1、1专题八 二次函数与几何图 形的综合毕节中考备考攻略二次函数与几何的综合问题一般作为压轴题呈现,具有知识点多、覆盖面广、条件隐蔽、关系复杂、综合性强、解题方法灵活等鲜明特点,同时题型变化多样,如求线段的长、求图形的面积、特殊三角形的存在性、特殊四边形的存在性、相似三角形的存在性等等.1.二次函数与线段的长(1)一般设抛物线上点的横坐标为x,纵坐标为抛物线解析式,与之相关的点的横坐标也为x,纵坐标为直线解析式,两点纵坐标之差的绝对值即为线段的长度；(2)建立关于线段长的二次函数,通过求二次函数的最值进而求线段长的最值；(3)线段长之和最小的问题,转化为对称点后用两点之间线段最短解决.2.二次函数
2、与图形的面积(1)根据二次函数中不同图形的特点选择合适的方法解答图形的面积；(2)通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型,并掌握二次函数中面积问题的相关计算,从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用；(3)利用二次函数的解析式求出相关点的坐标,从而得出相关线段长,利用割补方法求图形的面积.3.二次函数与特殊三角形(1)判断等腰三角形,可以对顶点进行分类讨论；(2)判断直角三角形,可以对直角顶点进行分类讨论.4.二次函数与特殊四边形此类题型结合特殊四边形的判定方法,对对应边进行分类讨论,求平行四边形存在类问题用平移法解坐标较简单,其他特殊的平行四边形结合判断方法用
3、边相等、角为直角或对角线的交点坐标突破.5.二次函数与相似三角形结合相似三角形判定 方法,如果一个角为直角,只需两直角边之比分别相等,此时要对对应边分类讨论.中考重难点突破二次函数与线段的长例1 (2018遂宁中考改编)如图,已知抛物线yax 2 x4的对称轴是直线x3,且与x轴相交于A,B两点(B点在A点右32侧),与y轴交于C点. (1)求抛物线的解析式和A,B两点的坐标；(2)若M是抛物线上任意一点,过点M作y轴的平行线,交直线BC于点N,当MN3时,求点M的坐标.【解析】(1)由抛物线的对称轴x3,利用二次函数的性质即可得到a的值,进而可得出抛物线的解析式,再利用抛物线与x轴交点的纵坐
4、标为0可求出点A,B的坐标；2(2)根据二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标.由点B,C的坐标,利用待定系数法可得直线BC的解析式.设点M的横坐标为m,可表示点M的纵坐标.又由MNy轴,可表示出点N的横纵坐标,进而可用m的代数式表示出MN的长,结合MN3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程,分类讨论即可得出结果.【答案】解：(1)抛物线yax 2 x4的对称轴是直线x3, 3,解得a ,32 322a 14抛物线的解析式为y x2 x4.14 32当y0时, x2 x40,14 32解得x 12,x 28.点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(8,0)；(2)当x0时,y x2 x
5、44,14 32点C的坐标为(0,4).设直线BC的解析式为ykxb(k0).将B(8,0),C(0,4)代入ykxb,得解得8k b 0，b 4， ) k 12，b 4， )直线BC的解析式为y x4.12设点M的坐标为 ,则点N的坐标为 ,(m， 14m2 32m 4) (m， 12m 4)MN |14m2 32m 4 ( 12m 4)| .|14m2 2m|又MN3, 3.|14m2 2m|当 m22m0,即0m8时, m22m3,解得m 12,m 26,14 14此时点M的坐标为(2,6)或(6,4).同理,当 m22m0,即m8或m0时,点M的坐标为(42 , 1)或(42 , 1)
6、.14 7 7 7 7综上所述,点M的坐标为(2,6),(6,4),(42 , 1)或(42 , 1).7 7 7 71.(2018安顺中考改编)如图,已知抛物线yax 2bxc(a0)的对称轴为直线x1,且抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中A(1,0),C(0,3).3(1)若直线ymxn经过B,C两点,求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标.解：(1)依题意,得 b2a 1，a b c 0，c 3， )解得 a 1，b 2，c 3， )抛物线的解析式为yx 22x3.令y0,则x 22x30,
7、解得x 11,x 23,点B(3, 0).把B(3,0),C(0,3)代入ymxn,得 3m n 0，n 3， )解得 m 1，n 3， )直线BC的解析式为yx3；(2)设直线BC与x1的交点为M,连接AM.点A,B关于抛物线的对称轴对称,MAMB,MAMCMBMCBC,当点M为直线BC与x1的交点时,MAMC的值最小.把x1代入yx3,得y2,M(1,2).二次函数与图形的面积例2 (2018达州中考改编)如图,抛物线经过原点O(0,0),A(1,1),B( ,0).72(1)求抛物线的解析式；(2)连接OA,过点A作ACOA交抛物线于点C,连接OC,求AOC的面积.4【解析】(1)设交点
