1、- 1 -静海区 20182019 学年度第一学期四校联考试卷高三数学（理工类）试卷 本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷第 1 页至第 2 页，第卷第 2 页至第 4 页。试卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。第卷一、选择题（共 8 题：每题 5 分，共 40 分）1已知集合 ，则 （ ）A B C D 2已知 x、 y 满足 ，则 的最小值为（ ）A 4 B 6 C 12 D 163执行如图所示程序框图，输出的 S（ ）A 25 B 9 C 17 D 204 “ ”是“ ”的（ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件5已
2、知 ， ， ，则（ ）A B C D 6将函数 图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不- 2 -变） ，再把得到的图象向左平移 个单位长度，所得函数图象关于 对称，则 =（ ）A B C D 7已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 作圆的切线，交双曲线右支于点 ，若 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）A B C D 8在梯形 中， ， ，动点 和 分别在线段 和 上，且 ， ，则 的最大值为（ ）A B C D 第卷二、填空题（共 6 题；每题 5 分，共 30 分） 9若复数 满足 ，则 为_z10 的展开式中 的系数为_ （用数字作答）11如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据
3、可得该几何体的表面积为_.- 3 -12直线 的参数方程为 为参数） ，圆 的参数方程为 为参数） ，则直线 被圆 截得弦长为_13已知正实数 a， b， c 满 足 ， ，则 的取值范围是_14 （本题 5 分）已知函数 若方程有四个不等的实数根，则实数 的取值范围是_三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15 （本小题 13 分）已知函数 .（）求函数 的最小正周期和单调递减区间；（）在 中， ， ， 的对边分别为 ，已知 ， 求 的值.16 （本小题 13 分）某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间安排生活趣味数学和校园舞蹈赏析两场讲座.已
4、知 A、B 两学习小组各有 5 位同学，每位同学在两场讲座任意选听一场.若 A 组 1 人选听生活趣味数学 ，其余 4 人选听校园舞蹈赏析 ；B 组 2 人选听生活趣味数学 ，其余 3 人选听校园舞蹈赏析.（1）若从此 10 人中任意选出 3 人，求选出的 3 人中恰有 2 人选听校园舞蹈赏析的概率；（2）若从 A、B 两组中各任选 2 人，设 为选出的 4 人中选听生活趣味数学的人数，求的分布列和数学期望 .17 （本小题 13 分）- 4 -如图， 且 AD=2BC， , 且 EG=AD， 且 CD=2FG， /ADBCADC/EGAD/CFG， DA=DC=DG=2.G平 面（I）若 M
5、 为 CF 的中点， N 为 EG 的中点，求证： ；/MNE平 面（II）求二面角 的正弦值；EF（III）若点 P 在线段 DG 上，且直线 BP 与平面 ADGE 所成的角为60，求线段 DP 的长.18 （本小题 13 分）数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn n(n+1)(nN*).(1)求数列 an的通项公式；(2)若数列 bn满足： ，求数列 bn的通项公式；(3)令 (nN*)，求数列 cn的前 n 项和 Tn.19 （本小题 14 分）已知椭圆 过点 ，且其中一个焦点的坐标为 .（1）求椭圆 的方程；（2）过椭圆 右焦点 的直线 与椭圆交于两点 ，在 轴上是否存在点 ，
6、使得为定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由20 （本小题 14 分）已知函数（1）求函数 的单调区间；- 5 -（2） 若 在区间（0， e上的最大值为3，求 m 的值；（3）若 x 1 时，不等式 恒成立，求实数 k 的取值范围。- 6 -答案学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1 （本题 5 分）已知集合 ，则 （ ）A B C D 【答案】C【解析】【分析】先求出集合 A，B，由此能求出 AB【详解】集合 A=x|x24x=x|0x4，B=x|3x40=x|x ，AB=x| x4=（ 故选：C【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解
7、能力，考查函数与方程思想，是基础题2 （本题 5 分）已知 x、y 满足 ，则 的最小值为（ ）A 4 B 6 C 12 D 16【答案】A【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】- 7 -由约束条件 作出可行域如图，联立 ，解得 A（2，2） ，令 z=3xy，化为 y=3xz，由图可知，当直线 y=3xz 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最小值为 4故选：A【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地
