1、第六章 数列,6.1 数列的概念与表示,-3-,知识梳理,考点自测,1.数列的有关概念,一定顺序,每一个数,an=f(n),a1+a2+an,-4-,知识梳理,考点自测,2.数列的表示方法3.数列的函数特征 数列的三种表示方法也是函数的表示方法,数列可以看作是定义域为正整数集(或它的有限子集1,2,n)的函数an=f(n),当自变量由小到大依次取值时所对应的一列 .,(n,an),公式,函数值,-5-,知识梳理,考点自测,4.数列的性质5.an与Sn的关系,an+1an,an+1an,-6-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,答案,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.
2、(1)所有数列的第n项都能使用公式表达.( ) (2)数列an和集合a1,a2,a3,an是一回事.( ) (3)若数列用图象表示,则从图象上看都是一群孤立的点.( ) (4)一个确定的数列,它的通项公式只有一个.( ) (5)若数列an的前n项和为Sn,则对nN*,都有an=Sn-Sn-1.( ),-7-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,2.已知数列an的通项公式 是这个数列的( ) A.第8项 B.第9项 C.第10项 D.第12项,答案,解析,-8-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,答案,解析,3.已知数列an的前n项和为Sn,若Sn=2an-4(nN*),则an=( )
3、 A.2n+1 B.2n C.2n-1 D.2n-2,-9-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,答案,解析,-10-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,5.设Sn是数列an的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn= .,答案,解析,-11-,考点1,考点2,考点3,例1根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式: (1)-1,7,-13,19,;(5)5,55,555,5 555,.,解: (1)偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式(-1)n;观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故数列的一个通项公式an=(-1)n(6n-5).
4、(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,故它的一个通项公式,-12-,考点1,考点2,考点3,-13-,考点1,考点2,考点3,思考如何根据数列的前几项的值写出数列的一个通项公式? 解题心得根据所给数列的前几项求其通项时,要注意观察每一项的特点,抓住其几方面的特征:分式中分子、分母的各自特征,相邻项的变化特征,拆项后的各部分特征,符号特征.进而观察an与n之间的关系,可使用添项、通分、分割等办法,转化为一些常见数列的通项公式来求.对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.,-14-,考点1,考点2,考点3,对点训练1根据下面各数列
5、前几项的值,写出数列的一个通项公式:(2)1,-3,5,-7,9,; (3)1,2,1,2,1,2,; (4)9,99,999,9 999,.,答案,-15-,考点1,考点2,考点3,例2(1)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=( )(2)设数列an的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,nN*,则a1= ,S5= .,答案,解析,-16-,考点1,考点2,考点3,思考已知数列的前n项和Sn,求数列通项的一般方法是什么? 解题心得给出Sn与an的递推关系,求an的常用思路:一是利用Sn-Sn-1=an(n2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;二是
6、转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.,-17-,考点1,考点2,考点3,对点训练2(1)已知数列an的前n项和Sn=3n2-2n+1,则其通项公式为an= .,答案,解析,-18-,考点1,考点2,考点3,考向1 形如an+1=anf(n),求an 例3在数列an中,已知a1=1,nan-1=(n+1)an(n2),求数列an的通项公式. 思考已知在数列an中,an+1=anf(n),利用什么方法求an?,答案,-19-,考点1,考点2,考点3,考向2 形如an+1=an+f(n),求an 例4在数列an中,已知a1=2,an+1=an+3n+2,求数列an的通项公式.
7、思考已知在数列an中,an+1=an+f(n),利用什么方法求an?,答案,-20-,考点1,考点2,考点3,考向3 形如an+1=pan+q,求an 例5已知数列an满足a1=1,an+1=3an+2,求数列an的通项公式. 思考已知在数列an中,an+1=pan+q(p,q均为常数),利用什么方法求an?,答案,-21-,考点1,考点2,考点3,考向4 由含an+1与an的二次三项式求an 例6已知各项都为正数的数列an满足a1=1, -(2an+1-1)an-2an+1=0. (1)求a2,a3; (2)求an的通项公式. 思考已知含有an+1与an的二次三项式的递推公式,如何求an?,
8、答案,-22-,考点1,考点2,考点3,解题心得根据给出的初始值和递推关系求数列通项的常用方法有: (1)若递推关系为an+1=an+f(n)或an+1=f(n)an,则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式,或用迭代法求得通项公式; (2)当递推公式为an+1=pan+q(其中p,q均为常数)时,通常解法是先把原递推公式转化为an+1-t=p(an-t),其中 ,再利用换元法转化为等比数列求解; (3)当递推公式含有an+1与an的二次三项式时,通常先对递推公式进行化简、变形,转化为等差或等比数列,再用公式法求an.,-23-,考点1,考点2,考点3,-24-,考点1,考点2,考点3,-25-
9、,考点1,考点2,考点3,-26-,考点1,考点2,考点3,1.求数列通项公式或指定项,通常用观察法,观察出前几项与项数之间的关系,抽象出an与n的关系,对于正、负项相间的数列,一般用(-1)n或 来区分奇偶项的符号. 2.已知递推关系求通项公式,一般有三种常见思路: (1)先算出前几项,再归纳、猜想; (2)形如“an+1=pan+q”这种形式通常转化为an+1+=p(an+),由待定系数法求出,再化为等比数列; (3)递推公式化简整理后,若为an+1-an=f(n)型,则采用累加法;若为3.求数列最大项的方法:(1)判断an的单调性;(2)解不等式组,-27-,考点1,考点2,考点3,1.在利用函数观点研究数列时,一定要注意自变量的取值是正整数. 2.数列的通项公式不一定唯一. 3.注意an=Sn-Sn-1中需n2. 4.由Sn求an时,利用 求出an后,要注意验证a1是否适合求出的an的关系式.,