8、式yax ,然后把A点坐标代入求出a,即可得到抛物线的解析式；(x72)(2)延长CA交y轴于点D,易得OA ,DOA45,则可判断AOD为等腰直角三角形,由此可求出D点坐标,利用2待定系数法求出直线AD的解析式,再结合抛物线的解析式可得关于x的一元二次方程,解方程可得点C的坐标,利用三角形面积公式及S AOC S COD S AOD 进行计算,进而得出AOC的面积.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为yax .(x72)把A(1,1)代入yax ,可得a ,(x72) 25抛物线的解析式为y x ,25(x 72)即y x2 x；25 75(2)延长CA交y轴于点D.A(1,1),OAC90
9、,OA ,DOA45,2AOD为等腰直角三角形,OD OA2,D (0,2).2由点A(1,1),D(0,2),得直线AD的解析式为yx2.令 x2 xx2,解得x 11,x 25.25 75当x5时,yx23,C(5,3),S AOC S COD S AOD 25 214.12 122.(2018眉山中考改编)如图,已知抛物线yax 2bxc经过点A(0,3),B(1,0),其对称轴为直线l：x2,过点A作ACx轴交抛物线于点C,AOB的平分线交线段AC于点E,点P是抛物线上的一个动点,设其横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上,连接PE,PO,当m为何值
10、时,四边形AOPE的面积最大？并求出其最大值.解：(1)由抛物线的对称性易得D(3,0),设抛物线的解析式为ya(x1)(x3).把A(0,3)代入ya(x1)(x3),得33a,解得a1,5抛物线的解析式为yx 24x3；(2)由题意知P(m,m 24m3).OE平分AOB,AOB90,AOE45,AOE是等腰直角三角形,AEOA3,E(3,3).易得OE的解析式为yx.过点P作PGy轴,交OE于点G,则G(m,m),PGm(m 24m3)m 25m3.S 四边形AOPE S AOE S PO E 33 PGAE12 12 (m 25m3)392 12 m2 m32 152 .32(m 52
11、)2 758 0,32当m 时,四边形AOPE的面积最大,最大值是 .52 758二次函数与特殊三角形例3 (2018枣庄中考改编)如图,已知二次函数yax 2 xc(a0)的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B,C,点C32坐标为(8,0),连接AB,AC.(1)求二次函数的表达式；(2)若点N在x轴上运动,当以点A,N,C为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点N的坐标.【解析】(1)根据待定系数法即可得出答案；(2)分别以A,C两点为圆心,AC长为半径画弧,与x轴交于三个点,由AC的垂直平分线与x轴交于一个点,即可求得点N的坐标.【答案】解：(1)二次函数yax 2 xc的图象
12、与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点C(8,0),326 解得c 4，64a 12 c 0， ) a 14，c 4， )二次函数的表达式为y x2 x4；14 32(2)A(0,4),C(8,0),AC 4 .42 82 5以点A为圆心,AC长为半径作圆,交x轴于点N,则ANAC,故NAC是以NC为底边的等腰三角形,此时N点坐标为(8,0)；以点C为圆心,AC长为半径作圆,交x轴于点N,则CNCA,故ACN是以NA为底边的等腰三角形,此时N点坐标为(84 ,0)或(84 ,0)；5 5作AC的垂直平分线,交x轴于点N,则NANC,故ANC是以AC为底边的等腰三角形,此时点N为BC的中点.令y
13、 x2 x40,解得x 18,x 22,此时N点坐标为(3,0).14 32综上所述,点N在x轴上运动,当以点A,N,C为顶点的三角形是等腰三角形时,点N的坐标为(8,0),(84 ,0),(53,0)或(84 ,0).53.(2018兰州中考)如图,抛物线yax 2bx4经过A(3,0),B(5,4)两点,与y轴交于点C,连接AB,AC,BC.(1)求抛物线的表达式；(2)求证：AB平分CAO；(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使得ABM是以AB为直角边 的直角三角形？若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由.(1)解：将A(3,0),B(5,4)代入yax 2bx4,得解得9a 3b
