相矛盾的定理原来是它,求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.,定理,不用反证法证明,已知:如图，l1l2 ,l 2 l 3,求证: l1l3,l,B,l1l2 ,l 2l 3（已知） 2 =1 ，1 =3（两直线平行，同位角相等）,证明:作直线l，分别与直线l1 ，l2 ，l3交于于点A，B，C。,2 =3（等式性质）, l1l3 （同位角相等，两直线平行）,l,C,A,用反证法证明直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。,求证： ABCABC.,不妨设BCBC.,A,B,C,A,B,C,D,在BC上截取CD=CB.连接AD.,在ABC和
9、ADC中，,AC=AC,C=C,CB=CD, ABCADC(SAS). AB=AD(全等三角形的对应边相等),AB=AB(已知)， AB=AD（等量代换）， B=ADB（等边对等角）， ADB90（三角形内角和定理），,即CADB90（三角形的外角大于和它不相邻的内角）。,这与C=90相矛盾。 因此，BCBC的假设不成立，即ABC与ABC不全等的假设不成立。 所以，ABCADC.,用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤是：,第一步，假设命题的结论不成立。 第二步，从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果。 第三步，有矛盾的
10、结果判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的。,反证法的一般步骤:,假设命题结论不成立,假设不成立,假设命题结论反面成立,与已知条件矛盾,假设,推理得出的结论,与定理，定义，基本事实矛盾,所证命题成立,常用的互为否定的表述方式：,是 存在 平行 垂直 等于 都是 大于 小于 至少有一个 至少有三个 至少有n个 至多有一个 三角形中最多有一个是直角,不是,不存在,不平行,不垂直,不等于,不都是,不大于,不小于,一个也没有,至多有两个,至多有(n-1)个,至少有两个,三角形中有两个或三个角是直角,巩固练习,用反证法证明下列命题： 1.垂直于同一条直线的两条直线平行 2.两条直线相交，有且只有一个
11、交点。 3.如果两条直线都平行与第三条直线，那么着两条直线也互相平行。,学以致用：,1、用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于60”。 证明：假设三角形的三个内角都大于60度， 即A 60，B 60, C 60, 则 A+B+ C , 这与 相矛盾， 不成立， 。,180,三角形的内角和是180,三角形的三个内角都大于60,三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于60,2、如图，已知ABEF于M，CDEF于N,用反证法证明：ABCD。,G,D,C,A,B,E,F,H,N,M,证明：假设AB与CD不平行， 过N作GHAB， GHAB, AME=GNE, ABEF， AME
12、=90, GNE=90， GH EF, 又 CDEF, 过点N有两条直线CD和GH都与直线EF垂直， 这与“经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾。 AB与CD不平行的假设是不成立的， 因此， ABCD。,如图，在ABC中,若C是直角，那么B一定是锐角.,3.你能用反证法证明以下命题吗？,证明：假设结论不成立,则B是_或_.,这与_矛盾；,当B是_时，则_ 这与_矛盾；,直角,钝角,直角,B+ C= 180,三角形的三个内角和等于180,钝角,B+ C180,三角形的三个内角和等于180,当B是_时，则_,综上所述,假设不成立.,B一定是锐角.,4. 说出下列各结论的否定面： （1）ab （2）ab （3）b是正数 （4）ab （5）至少有一个 （6）至多有一个,a不平行于b,ab,b是0或负数,a不垂直于b,一个也没有,至少有两个,课堂小结,本节课你学会了哪些知识？,1、怎样的证明方法叫反证法？,2、用反证法证明一个命题的一般步骤是什么？,假设结论的反面正确,推理论证,得出结论,回顾与归纳,反证法,反设,归谬,结论,再见,
