1、5.2 平面向量基本定理 及向量的坐标表示,-2-,知识梳理,考点自测,1.平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a= .其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 .把一个向量分解为两个 的向量,叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,a为坐标平面内的任意向量,以坐标原点O为起点作 =a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得=xi+yj,因此a=xi+yj,我们把实数对 叫做向量a的坐标,记作a= .
2、,不共线,1e1+2e2,基底,互相垂直,(x,y),(x,y),-3-,知识梳理,考点自测,3.平面向量的坐标运算 (1)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 = . (2)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b= , a-b= ,a= ,(x2-x1,y2-y1),(x1+x2,y1+y2),(x1-x2,y1-y2),(x1,y1),-4-,知识梳理,考点自测,4.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab . 5.向量的夹角 已知两个
3、向量a和b,作 则AOB=(0180)叫做向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90,我们说a与b垂直,记作 .,x1y2-x2y1=0,非零,ab,-5-,知识梳理,考点自测,1.若a与b不共线,a+b=0,则=0. 2.已知 (,为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是+=1.,-6-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( ) (2)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.( )(4)已知向量a,b是一组基底,若实数1,1,2,2满足1a+1b=2a+2b,则1=2,1=2
4、.( ),答案,-7-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,2.(2017河北石家庄二模,理9)已知向量a=(1,m),b=(m,1),则“m=1”是“ab”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,-8-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,3.已知向量a=(2,6),b=(-1,).若ab,则= .,答案,解析,-9-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,4.(2017山西太原一模,理12)已知a=(1,-1),b=(t,1),若(a+b)(a-b),则实数t= .,答案,解析,-10-,知识梳理,考点自测,2,3,4
5、,1,5,5.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则实数m= .,答案,解析,-11-,考点1,考点2,考点3,考点4,(3)设e1,e2是平面内的一组基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基向量a,b的线性组合,即e1+e2= .,-12-,考点1,考点2,考点3,考点4,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考用平面向量基本定理解决问题的一般思路是什么? 解题心得1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三
6、角形法则进行向量的加、减或数乘运算. 2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,再通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一组基底表示出来.,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,答案,解析,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,答案,解析,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,答案,解析,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,例3(1)已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量 A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0) D.(-1,2)A.(2,3) B.(-2,3) C.(3,1) D.(3,-1),答案,解析,
7、-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考利用向量的坐标运算解决问题的一般思路是什么? 解题心得向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的.解题过程中,常利用“向量相等,则其坐标相同”这一原则,通过列方程(组)来进行求解.,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练3(1)在ABCD中,AC为一条对角线,若A.(-2,-4) B.(-3,-5) C.(3,5) D.(2,4) (2)已知向量a=(2,-1),b=(0,1),则|a+2b|=( ),答案,解析,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,例4平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
8、(1)求满足a=mb+nc的实数m,n; (2)若(a+kc)(2b-a),求实数k.,答案,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考向量共线有哪几种表示形式?两个向量共线的充要条件有哪些作用? 解题心得1.向量共线的两种表示形式 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),aba=b(b0);abx1y2-x2y1=0.至于使用哪种形式,应视题目的具体条件而定,一般情况涉及坐标的应用. 2.两个向量共线的充要条件的作用 判断两个向量是否共线(或平行),可解决三点共线的问题;另外,利用两个向量共线的充要条件可以列出方程(组),求出未知数的值.,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点
9、训练4(1)(2017安徽马鞍山一模)已知向量a=(1,2),b=(x,6),且ab,则|a-b|= . (2)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若pq,则角C的大小为 .,答案,解析,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.只要两个向量不共线,就可以作为平面的一组基底,对基底的选取不唯一,平面内任意向量a都可以用这个平面的一组基底e1,e2线性表示,且在基底确定后,这样的表示是唯一的. 2.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则,将向量进行分解. 3.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示,其中坐标运算法则是
10、运算的关键,通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理,从而用向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题. 4.在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用.,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,5.向量中必须掌握的三个结论 (1)若a与b不共线,a+b=0,则=0; (2)已知 (,为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是+=1; (3)平面向量的基底中一定不含零向量.1.要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系,向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标,当向量的起点是原点时,其终点坐标就是向量坐标. 2.若a,b为非零向量,当ab时,a,b的夹角为0或180,求解时容易忽视其中一种情形而导致出错.,