14、 4 0，25a 5b 4 4， ) a 16，b 56， )抛物线的表达式为y x2 x4；16 567(2)证明：AO3,OC4,AC5.取D(2,0),则ADAC5.由两点间的距离公式可知BD 5.C(0,4),B(5,4),BC5.（ 5 2） 2 （ 4 0） 2ADACBDBC.四边形ACBD是菱形,CABBAD,AB平分CAO；(3)解：如图,抛物线的对称轴交x轴与点E,交BC与点F,过点A,B分别作MAAB,MBAB,交对称轴于点M,M.抛物线的对称轴为x ,52AE .115A(3,0),B(5,4), tan EAB .12MAB90, tan MAE2.ME2AE11,M
15、 .(52， 11)同理, tan MBF2.又BF ,FM5,M .52 (52， 9)综上所述,抛物线的对称轴上存在点M 或 ,使得ABM是以AB为直角边的直角三角形.(52， 11) (52， 9)二次函数与四边形例4 (2018河南中考改编)如图,抛物线yax 26xc交x轴 于A,B两点,交y轴于点C,直线yx5经过点B,C.8(1)求抛物线的解析式；(2)过点A的直线交直线BC于点M,当AMBC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标；【解析】(1)利用直线BC的解析式确定点B,C
16、的坐标,然后利用待定系数法求抛物线的解析式；(2)先利用抛物线的解析式求出A点坐标,再判断OCB为等腰直角三角形,继而得到OBCOCB45,则AMB为等腰直角三 角形,进而求出点M的坐标,根据抛物线和直线BC的解析式设点P,Q的坐标,根据平行四边形的对角线互相平分,即可列出等式方程,解方程即可得到点P的横坐标.【答案】解：(1)当x0时,y5,则C(0,5).当y0时,yx50,解得x5,则B(5,0).把B(5,0),C(0,5)代入yax 26xc,得解得25a 30 c 0，c 5， ) a 1，c 5， )抛物线的解析式为yx 26x5；(2)令yx 26x50,解得x 11,x 25
17、,A(1,0).B(5,0),C(0,5),BAC90,OCB为等腰直角三角形,OBCOCB45.又AMBC,AMB为等腰直角三角形,AM AB 42 .22 22 2以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,AMPQ,PQAM2 ,PQBC.2作PDx轴交直线BC于点D,则PDQ45,PD PQ 2 4.2 2 2设P(m,m 26m5),则D(m,m5).当点P在直线BC上方时,PDm 26m5(m5)m 25m4,解得m 11(舍去),m 24；当点P在直线BC下方时,PDm5(m 26m5)m 25m4,解得m 3 ,m4 .5 412 5 412综上所述,点P的横坐标为4, 或
18、.5 412 5 4124.(2018济宁中考改编)如图,已知抛物线yax 2bxc(a0)经过点A(3,0),B(1,0),C(0,3).(1)求该抛物线的解析式；(2)若点Q在x轴上,点P在抛物线上,是否存在以点B ,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形？若存在,求点P的坐标；若不存在,请说明理由. 解：(1)把A(3,0),B(1,0),C(0,3)代入yax 2bxc,得9解得9a 3b c 0，a b c 0，c 3， ) a 1，b 2，c 3， )该抛物线的解析式为yx 22x3；(2)存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形.设直线BC的解析式为ykx3,把B(1,0)
19、代入,得k30,即k3,直线BC的解析式为y3x3.设Q(x,0),P(m,m 22m3).当四边形BCQP为平行四边形时,BCPQ,且BCPQ.由B(1,0),C(0,3),得点P的纵坐标为3,即m 22m33, 解得m1 ,7此时P(1 ,3)或P(1 ,3)；7 7当四边形BCPQ为平行四边形或四边形是以BC为对角线的平行四边形时,点P的纵坐标为3,即m 22m33,解得m0或m2,此时P(2,3).综上所述,存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形,P的坐标为(1 ,3)或(1 ,3),(2,3).7 7二次函数与相似三角形例5 (2018德州中考改编)如图,在平面直角坐标系中
20、,直线yx1与抛物线yx 2bxc交于A,B两点,其中A(m,0),B(4,n),该抛物线与y轴交于点C,与x轴交于另一点D.(1)求m,n的值及该抛物线的解析式；(2)连接BD,CD,在线段CD上是否存在点Q,使得以A,D,Q为顶点的三角形与ABD相似？若存在,请求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由.【解析】(1)把点A,B的坐标代入yx1求出m与n的值,确定点A,B的坐标,然后代入yx 2bxc求出b与c的值即可；(2)由点C,D的坐标易得直线BC的解析式为yx5,再由直线AB的解析式易得ABCD,因此ADCBAD.分类讨论：当DAQABD或DQAABD时,根据对应边成比例求出DQ的长,即
