1、1第二部分 专题四类型 1 购买、销售、分配类问题1(2017柳州)学校要组织去春游，小陈用 50 元负责购买小组所需的两种食品，买第一种食品共花去了 30 元，剩余的钱还要买第二种食品，已知第二种食品的单价为 6 元/件，问：小陈最多能买第二种食品多少件？解：设最多能买第二种食品 x 件，根据题意，得 6x3050，解得 x ，103又食品的件数为整数，即第二种食品最多买 3 件答：小陈最多能买第二种食品 3 件2(2016钦州)某水果商行计划购进 A， B 两种水果共 200 箱，这两种水果的进价、售价如下表所示： 价格类型 进价(元/箱) 售价(元/箱)A 60 70B 40 55(1)
2、若该商行进贷款为 1 万元，则两种水果各购进多少箱？(2)若商行规定 A 种水果进货箱数不低于 B 种水果进货箱数的 ，应怎样进货才能使这13批水果售完后商行获利最多？此时利润为多少？解：(1)设 A 种水果购进 x 箱，则 B 种水果购进(200 x)箱根据题意，得 60x40(200 x)10 000，解得 x100，则 200 x100.答： A 种水果购进 100 箱， B 种水果购进 100 箱(2)设 A 种水果进货 x 箱，则 B 种水果进货(200 x)箱，售完这批水果的利润为 w 元，则 w(7060) x(5540)(200 x)5 x3 000.50， w 随着 x 的增
3、大而减小 x (200 x)，13解得 x50，当 x50 时， w 取得最大值，此时 w2 750.答：进货 A 种水果 50 箱， B 种水果 150 箱时，获取利润最大，此时利润为 2 750 元3(2018宁波)某商场购进甲、乙种两种商品，甲种商品共用了 2 000 元，乙种商品2共用了 2 400 元已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多 8 元，且购进的甲、乙两种商品件数相同(1)求甲、乙两种商品的每件进价；(2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为 60 元，乙种商品的销售单价为 88 元销售过程中发现甲种商品销售不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将
4、剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品单价保持不变要使两种商品全部售完共获利不少于 2 460 元，问甲种商品按销售单价至少销售多少件？解：(1)设甲种商品的每件进价为 x 元，则乙种商品的每件进价为( x8)元根据题意，得 ，解得 x40.2 000x 2 400x 8检验：当 x40 时， x(x8)0， x40 是分式方程的解，且符合题意则 x848.答：甲种商品的每件进价为 40 元，乙种商品的每件进价为 48 元(2)设甲种商品按原销售单价销售 a 件由(1)可得购进的甲、乙两种商品的件数都为 50 件根据题意，得(6040) a(600.740)(50 a)(8848)50
5、2 460，解得 a20.答：甲种商品按原销售单价至少销售 20 件4(2018烟台)为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行” ，某市计划在城区投放一批“共享单车” 这批单车分为 A， B 两种不同款型，其中 A 型车单价 400 元，B 型车单价 320 元(1)今年年初， “共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动投放 A， B 两种款型的单车共 100 辆，总价值 36 800 元试问本次试点投放的 A 型车与 B 型车各多少辆？(2)试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开按照试点投放中 A， B 两车型的数量比进行投放，且投资总价值不低于 1
6、84 万元请问城区 10 万人口平均每 100 人至少享有 A 型车与 B 型车各多少辆？解：(1)设本次试点投放的 A 型车有 x 辆， B 型车有 y 辆根据题意，得Error! 解得Error!答：本次试点投放的 A 型车有 60 辆， B 型车有 40 辆(2)由(1)知 A， B 型车辆的数量比为 32，设整个城区全面铺开时投放的 A 型车 3a 辆，B 型车 2a 辆，根据题意，得 3a4002 a3201 840 000，解得 a1 000，即整个城区全面铺开时投放的 A 型车至少 3 000 辆， B 型车至少 2 000 辆，则 3 000 3(辆)，100100 00032
