1、7.3 合情推理与演绎推理,-2-,知识梳理,考点自测,1.合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,先经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、 ,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.,类比,部分对象,全部对象,个别事实,一般结论,某些类似特征,某些已知特征,-3-,知识梳理,考点自测,部分,整体,特殊,一般,特殊,特殊,-4-,知识梳理,考点自测,2.演绎推理 (1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理. (2)特点:演绎推理是由一般到特殊的推理. (3)模式:“三段论”是演绎推理的一般模式:,条件,特殊问题,M是P,S是M,-5-,
2、知识梳理,考点自测,1.合情推理的结论是猜想,不一定正确;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确. 2.合情推理是发现结论的推理;演绎推理是证明结论的推理.,-6-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确.( ) (2)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理.( ) (3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( ) (4)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理.( ) (5)演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时,得到
3、的结论一定正确.( ),答案,-7-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,2.(2017安徽滁州模拟)若大前提是:任何实数的平方都大于0,小前提是:aR,结论是:a20,那么这个演绎推理出错在( ) A.大前提 B.小前提 C.推理过程 D.没有出错,答案,解析,-8-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,3. (教材习题改编P7T1) 如图,根据图中的数构成的规律,a表示的数是 ( ) 1 2 2 3 4 3 4 12 12 4 5 48 a 48 5 A.12 B.48 C.60 D.144,答案,解析,-9-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,4.(2017全国,理7)甲、
4、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩,看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( ) A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩,答案,解析,-10-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,5. (教材习题改编P7T2) 在平面上,若两个正三角形的边长的比为12,则它们的面积比为14.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为12,则它们的体积比为 .,答案,解析,-11-,考点1,考点2,考点3,考
5、点4,考向1 数的归纳 例1观察下列各式:55=3 125,56=15 625,57=78 125,则52 016的末四位数字为( ) A.3 125 B.5 625 C.0 625 D.8 125 思考进行数的归纳时,应注意观察数的什么变化?,答案,解析,-12-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向2 式的归纳根据以上事实,由归纳推理可得: 当nN*且n2时,fn(x)=f(fn-1(x)= . 思考进行式的归纳时,应注意寻找什么?,答案,解析,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向3 形的归纳 例3仔细观察下面4个数字所表示的图形:请问:数字100所代表的图形中小方格的个数为 .
6、 思考进行形的归纳时,主要归纳什么的变化?,答案,解析,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得归纳推理的三个类型 1.数的归纳包括数字归纳和等式、不等式的归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻找数字变化与项数的关系或数字变化的周期性. 2.式的归纳可根据已知或所求的式子寻找每个式子都具有的规律. 3.形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳.,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练1(1)观察下列特殊的不等式:,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,(3)由图形间的关系可以看出
7、,第一个图中有8根火柴棒,第二个图中有8+6根火柴棒,第三个图中有8+26根火柴棒,以此类推第n个“金鱼”需要火柴棒的根数是8+6(n-1),即6n+2.,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,答案,解析,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考类比推理的关键是什么? 解题心得类比推理的关键及类型 1.进行类比推理,应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行对比,提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键. 2.类比推理常见的情形有:平面与空间类比;低维与高维类比;等差数列与等比数列类比;运算类比(加与积,乘与乘方,减与除,除与开方);数的运算与向量运算类比;圆锥曲线间的类比等.,
8、-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)设ABC的三边长分别为a,b,c,ABC的面积为S,内切圆半径为r,则 ;类比这个结论可知,四面体ABCD的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,四面体ABCD的体积为V,内切球半径为R,则R= .,答案,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,例5下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( ) A.大前提:无限不循环小数是无理数;小前提:是无理数;结论:是无限不循环小数 B.大前提:无限不循环小数是无理数;小前提:是无限不循环小数;结论:是无理数 C.大前提:是无限不循环小数;小前提:无限不循环小数是无理数;结论:是无理数 D
9、.大前提:是无限不循环小数;小前提:是无理数;结论:无限不循环小数是无理数,答案,解析,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考演绎推理中得出的结论一定正确吗? 解题心得演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系,解题时要找准正确的大前提.一般地,若大前提不明确时,一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提,只要大前提、小前提和推理形式是正确的,结论必定是正确的.,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练3已知函数y=f(x)满足:对任意a,bR,ab,都有af(a)+bf(b)af(b)+bf(a), (1)试证明:f(x)为R上的单调增函数; (2)若x,y为正实数且 ,比较
10、f(x+y)与f(6)的大小.,(1)证明: 设x1,x2R,且x1x1f(x2)+x2f(x1), 所以x1f(x1)-f(x2)+x2f(x2)-f(x1)0,f(x2)-f(x1)(x2-x1)0, 因为x10, 所以f(x2)f(x1).所以y=f(x)为R上的单调增函数.,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,例6某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: ()男学生人数多于女学生人数; ()女学生人数多于教师人数; ()教师人数的两倍多于男学生人数. 若教师人数为4,则女学生人数的最大值为 ; 该小组人数的最小值为 .,
11、答案,解析,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考如何解决生活中的合情推理问题? 解题心得在进行合情推理时,要依据一定的“规则”已知条件、公式、法则、推理等;只有不断地观察、比较、分析、推理,才能得到正确的答案.,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练4学生的语文、数学成绩均被评定三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( ) A.2人 B.3人 C.4人 D.
12、5人,答案,解析,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.合情推理与演绎推理的区别 (1)归纳推理是由特殊到一般的推理; (2)类比推理是由特殊到特殊的推理; (3)演绎推理是由一般到特殊的推理; (4)从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明;而演绎推理若大前提、小前提和推理形式正确,得到的结论一定正确. 2.在数学研究中,在得到一个新结论前,合情推理能帮助猜测和发现结论.在证明一个数学结论之前,合情推理常常能为证明提供思路与方向.数学结论的证明主要通过演绎推理来进行. 3.“三段论”式的演绎推理一定要保证大前提正确,且小前提是大前提的子集关系,这样经过正确推理,才能得出正确结论.,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.演绎推理常用来证明和推理数学问题,要注意推理过程的严密性、书写格式的规范性. 2.合情推理中运用猜想时不能凭空想象,要有猜想或拓展依据.,