21、可求出点Q的坐标.【答案】解：(1)把点A(m,0),B(4,n)代入yx1,得m1,n3,A(1,0),B(4,3).yx 2bxc经过A,B两点, 解得 1 b c 0， 16 4b c 3， ) b 6，c 5， )该抛物线的解析式为yx 26x5；10(2)在线段CD上存在点Q,使得以A,D,Q为顶点的三角形与ABD相似.由(1)中结果可知C(0,5),D(5,0),直线CD的解析式为yx5.又直线AB的解析式为yx1,ABCD,BADADC.设Q(x,x5)(0x5).当ABDDAQ时, ,ABDA ADDQ即 ,解得DQ ,324 4DQ 823由两点间的距离公式,得(x5) 2(
22、x5) 2 ,解得x 或x (舍去),此时Q ；(823)2 73 233 (73， 83)当ABDDQA时, 1,即DQ3 ,ABDQ ADDA 2(x5) 2(x5) 2(3 )2,2解得x2或x8(舍去),此时Q(2,3).综上所述,点Q的坐标为(2,3)或 .(73， 83)5.(2018深圳中考改编) 已知顶点为A的抛物线ya 2经过点B .(x12)2 ( 32， 2)(1)求抛物线的解析式；(2)如图,直线AB与x轴相交于点M,与y轴相交于点E,抛物线与y轴相交于点F,在直线AB上有一点P,若OPMMAF,求POE的面积.解：(1)把点B 代入ya 2,解得a1,(32， 2)
23、(x 12)2 抛物线的解析式为y 2,(x12)2 即yx 2x ；74(2)由(1)中结果得A ,F .(12， 2) (0， 74)11设直线AB的解析式为ykxb,由点A,B的坐标,得 解得 2 12k b，2 32k b， ) k 2，b 1， )直线AB的解析式为y2x1,OE1,FE .34若OPMMAF,则当OPAF时,OPEFAE, ,OPFA OEFE 134 43OP FA .43 43 (12 0)2 ( 2 74)2 53设点P(t,2t1),则OP ,t2 （ 2t 1） 253即(15t2)(3t2)0,解得t 1 ,t2 .215 23由对称性知,当t 1 时,
24、也满足OPMMAF,215t 1,t2的值都满足条件.S POE OE|t|,12当t 时,S OPE 1 ；215 12 215 115当t 时,S OPE 1 .23 12 23 13综上所述,POE的面积为 或 .115 13毕节中考专题过关1.(2018自贡中考改编)如图,抛物线yax 2bx3过A(1,0),B(3,0)两点,直线AD交抛物线于点D,点D的横坐标为2,点P(m,n)是线段AD上的动点.12(1)求直线AD及抛物线的解析式；(2)过点P的直线垂直于x轴,交抛物线于点Q,求线段PQ的长度l与m的关系式,m为何值时,PQ最长？解：(1)把(1,0),(3,0)代入yax 2
25、bx3,得解得a b 3 0，9a 3b 3 0， ) a 1，b 2， )抛物线的解析式为yx 22x3.当x2时,y(2) 22(2)33,即D(2,3).设直线AD的解析式为ykxb.将A(1,0),D(2,3)代入,得解得k b 0， 2k b 3， ) k 1，b 1， )直线AD的解析式为yx1；(2)由(1)可得P(m,m1),Q(m,m 22m3),l(m1)(m 22m3),即lm 2m2(2m1),配方,得l ,(m12)2 94当m 时,PQ最长.122.(2018菏泽中考改编)如图,在平面直角坐标系中,抛物线yax 2bx5交y轴于点A,交x轴于点B(5,0)和点C(1
26、,0).13(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点,当点P运动到某一位置时,ABP的面积最大,求出此时点P的坐标和ABP的最大面积.解：(1)抛物线yax 2bx5交y轴于点A,交x轴于点B(5,0)和点C(1,0), 解得25a 5b 5 0，a b 5 0， ) a 1，b 4， )该抛物线的解析式为yx 24x5；(2)设点P的坐标为(p,p 24p5),如图.由点A(0,5),B(5,0)得直线AB的解析式为yx5.当xp时,yp5.OB5,S ABP 5（ p 5） （ p2 4p 5）2 .52(p 52)2 254点P是直线AB下方的抛物线上一动点,
27、5p0,当p 时,S取得最大值,52此时S ,点P的坐标是 ,1258 ( 52， 354)即当点P的坐标为 时,ABP的面积最大,此时ABP的面积是 .(52， 354) 12583.(2018泰安中考改编)如图,在平面直角坐标系中,二次函数yax 2 bxc交x轴于点A(4,0),B(2,0),交y轴于点C(0,6),在y轴上有一点E(0,2),连接AE.(1)求二次函数的表达式；(2)抛物线对称轴上是否存在点P,使AEP为等腰三角形？若存在,请求出所有P点坐标；若不存在,请说明理由14.解：(1)二次函 数yax 2bxc经过点A(4,0),B(2,0),C(0,6), 解得16a 4b