7、 000 2(辆)100100 000答：平均每 100 人至少享有 A 型车 3 辆，至少享有 B 型车 2 辆5某运输公司承担了某标段的土方运输任务，公司已派出大小两种型号的渣土运输车运输土方，已知 2 辆大型渣土运输车与 3 辆小型渣土运输车每次共运 35 吨，3 辆大型渣土运输车和 2 辆小型渣土运输车每次共运 40 吨(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次各运土方多少吨？(2)该运输公司决定派出大小两种型号的渣土运输车共 20 辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于 150 吨，问该运输公司最多派出几辆小型渣土运输车？解：(1)设一辆大型渣土运输车每次运输土方 x 吨，一
8、辆小型渣土运输车每次运输土方y 吨根据题意，得 Error!解得Error!答：一辆大型渣土运输车每次运输土方 10 吨，一辆小型渣土运输车每次运输土方 5吨(2)设该运输公司派出 a 辆小型渣土运输车，则派出大型渣土运输车(20 a)辆由题意可得 10(20 a)5 a150，解得 a10. a 是整数， a 最大为 10，答：该运输公司最多派出 10 辆小型渣土运输车类型 2 工程、生产、行程类问题1(2018襄阳)正在建设的“汉十高铁”竣工通车后，若襄阳至武汉段路程与当前动车行驶的路程相等， 约为 325 千米，且高铁行驶的速度是当前动车行驶速度的 2.5 倍，则从襄阳到武汉乘坐高铁比动
9、车所用时间少 1.5 小时求高铁的速度解：设高铁的速度为 x 千米/时，则动车的速度为 0.4 x 千米/时x2.5依题意得 1.5，解得 x325.3250.4x 325x检验：当 x325 时，0.4 x0， x325 是原方程的根答：高铁的速度为 325 千米/时2随着京沈客运专线即将开通，阜新将进入方便快捷的“高铁时代” ，从我市到 A 市若乘坐普通列车，路程为 650 km，而乘坐高铁列车则为 520 km，高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的 4 倍，乘坐高铁列车从我市到 A 市所需时间比乘坐普通列车缩短 8 h.(1)求高铁列车的平均速度；4(2)高铁开通后，从我市乘坐高铁列车
10、到 A 市需要多长时间？解：(1)设普通列车的平均速度为 x km/h.则高铁的平均速度是 4x km/h.依题意，得 8, 解得 x65，650x 5204x检验：当 x65 时，4 x0， x65 是原分式方程的解，且符合题意，则 4x260.答：高铁列车的平均速度是 260 km/h.(2)5202602(h)，答：高铁开通后，从我市乘坐高铁列车到 A 市需要 2 h.3(2018抚顺)为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成已知甲队的工作效率是乙队工作效率的 倍，甲队改造 36032米的道路比乙队改造同样长的道路少用 3 天(1)甲、乙两工
11、程队每天能改造道路的长度分别是多少米？(2)若甲队工作一天需付费用 7 万元，乙队工作一天需付费用 5 万元，如需改造的道路全长 1 200 米，改造总费用不超过 145 万元，至少安排甲队工作多少天？解：(1)设乙工程队每天能改造道路的长度为 x 米，则甲工程队每天能改造道路的长度为 x 米32根据题意得 3，解得 x40，360x 36032x检验：当 x40 时， x0，32 x40 是原分式方程的解，且符合题意，则 x 4060. 32 32答：乙工程队每天能改造道路的长度为 40 米，甲工程队每天能改造道路的长度为 60米(2)设安排甲队工作 m 天，则安排乙队工作 天1 200 6
12、0m40根据题意，得 7m5 145，1 200 60m40解得 m10.答：至少安排甲队工作 10 天4某工厂签了 1 200 件商品订单，要求不超过 15 天完成现有甲、乙两个车间来完成加工任务已知甲车间的加工能力是乙车间加工能力的 1.5 倍，并且加工 240 件需要的时间甲车间比乙车间少用 2 天5(1)求甲、乙每个车间的加工能力每天各是多少件？(2)甲、乙两个车间共同生产了若干天后，甲车间接到新任务，留下乙车间单独完成剩余工作，求甲、乙两车间至少合作多少天，才能保证完成任务解：(1)设乙车间的加工能力每天是 x 件，则甲车间的加工能力每天是 1.5x 件根据题意，得 2, 解得 x4
