1、1第 15 讲 全等三角形与尺规作图A 组 基础题组一、选择题1.用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如下,则说明CAD=BAD 的依据是( )A.SSS B.SASC.ASA D.AAS2.(2018 河北)尺规作图要求:.过直线外一点作这条直线的垂线;.作线段的垂直平分线;.过直线上一点作这条直线的垂线;.作角的平分线.下图是按上述要求排乱顺序的尺规作图:则正确的配对是( )2A.,B.,C.,D.,3.(2016 浙江丽水)用直尺和圆规作 RtABC 斜边 AB 上的高线 CD,以下四个作图中,作法错误的是( )4.在ABC 中,ABC=45,AC=4,H 是高 AD 和 BE 的交点,
2、则线段 BH 的长度为( )A. B.4 C.2 D.56 35.如图,在ABC 中,C=90,B=30,边 AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 E,交 BC 于点D,CD=3,则 BC 的长为( )A.6 B.6 C.9 D.33 36.如图,AD 是ABC 的角平分线,DE,DF 分别是ABD 和ACD 的高,得到下列四个结论:OA=OD;ADEF;当BAC=90时,四边形 AEDF 是正方形;AE+DF=AF+DE.其中正确的是( )A. B. C. D.37.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图,四边形 ABCD 是一个筝形,其中AD=CD,AB=CB,某同学在探究筝形的性
3、质时,得到如下结论:ACBD;AO=CO= AC;ABDCBD.12其中正确的结论有( )A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个二、填空题8.(2018 德州)如图,OC 为AOB 的平分线.CMOB,OC=5,OM=4.则点 C 到射线 OA 的距离为 . 9.如图,AB=12 m,CAAB 于 A,DBAB 于 B,且 AC=4 m,P 点从 B 向 A 运动,每分钟走 1 m,Q 点从 B 向 D 运动,每分钟走 2 m,P、Q 两点同时出发,运动 分钟后CAP 与PQB 全等.10.(2017 江苏淮安)如图,在 RtABC 中,ACB=90,点 D、E 分别是 AB,AC 的
4、中点,点 F 是AD 的中点.若 AB=8,则 EF= . 三、解答题11.(2018 河北,23,9 分)如图,A=B=50,P 为 AB 中点,点 M 为射线 AC 上(不与点 A 重合)的任意一点,连接 MP,并使 MP 的延长线交射线 BD 于点 N,设BPN=.4(1)求证:APMBPN;(2)当 MN=2BN 时,求 的度数;(3)若BPN 的外心在该三角形的内部,直接写出 的取值范围.12.(2018 泰安)如图,ABC 中,D 是 AB 上一点,DEAC 于点 E,F 是 AD 的中点,FGBC 于点 G,与DE 交于点 H,若 FG=AF,AG 平分CAB,连接 GE,GD.
5、(1)求证:ECGGHD;(2)小亮同学经过探究发现:AD=AC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结论;(3)若B=30,判定四边形 AEGF 是不是菱形,并说明理由.B 组 提升题组一、选择题51.(2018 南京)如图,ABCD,且 AB=CD,E、F 是 AD 上两点,CEAD,BFAD.若CE=a,BF=b,EF=c,则 AD 的长为( )A.a+c B.b+cC.a-b+c D.a+b-c2.数学活动课上,四位同学围绕作图问题“如图,已知直线 l 和直线 l 外一点 P,用直尺和圆规作直线 PQ,使 PQl 于点 Q”.分别作出了下列四个图形.其中作法错误的是( )3.如图,G,E 分
6、别是正方形 ABCD 的边 AB,BC 的点,且 AG=CE,AEEF,AE=EF,现有如下结论:BE= GE;AGEECF;FCD=45;GBEECH.12其中,正确的结论有( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个二、填空题4.如图,RtABC 中,A=90,C=30,BD 平分ABC 且与 AC 边交于点 D,AD=2,则点 D 到边 BC 的距离是 . 65.如图,ABC 中,ADBC,CEAB,垂足分别为 D、E,AD、CE 交于点 H,请你添加一个适当的条件: ,使AEHCEB. 6.如图,在正方形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,E 为 BC 上一点
7、,CE=5,F 为 DE 的中点.若CEF 的周长为 18,则 OF 的长为 . 三、解答题7.如图,ABC 是直角三角形,且ABC=90,四边形 BCDE 是平行四边形,E 为 AC 中点,BD 平分ABC,点 F 在 AB 上,且 BF=BC.求证:(1)DF=AE;(2)DFAC.第 15 讲 全等三角形与尺规作图A 组 基础题组7一、选择题1.A 从角平分线的作法可得,AFD 与AED 的三边全部相等,则AFDAED.故选 A.2.D 根据尺规作图的方法可知正确的配对是,.故选 D.3.D A.根据作图的方法可知,CD 是 RtABC 斜边 AB 上的高线,不符合题意.B.根据“直径所