28、 c 0，4a 2b c 0，c 6， ) a 34，b 32，c 6， )二次函数的表达式为y x2 x6；34 32(2)在抛物线对称轴上存在点P,使AEP为等腰三角形.抛物线y x2 x6的对称轴为x1,设P(1,n).34 32又E(0,2),A(4,0),PA ,PE ,9 n2 1 （ n 2） 2AE 2 .16 4 5当PAPE时, ,9 n2 1 （ n 2） 2解得n1,此时P(1,1)；当PAAE时, 2 ,9 n2 5解得n ,此时P(1, )；11 11当PEAE时, 2 ,1 （ n 2） 2 5解得n2 ,此时P (1,2 ).19 19综上所述,点P的坐标为(1
29、,1),(1, )或(1,2 ).11 194.(2018上海中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y x2bxc经过点A(1,0)和点B ,12 (0， 52)顶点为C,点D在其对称轴上且位于点C下方,将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90,点C落在抛物线上的点P处.(1)求这条抛物线的表达式；(2)求线段CD的长；(3)将抛物线平移,使其顶点C移到原点O的位置,这时点P落在点E的位置,如果 点M在y轴上,且以O,D,E,M为顶点的四边形面积为8,求点M的坐标.解：(1)把A(1,0),B 代入y x2bxc,得(0，52) 1215解得 12 b c 0，c 52， ) b 2，c
30、 52， )这条抛物线的表达式为y x22x ；12 52(2)y (x2) 2 ,12 92C ,抛物线的对称轴为直线x2.(2，92)如图,设CDt,则D .(2，92 t)由题意,得PDC90,DPDCt,P .(2 t，92 t)把P 代入y x22x ,可得(2 t，92 t) 12 52t10(舍去),t 22.线段CD的长为2；(3)由(2)易知P ,D .(4，52) (2， 52)平移后,E点坐标为(2,2).设M(0,m),则 28,12 (|m| 52 2)m ,72点M 的坐标为 或 .(0，72) (0， 72)5.(2018绵阳中考改编)如图,已知抛物线yax 2b
31、x(a0)过点A( ,3)和点B(3 ,0).过点A作直线ACx3 3轴,交y轴于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上取一点P,过点P作直线AC的垂线,垂足为点D.连接OA,使得以A,D,P为顶点的三角形与AOC相似,求出对应点P的坐标.16解：(1)把点A( ,3),B(3 ,0)代入yax 2bx,得3 3解得3a 3b 3，27a 33b 0， ) a 12，b 332.)抛物线的解析式为y x2 x；12 332(2)设P点坐标为 .(x，12x2 332x)若点P在直线AD上方,则ADx ,PD x2 x3.312 332当OCAADP时, ,OCAD CADP即 ,3x
32、3 312x2 332x 3x 或x (舍去),此时P ；833 3 (833， 43)当OCAPDA时, ,OCPD CADA即 ,312x2 332x 3 3x 3x4 或x (舍去),此时P(4 ,6)；3 3 3若P在直线AD下方,同理可得点P的坐标为 .(433， 103)综上所述,点P的坐标为 ,(4 ,6)或 .(833， 43) 3 (433， 103)6.如图,在C的内接AOB中,ABAO4, tan AOB ,抛物线yax 2bx经过点A(4,0),(2,6).34(1)求抛物线的函数解析式；17(2)直线m与C相切于点A,交y轴于点D.动点P在线段OB上,从点O出发向点B
33、运动；同时动点Q在线段DA上,从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒1个单位长度,点Q的速度为每秒2个单位长度.当PQAD时,求运动时间t的值.解：(1)抛物线yax 2bx经过点A(4,0),(2,6), 解得16a 4b 0，4a 2b 6， ) a 12，b 2.)抛物线的解析式为y x22x.12(2)连接AC交OB于点E,由垂径定理得ACOB.AD为C的切线,ACAD.ADOB.AOBOAD. tan AOB ,34 tan OAD .34ODOA tan OAD4 3.34当PQAD时,OPt,DQ2t.过点O作OFAD于点F,则四边形OFQP是矩形.DFDQFQDQOP2ttt.DOFAOFOAFAOF90,DOFOAF. tan DOF tan OAD .DFOF 34OF DF.43在 RtODF中,OD3,OF DF,OD2OF 2DF 2,43183 2( DF)2DF 2.DF1.8.t1.8( s).