13、0.240x 2401.5x检验：当 x40 时，1.5 x0， x40 是分式方程的解，且符合题意则 1.5x60.答：甲车间的加工能力每天是 60 件，乙车间的加工能力每天是 40 件(2)设甲、乙两车间合作 m 天，才能保证完成任务根据题意，得 m1 200(4060) m4015，解得 m10.答：甲、乙两车间至少合作 10 天，才能保证完成任务类型 3 增长率问题1(2017桂林)为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知 2015 年该市投入基础教育经费 5 000 万元，2017 年投入基础教育经费 7 200 万元(1)求该市这两年投入基础教育经费的年平均
14、增长率；(2)如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划 2018 年用不超过当年基础教育经费的 5%购买电脑和实物投影仪共 1 500 台，调配给农村学校，若购买一台电脑需 3 500 元，购买一台实物投影需 2 000 元，则最多可购买电脑多少台？解：(1)设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为 x.根据题意，得 5 000(1 x)27 200，解得 x10.220%， x22.2(舍去)答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为 20%.(2)2018 年投入基础教育经费为 7 200(120%)8 640(万元)设购买电脑 m 台，则购买实物投影仪(1 50
15、0 m)台根据题意，得 3 500m2 000(1 500 m)86 400 0005%，解得 m880.答：2018 年最多可购买电脑 880 台2(2018安顺)某地 2015 年为做好“精准扶贫” ，投入资金 1 280 万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017 年在 2015 年的基础上增加投入资金 1 600 万元(1)从 2015 年到 2017 年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？(2)在 2017 年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于 500 万元用于优先搬6迁租房奖励，规定前 1 000 户(含第 1 000 户)每户每天奖励 8 元，1 000
16、 户以后每户每天奖励 5 元，按租房 400 天计算，求 2017 年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励解：(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为 x.根据题意，得 1 280(1 x)21 2801 600，解得 x10.550%， x22.5(舍去)答：从 2015 年到 2017 年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为 50%.(2)设 2017 年该地有 a 户享受到优先搬迁租房奖励根据题意，得 81 0004005400( a1 000)5 000 000，解得 a1 900.答：2017 年该地至少有 1 900 户享受到优先搬迁租房奖励3(2016柳州)下表是世界人口
17、增长趋势数据表：年份 x 1960 1974 1987 1999 2010人口数量 y(亿) 30 40 50 60 69(1)请你认真研究上面数据表，求出从 1960 年到 2010 年世界人口每年增长多少亿人；(2)利用你在(1)中所得到的结论，以 1960 年 30 亿人口为基础，设计一个最能反映人口数量 y 关于年份 x 的函数关系式，并求出这个函数的解析式；(3)利用你在(2)中所得的函数解析式，预测 2020 年世界人口将达到多少亿人解：(1)从 1960 年到 2010 年世界人口平均每年增长(6930)(20101960)39500.78(亿人)(2)设人口数量 y 关于年份
