1、5.3 平面向量的数量积 与平面向量的应用,-2-,知识梳理,考点自测,1.平面向量的数量积 (1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为,则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积),记作ab,即ab= ,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0a=0. (2)几何意义:数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积.,|a|b|cos ,-3-,知识梳理,考点自测,2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),为向量a,b的夹角. (1)数量积:ab=|a|b|cos = .,x1x2+y1y2,(5)已知两非零向量a
2、与b,abab=0 ; abab=|a|b|. (6)|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立),即,x1x2+y1y2=0,-4-,知识梳理,考点自测,3.平面向量数量积的运算律 (1)ab=ba(交换律). (2)ab=(ab)=a(b)(结合律). (3)(a+b)c=ac+bc(分配律).,-5-,知识梳理,考点自测,-6-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)一个非零向量在另一个非零向量方向上的投影为数量,且有正有负.( ) (2)若ab0,则a和b的夹角为锐角;若ab0,则a和b的夹角为钝角.( ) (3)若ab=0
3、,则必有ab.( ) (4)(ab)c=a(bc).( ) (5)若ab=ac(a0),则b=c.( ),答案,-7-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,2.已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)b,则m=( ) A.-8 B.-6 C.6 D.8,答案,解析,-8-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,A.30 B.45 C.60 D.120,答案,解析,-9-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,4.(2017全国,理13)已知向量a,b的夹角为60,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .,答案,解析,-10-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,5
4、.已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且ab,则m= .,答案,解析,-11-,考点1,考点2,考点3,例1(1)(2017浙江,10) 如图,已知平面四边形ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记 A.I1I2I3 B.I1I3I2 C.I3I1I2 D.I2I1I3 (2)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则,答案,解析,-12-,考点1,考点2,考点3,思考求向量数量积的运算有几种形式? 解题心得1.求两个向量的数量积有三种方法: (1)当已知向量的模和夹角时,利用定义求解,即ab=|a|b|cos (其中是向量a与
5、b的夹角). (2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2. (3)利用数量积的几何意义.数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积. 2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可利用向量的加减运算或数量积的运算律化简.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.,-13-,考点1,考点2,考点3,对点训练1(1)已知ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则 值为( ),答案: (1)B (2)C,-14-,考点1,考
6、点2,考点3,-15-,考点1,考点2,考点3,-16-,考点1,考点2,考点3,(2)(2017浙江,15)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 ,最大值是 .,-17-,考点1,考点2,考点3,-18-,考点1,考点2,考点3,-19-,考点1,考点2,考点3,思考求向量的模及求向量模的最值有哪些方法? 解题心得1.求向量的模的方法: (1)公式法,利用 及(ab)2=|a|22ab+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算; (2)几何法,先利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解. 2.求向量模的最值(或范围
7、)的方法: (1)求函数最值法,把所求向量的模表示成某个变量的函数再求最值(或范围); (2)数形结合法,弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.,-20-,考点1,考点2,考点3,对点训练2(1)(2017山东潍坊一模)已知向量a,b,|a|=2,|b|=1,且(a+b)a,则|a-2b|= .,答案,解析,-21-,考点1,考点2,考点3,思考两个向量数量积的正负与两个向量的夹角有怎样的关系?,答案,解析,-22-,考点1,考点2,考点3,考向2 平面向量a在b上的投影 例4已知|a|=2,|b|=1,(2a-3b)(2a+b)=9. (1)求向量a与b的夹角; (2)求|a+
8、b|及向量a在a+b方向上的投影.,答案,-23-,考点1,考点2,考点3,考向3 求参数的值或范围 例5(2017天津,理13)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2,若思考两向量的垂直与其数量积有何关系?,答案,解析,-24-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角;数量积等于0说明不共线的两个向量的夹角为直角;数量积小于0说明不共线的两个向量的夹角为钝角.,-25-,考点1,考点2,考点3,对点训练3(1)(2017山西晋中二模,理13)若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a-b的夹角是 . (2)已知非零向
9、量a,b满足|a|=2,且|a+b|=|a-b|,则向量b-a在向量a方向上的投影是 . (3)(2017山东,理12)已知e1,e2是互相垂直的单位向量,若 e1-e2与e1+e2的夹角为60,则实数的值是 .,-26-,考点1,考点2,考点3,-27-,考点1,考点2,考点3,-28-,考点1,考点2,考点3,1.平面向量的坐标表示与向量表示的比较: 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),是向量a与b的夹角.,-29-,考点1,考点2,考点3,2.计算数量积的三种方法:定义、坐标运算、数量积的几何意义,要灵活选用,与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用. 3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.,-30-,考点1,考点2,考点3,1.根据两个非零向量夹角为锐角或钝角与数量积的正、负进行转化时,不要遗漏向量共线的情况. 2.|ab|a|b|当且仅当ab时等号成立. 3.注意向量夹角和三角形内角的关系.,