8、作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.3 （本题 5 分）执行如图所示程序框图，输出的 S（ ）A 25 B 9 C 17 D 20【答案】C【解析】【分析】直接利用循环结构，计算循环各个变量的值，当 ，不满足判断框的条件，- 8 -退出循环输出结果即可【详解】按照程序框图依次执行为 ， ， ；， ， ；， ， ，退出循环，输出 故应选 C【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构
9、；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4 （本题 5 分） “ ”是“ ”的A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别判定充分性和必要性，得到结果【详解】，当 时，则“ ”是“ ”的必要不充分条件- 9 -故选【点睛】本题主要考查了充要条件必要条件的判断，属于基础题。5 （本题 5 分）已知 ， ， ，则（ ）A B C D 【答案】D【
10、解析】, 故答案为：D.6 （本题 5 分）将函数 图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变） ，再把得到的图象向左平移 个单位长度，所得函数图象关于 对称，则 =A B C D 【答案】B【解析】【分析】函数 图象经过放缩变换与平移变换后可得 ，由可得结果.【详解】函数 图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍后得到 ，- 10 -再向左平移 后得到 ，因为 的图象关于于 对称，解得 ，当 时， ，故选 B.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.7
11、 （本题 5 分）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 作圆的切线，交双曲线右支于点 ，若 ，则双曲线的渐近线方程为A B C D 【答案】A【解析】【分析】由双曲线的定义可得 ，结合条件可得 ，运用勾股定理，结合 a，b，c 的关系，可得 ，进而得到渐近线的斜率【详解】- 11 -如图，作 于点 . 于点 .因为 与圆相切， ，所以 ， ， ， .又点 在双曲线上.所以 .整理，得 .所以 .所以双曲线的渐近线方程为 .故选 A.【点睛】本题考查双曲线的渐近线的斜率，注意运用圆的切线的性质，结合双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题8 （本题 5 分）在梯形 中， ， ，动点 和 分别在
12、线段 和 上，且 ， ，则 的最大值为A B C D 【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的数量积转化为关于 的表达式；再根据打钩函数的单调性判断最值。【详解】因为 ，所以 ABCD 是直角梯形，且 CM= ， - 12 -以 AB 所在直线为 x 轴，以 AD 所在直线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系因为 ， ，动点 和 分别在线段 和 上，则 所以 令 且由基本不等式可知，当 时可取得最大值，则所以选 D【点睛】本题考查了向量数量积和打钩函数的综合应用。利用坐标法研究向量的关系是非常简便实用的方法；使用基本不等式要注意“一正二定三相等”这些条件是否满足，属于中档题
13、。二、填空题9 （本题 5 分）若复数 满足 ，则 为_- 13 -【答案】【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数 ，再由共轭复数的定义求解.【详解】由 ，得 ，所以， ，故答案为 .【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.10 （本题 5 分） 的展开式中 的系数为_ （用数字作答）【答案】60【解析】的展开式的通项公式为令 得 的系数为故
14、答案为 6011 （本题 5 分）如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为- 14 -_.【答案】33【解析】【分析】由几何体的三视图知，该几何体的下半部分是底面半径为 3，高为 4，母线长为 5 的圆锥，上半部分是半径为 3 的半球，由此能求出该几何体的表面积.【详解】由几何体的三视图知，该几何体的下半部分是底面半径为 3，高为 4，母线长为 5 的圆锥，上半部分是半径为 3 的半球，该几何体的表面积 ，故答案为 .【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，关键是对几何体正确还原，并根据三视图的长度求出几何体的几何元素的长度，再代入对应的面积公式进行求解，考查了空间想象
15、能力注意“高平齐，长对正，宽相等”原则.12 （本题 5 分）直线 的参数方程为 为参数） ，圆 的参数方程为为参数） ，则直线 被圆 截得弦长为_【答案】3- 15 -【解析】【分析】先将直线与圆的参数方程化为普通方程，然后求出圆心到直线的距离 ，结合弦长与弦心距的关系 ，即可求出结果.【详解】直线 的参数方程为 为参数） ，消去 ，直线 的普通方程：圆 的参数方程为 为参数） ，消去 ，圆 的普通方程： ，圆心坐标 ，半径 .圆心到直线 的距离：根据弦长与弦心距的关系，弦长为 .故答案为 3.【点睛】本题考查直线与圆的参数方程、相交弦问题，参数方程化为普通方程的关键是消参.圆的弦长计算常用