18、x 的函数关系式为y kx b，将 x1 960， y30；x1 974， y40 分别代入 y kx b，得Error!解得 Error!故函数解析式为 y x1 370.57检验：当 x1 987 时， y50；当 x1 999 时， y58；当 x2 010 时， y66；人口数量 y 与年份 x 之间的函数关系基本符合 y x1 370.57(3)当 x2 020 时，y 2 0201 37073，57答：预测 2020 年世界人口将达到 73 亿人类型 4 方案设计问题与最值问题1(2018北部湾一模)某公司在北部湾经济区农业示范基地采购 A, B 两种农产品，7已知 A 种农产品每
19、千克的进价比 B 种多 2 元， 且用 24 000 元购买 A 种农产品的数量(按重量计)与用 18 000 元购买 B 种农产品的数量(按重量计)相同(1)求 A， B 两种农产品每千克的进价分别是多少元(2)该公司计划购进 A， B 两种农产品共 40 吨，并运往异地销售，运费为 500 元/吨，已知 A 种农产品售价为 15 元/ kg， B 种农产品售价为 12 元/ kg，其中 A 种农产品至少购进15 吨且不超过 B 种农产品的数量，问该公司应如何采购才能获得最大利润，最大利润是多少？解：(1)设 A 种农产品每千克的进价是 x 元，则 B 种农产品每千克的进价是( x2)元依题
20、意得 ，解得 x8，24 000x 18 000x 2检验：当 x8 时， x(x2)0，且符合题意，故 x8 是原分式方程的解， x2826.答： A 种农产品每千克的进价是 8 元， B 种农产品每千克的进价是 6 元(2)设该公司购进 A 种农产品 m 吨，则购进 B 种农产品(40 m)吨依题意得 m40 m，解得 m20. m15，15 m20.设该公司获得利润为 y 元，依题意得y(158)1 000 m(126)1 000(40 m)40500，即 y1 000 m220 000.1 0000, y 随 m 的增大而增大，当 m20 时， y 取最大值，此时 y1 0002022
21、0 000240 000 (元)， B 种农产品的数量为 40 m20 (吨)答：该公司采购 A， B 两种农产品各 20 吨时能获得最大利润，最大利润为 240 000 元. 2(2018来宾二模)某商场准备进一批两种不同型号的衣服，已知购进 A 种型号衣服9 件， B 种型号衣服 10 件，则共需 1 810 元；若购进 A 种型号衣服 12 件， B 种型号衣服 8件，共需 1 880 元已知销售一件 A 型号衣服可获利 18 元，销售一件 B 型号衣服可获利30 元，要使在这次销售中获利不少于 699 元，且 A 型号衣服不多于 28 件(1)求 A， B 型号衣服每件进价各是多少元？
22、(2)若已知购进 A 型号衣服是 B 型号衣服的 2 倍还多 4 件，则商店在这次进货中可有几种方案并简述购货方案解：(1)设 A 型号衣服每件进价为 x 元， B 型号衣服每件进价为 y 元根据题意，得Error!解得Error!答： A 型号衣服每件进价为 90 元， B 型号衣服每件进价为 100 元(2)设 B 型号衣服购进 m 件，则 A 型号衣服购进(2 m4)件根据题意，得Error!8解得 m12.192 m 为正整数， m10,11,12,2 m424,26,28.有三种进货方案： B 型号衣服购进 10 件， A 型号衣服购进 24 件； B 型号衣服购进 11 件， A
23、型号衣服购进 26 件； B 型号衣服购进 12 件， A 型号衣服购进 28 件3(2017河池)某班为满足同学们课外活动的需求，要求购排球和足球若干个已知足球的单价比排球的单价多 30 元，用 500 元购得的排球数量与用 800 元购得的足球数量相等(1)排球和足球的单价各是多少元？(2)若恰好用去 1 200 元，有哪几种购买方案？解：(1)设排球的单价为 x 元，则足球的单价为( x30)元由题意得 ，解500x 800x 30得 x50，经检验， x50 是原分式方程的解，且符合题意，则 x3080.答：排球的单价是 50 元，足球的单价是 80 元(2)设恰好用完 1 200 元
24、，可购买排球 m 个和足球 n 个由题意得 50m80 n1 200，整理，得 m24 n.85 m， n 都是正整数，当 n5 时， m16，当 n10 时， m8.有两种方案：购买足球 5 个，购买排球 16 个；购买足球 10 个，购买排球 8个4(2018湘西)某商店销售 A 型和 B 型两种电脑，其中 A 型电脑每台的利润为 400 元，B 型电脑每台的利润为 500 元该商店计划一次性购进两种型号的电脑共 100 台，其中 B型电脑的进货量不超过 A 型电脑的 2 倍设购进 A 型电脑 x 台，这 100 台电脑的销售总利润为 y 元(1)求 y 关于 x 的函数关系式；(2)该商