8、对的圆周角是直角”知 CD 是 RtABC 斜边 AB 上的高线,不符合题意.C.根据相交圆的公共弦的性质可知 CD 是斜边 AB 上的高线,不符合题意.D.无法证明 CD 是 RtABC 斜边上的高线,符合题意.故选 D.4.B ABC=45,ADBC,在等腰直角三角形 ABD 中,AD=BD,又ADB=ADC=90,BHD+DBH=90=EBC+C,BHD=C,BHDACD,BH=AC=4.5.C 由垂直平分线的性质定理得 BD=AD,B=BAD=30,AD 平分BAC.在 RtADC 中,AD=2CD=6,即 BD=6.BC=BD+CD=9.6.D 如果 OA=OD,则结合已知条件易证得
9、四边形 AEDF 是矩形,则BAC=90,但由题中条件得不到BAC=90,所以不正确.首先根据全等三角形的判定方法,判断出AEDAFD,则 AE=AF,DE=DF.然后根据全等三角形的判定方法,判断出AEOAFO,则AOE=AOF=90,即 ADEF,所以正确.如果BAC=90,则四边形 AEDF 的四个角都是直角,四边形 AEDF 是矩形,结合 DE=DF,判断出四边形 AEDF 是正方形,故正确.根据AEDAFD,得到 AE=AF,DE=DF,进而得到 AE+DF=AF+DE,故正确.故选 D.7.D 在ABD 与CBD 中,=,=,=,ABDCBD(SSS),故正确.ADB=CDB,在A
10、OD 与COD 中, =,=,=, AODCOD(SAS),AOD=COD=90,AO=OC= AC,128ACBD,故正确.故选 D.二、填空题8.答案 3解析 过 C 作 CFAO.OC 为AOB 的平分线,CMOB,CM=CF.OC=5,OM=4,CM=3,CF=3.故答案为 3.9.答案 4解析 CAAB 于 A,DBAB 于 B,A=B=90,设运动 x 分钟后CAP 与PQB 全等,则 BP=x m,BQ=2x m,AP=(12-x)m,分两种情况:若 BP=AC,则 x=4,此时 AP=12-4=8 m,BQ=8 m,AP=BQ,CAPPBQ(SAS);若 BP=AP,则 12-
11、x=x,解得 x=6,此时 BQ=12 m,BQAC,CAP 与PQB 不全等.综上所述:运动 4 分钟后CAP 与PQB 全等.10.答案 2解析 D 为 AB 的中点,AB=8,在 RtABC 中,CD=4,又E、F 分别为 AC,AD 的中点,根据三角形中位线定理,得 EF=2.三、解答题11.解析 (1)证明:P 为 AB 中点,PA=PB.又A=B,MPA=NPB,APMBPN.(2)由(1)得 PM=PN,9MN=2PN,又MN=2BN,PN=BN,=B=50.(3)4090.BPN 的外心在该三角形的内部,BPN 是锐角三角形,BPN 和BNP 都为锐角,又B=50,40BPN9
12、0,即 4090.12.解析 (1)证明:AF=FG,FAG=FGA,AG 平分CAB,CAG=FAG,CAG=FGA,ACFG.又DEAC,FGDE,又FGBC,DEBC,ACBC,C=DHG=90,CGE=GED,F 是 AD 的中点,FGAE,H 是 ED 的中点,FG 是线段 ED 的垂直平分线,GE=GD,GDE=GED,CGE=GDE,ECGGHD.(2)证明:过点 G 作 GPAB 于点 P,10GC=GP,CAGPAG,AC=AP.由(1)得 EG=DG,RtECGRtGPD,EC=PD,AD=AP+PD=AC+EC.(3)四边形 AEGF 是菱形,理由如下:B=30,ADE=
13、30,AE= AD,AE=AF=FG.12由(1)得 AEFG,四边形 AEGF 是菱形.B 组 提升题组一、选择题1.D2.A 根据垂线的作法,选项 A 错误.故选 A.3.B 四边形 ABCD 是正方形,B=DCB=90,AB=BC,AG=CE,BG=BE,由勾股定理得:BE= GE,错误;22BG=BE,B=90,BGE=BEG=45,11AGE=135,GAE+AEG=45,AEEF,AEF=90,BEG=45,AEG+FEC=45,GAE=FEC,在GAE 和CEF 中, =,=,=, GAECEF,正确;AGE=ECF=135,FCD=135-90=45,正确;BGE=BEG=45
14、,AEG+FEC=45,FEC45,GBE 和ECH 不相似,错误.故选 B.二、填空题4.答案 2解析 过 D 作 DEBC 于 E.BD 平分ABC,A=90,DE=AD=2.故点 D 到边 BC 的距离为2.5.答案 AH=CB(或 EH=EB 或 AE=CE)解析 ADBC,CEAB,垂足分别为 D、E,AEC=BEC=ADB=90,B+BCE=90,B+BAD=90,BCE=BAD,12AH=CB 或 EH=EB 或 AE=CE,可证AEHCEB.6.答案 72解析 四边形 ABCD 是正方形,BO=DO,BC=CD,BCD=90.在 RtDCE 中,F 为 DE 的中点,CF= D
15、E=EF=DF.CEF 的周长为 18,CE+CF+EF=18.又CE=5,CF+EF=18-125=13,DE=DF+EF=13,DC= =12,BC=12,BE=12-5=7. 在BDE 中,132-52BO=DO,F 为 DE 的中点,OF 为BDE 的中位线,OF= BE= .12 72三、解答题7.证明 (1)延长 DE 交 AB 于点 G,连接 AD.四边形 BCDE 是平行四边形,EDBC,ED=BC.点 E 是 AC 的中点,ABC=90,AG=BG,DGAB.AD=BD,BAD=ABD.BD 平分ABC,ABD=BAD=45,即BDE=ADE=45.又 BF=BC,BF=DE.在AED 与DFB 中, =,=,=, AEDDFB(SAS),AE=DF,即 DF=AE.(2)设 AC 与 FD 交于点 O.由(1)知,AEDDFB,AED=DFB,13DEO=DFG.DFG+FDG=90,DEO+EDO=90,EOD=90,即 DFAC.