16、三种方法：（1）几何法，即根据弦心距（圆心到直线的距离） ，圆的半径 和弦长的一半满足勾股定理，可以通过弦心距 和圆的半径 求得弦长 .（2）代数法，设交点坐标为 ，联立直线与圆的方程，整理得一元二次方程，结合韦达定理计算弦长 或- 16 -（3）参数方程法，设交点坐标的参数为 ，将直线的参数方程代入到圆的普通方程，整理成关于 的一元二次方程，结合韦达定理计算弦长 .13 （本题 5 分）已知正实数 a， b， c 满足 ， ，则 的取值范围是_【答案】【解析】【详解】由 =1，可得 ，由 ，得 ， 或， ， ， ，故答案为 .14 （本题 5 分）已知函数 若方程 有四个不等的实数根，则实数
17、 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由函数图像可知，令 ，欲使原方程有四个不等根 ,则 有两个根，分别为 ， 或 ， （舍）或 ， （舍） ，再令，结合二次函数的图像列不等式求解即可.【详解】- 17 -令 则 欲使原方程有四个不等根 ,由图像知方程两根为 ， 或 ， （舍）或 ， （舍）令 则 .【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、方程的根与系数之间的关系，数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运
18、用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.三、解答题15 （本题 13 分）已知函数 .（）求函数 的最小正周期和单调递减区间；（）在 中， ， ， 的对边分别为 ，已知 ， ，求 的值.【答案】 （） ， ， （） ，【解析】试题分析：（）根据辅助角公式即可求得 ，即可求得 最小正周期及单调递减区间；（）由 ，即可求得 ，利用余弦定理及正弦定理即可求得 和 的值试题解析：（）由周期为 ，- 18 - ，函数的单减区间为 ， ；（） ； ， ，又 ，解得： ， ， ， 的值 1，2.16某校举
19、办校园科技文化艺术节，在同一时间安排生活趣味数学和校园舞蹈赏析两场讲座.已知 A、B 两学习小组各有 5 位同学，每位同学在两场讲座任意选听一场.若 A 组1 人选听生活趣味数学 ，其余 4 人选听校园舞蹈赏析 ；B 组 2 人选听生活趣味数学 ，其余 3 人选听校园舞蹈赏析.（1）若从此 10 人中任意选出 3 人，求选出的 3 人中恰有 2 人选听校园舞蹈赏析的概率；（2）若从 A、B 两组中各任选 2 人，设 为选出的 4 人中选听生活趣味数学的人数，求的分布列和数学期望 .【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】【分析】- 19 -（1）利用相互独立事件与古典概率计算公式即可得出（2）
20、X 可能的取值为 ，利用相互独立事件、互斥事件的概率计算公式即可得出概率、分布列与数学期望.【详解】设“选出的 3 人中恰 2 人选听校园舞蹈赏析 ”为事件 ，则 ，答：选出的 3 人中恰 2 人选听校园舞蹈赏析的概率为 . 可能的取值为 ， ，故 .所以 的分布列为：X 0 1 2 3所以 的数学期望.【点睛】本题主要考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，属于中档题.17 （本题 13 分）如图， 且 AD=2BC， , 且 EG=AD， /ADBCADC/EGAD且 CD=2FG， ， DA=DC=DG=2./CDFG平 面- 20 -（I）若 M 为 C
21、F 的中点， N 为 EG 的中点，求证： ；MNCDEA平 面（II）求二面角 的正弦值；EBCF（III）若点 P 在线段 DG 上，且直线 BP 与平面 ADGE 所成的角为 60，求线段 DP 的长.【答案】()证明见解析；() ；() .103【解析】分析：依题意，可以建立以 D 为原点，分别以 ， ， 的方向为 x 轴，ADCGy 轴， z 轴的正方向的空间直角坐标系.（）由题意可得：平面 CDE 的一个法向量 n0=（1，0，1） 又 =（1， ，1） ，故MN32， MN平面 CDE0MNn（）依题意可得平面 BCE 的一个法向量 n=（0，1，1） 平面 BCF 的一个法向量
22、为m=（0，2，1） 据此计算可得二面角 EBCF 的正弦值为 10（）设线段 DP 的长为 h（ h0，2 ） ，则点 P 的坐标为（0，0， h） ，结合空间向量的结论计算可得线段 的长为 .DP3详解：依题意，可以建立以 D 为原点，分别以 ， ， 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图） ，ACG可得 D（0，0，0） ， A（2，0，0） ， B（1，2，0） ， C（0，2，0） ，E（2，0，2） ， F（0，1，2） ， G（0，0，2） ， M（0， ，1） ， N（1，0，2） 3- 21 -（）依题意 =（0，2，0） ， =（2，0，2） D