25、店购进 A 型、 B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？(3)实际进货时，厂家对 A 型电脑出厂价下调 a(0 a200)元，且限定商店最多购进A 型电脑 60 台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这 100 台电脑销售总利润最大的进货方案解：(1)根据题意，得9y400 x500(100 x)100 x50 000.(2)100 x2 x， x 33 ，1003 13 y100 x50 000 中 k1000， y 随 x 的增大而减小 x 为正整数，当 x34 时， y 取得最大值，最大值为 46 600.答：该商店购进 A 型电脑 34 台，
26、B 型电脑 66 台，才能使销售总利润最大，最大利润是 46 600 元(3)根据题意，得 y(400 a)x500(100 x)，即 y( a100) x50 000，33 x60.13当 0 a100 时， y 随 x 的增大而减小，当 x34 时， y 取最大值，即商店购进 34 台 A 型电脑和 66 台 B 型电脑的销售利润最大 a100 时， a1000， y50 000，即商店购进 A 型电脑数量满足 33 x60 的整数时，均获得最大利润；13当 100 a200 时， a1000， y 随 x 的增大而增大，当 x60 时， y 取得最大值即商店购进 60 台 A 型电脑和
27、40 台 B 型电脑的销售利润最大类型 5 表演、比赛、租车类问题1某校积极推进“阳光体育”工程，本学期在九年级 11 个班中开展篮球单循环比赛(每个班与其他班分别进行一场比赛，每班需进行 10 场比赛)比赛规则规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场得 3 分，负一场得1 分(1)如果某班在所有的比赛中只得 14 分，那么该班胜负场数分别是多少？(2)假设比赛结束后，甲班得分是乙班的 3 倍，甲班获胜的场数不超过 5 场，且甲班获胜的场数多于乙班，请你求出甲班、乙班各胜了几场解：(1)设该班胜 x 场，则该班负(10 x)场依题意得 3x(10 x)14，解得 x6.答：该班胜 6 场，负 4 场
28、(2)设甲班胜了 x 场，乙班胜了 y 场10依题意有 3x(10 x)33 y(10 y)，化简，得 3y x5，即 y .x 53 x， y 是非负整数，且 0 x5， x y， x4， y3.答：甲班胜了 4 场，乙班胜了 3 场2(2017百色)某校九年级 10 个班师生举行毕业文艺汇演，每班 2 个节目，有歌唱与舞蹈两类节目，年级统计后发现唱歌类节目数比舞蹈类节目数的 2 倍少 4 个(1)九年级师生表演的歌唱与舞蹈类节目数各有多少个？(2)该校七、八年级师生有小品节目参与，在歌唱、舞蹈、小品三类节目中，每个节目的演出平均用时分别是 5 分钟、6 分钟、8 分钟，预计所有演出节目交接
29、用时共花 15 分钟若从 20：00 开始，22：30 之前演出结束，问参与的小品类节目最多能有多少个？解：(1)设九年级师生表演的歌唱类节目有 x 个，舞蹈类节目有 y 个根据题意，得Error!解得Error!答：九年级师生表演的歌唱类节目有 12 个，舞蹈类节目有 8 个(2)设参与的小品类节目有 a 个根据题意，得 125868 a15150，解得 a .278 a 为整数， a 的最大值为 3，答：参与的小品类节目最多能有 3 个3(2018锦州)为迎接“七一”党的生日，某校准备组织师生共 310 人参加一次大型公益活动，租用 4 辆大客车和 6 辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的座位数比小客车多 15 个(1)求每辆大客车和每辆小客车的座位数；(2)经学校统计，实际参加活动的人数增加了 40 人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为使所有参加活动的师生均有座位，最多租用小客车多少辆？解：(1)设每辆小客车的座位数是 x 个，每辆大客车的座位数是 y 个根据题意，得Error!解得Error!答：每辆大客车的座位数是 40 个，每辆小客车的座位数是 25 个(2)设租用小客车 a 辆，则 25a40(10 a)31040，解得 a3 .13 a 为整数， a 最大为 3.11答：最多租用小客车 3 辆