23、CE设 n0=(x， y， z)为平面 CDE 的法向量，则 即 0E， 20yxz， ，不妨令 z=1，可得 n0=（1，0，1） 又 =（1， ，1） ，可得 ，MN30MNn又因为直线 MN 平面 CDE，所以 MN平面 CDE（）依题意，可得 =（1，0，0） ， ， =（0，1，2） BC12BE， ， CF设 n=（ x， y， z）为平面 BCE 的法向量，则 即 0E， 20xyz， ，不妨令 z=1，可得 n=（0，1，1） 设 m=（ x， y， z）为平面 BCF 的法向量，则 即 0BCF， 20xyz， ，不妨令 z=1，可得 m=（0，2，1） 因此有 cos= ，
24、于是 sin= 310所以，二面角 EBCF 的正弦值为 10（）设线段 DP 的长为 h（ h0，2 ） ，则点 P 的坐标为（0，0， h） ，可得 1BP， ，- 22 -易知， =（0，2，0）为平面 ADGE 的一个法向量，DC故 ，25BPcosh由题意，可得 =sin60= ，解得 h= 0，2 25h33所以线段 的长为 .DP3点睛：本题主要考查空间向量的应用，线面平行的证明，二面角问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18 （本题 13 分）数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Snn(n+1)(nN *).(1)求数列a n的通项公式；(2)若数列b n满足：
25、 ，求数列b n的通项公式；(3)令 (nN *)，求数列c n的前 n 项和 Tn.【答案】 （1） ；(2) ;（3） .【解析】【分析】（1）数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Sn=n（n+1） （nN *） ，n2 时，a n=SnS n1 n=1 时，a1=S1=2，即可得出;（2）数列b n满足：a n= ，可得 n2 时，ana n1 = =2n=1 时， =a1=2，可得 b1;（3）c n= = =n3n+n，令数列n3 n的前 n 项和为 An，利用错位相减法即可得出 An进而得出数列c n的前 n 项和 Tn【详解】（1）数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Sn=n
26、（n+1） （nN *） ，n2 时，a n=SnS n1 =n（n+1）n（n1）=2nn=1 时，a 1=S1=2，对于上式也成立- 23 -a n=2n（2）数列b n满足：a n= + + + ，n2 时，a na n1 = =2b n=2（3 n+1） n=1 时， =a1=2，可得 b1=8，对于上式也成立b n=2（3 n+1） （3）c n= = =n3n+n，令数列n3 n的前 n 项和为 An，则 An=3+232+333+n3n，3A n=32+233+（n1）3 n+n3n+1，2A n=3+32+3nn3 n+1= n3 n+1，可得 An= 数列c n的前 n 项和
27、 Tn= + 【点睛】本题考查了数列递推关系、错位相减法、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.19 （本题 14 分）已知椭圆 过点 ，且其中一个焦点的坐标为 .（1）求椭圆 的方程；（2）过椭圆 右焦点 的直线 与椭圆交于两点 ，在 轴上是否存在点 ，使得 为定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】- 24 -【分析】（1）由椭圆定义直接求得 即可.（2）假设存在点 ,使得 为定值，当直线 的斜率不为 时，可设直线 的方程为，联立直线方程与椭
28、圆方程通过设而不求得 的表达式，再讨论其是否过定点.最后将直线 的斜率为 的情况代入检验即可.【详解】（1）由已知得 ， ，则 的方程为 ； （2）假设存在点 ,使得 为定值，当直线 的斜率不为 时，可设直线 的方程为 ，联立 , 得 设 ，则 ， 要使上式为定值, 即与 无关，应有解得 ，此时 当直线 的斜率为 时，不妨设 ，当 的坐标为 时综上，存在点 使得 为定值【点睛】- 25 -本题考查椭圆方程及直线与椭圆中的定值问题，设而不求是此类问题中的常规解法，解题中直线方程设为 ，则要注意检验直线方程斜率为 0 的情况.20 （本题 14 分）已知函数（1）求函数 的单调区间；（2）若 在区
29、间（0，e上的最大值为3，求 m 的值；（3）若 x1 时，不等式 恒成立，求实数 k 的取值范围。【答案】 （1）见解析；（2） ；（3）【解析】【分析】（1）先求出函数的定义域，求出导函数后根据导函数的符号可得单调区间；（2）根据题意求出 ，然后根据 的取值范围讨论得到函数 的单调性，根据 的单调性求出函数的最值；（3）利用分离参数的方法，转化成求函数的最值的问题求解，然后根据函数的单调性求解即可【详解】（1）由题意得函数的 的定义域为 ， ，由 ，得 ；由 ，得 函数 的增区间为 （2）由题意得 ，- 26 - ， ，当 ，即 时，则 ， 在 上是增函数， ，不合题意； 当 ，即 时，则由 ，得 ，若 ，则 在 上是增函数，由知不合题意；若 ，则 在 上是增函数；在 上为减函数， ， ，解得 ，满足题意综上可得 （3）当 时， 恒成立， 当 时恒成立，令 ， ，则 恒成立， 在 上为增函数， ， - 27 -实数 k 的取值范围为 【点睛】（1）用导数解决函数的问题时，可先根据导函数的符号得到函数的单调性，进而得到函数的极值或最值对于解析式中含有参数的问题，求解时注意分类讨论的运用（2）解答恒成立问题时，常用的方法是分离参数法，通过分离参数将问题转化成求具体函数的最值的问题处理，体现了转化思想方法的运用
