1、第十一章 计数原理,11.1 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理,-3-,知识梳理,考点自测,1.两个计数原理,n类不同的方案,n个步骤,-4-,知识梳理,考点自测,2.两个计数原理的区别与联系,-5-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)在分类加法计数原理中,某两类不同方案中的方法可以相同.( ) (2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事.( ) (3)在分步乘法计数原理中,只有各步骤都完成后,这件事情才算完成.( ) (4)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( ) (5)
2、如果完成一件事情有n个不同步骤,在每一步中都有若干种不同的方法mi(i=1,2,3,n),那么完成这件事共有m1m2m3mn种不同的方法.( ),答案,-6-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,2.已知集合M=1,-2,3,N=-4,5,6,-7,从集合M,N中各取一个元素作为点的坐标,则这样的坐标在平面直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是 ( ) A.18 B.14 C.16 D.10,答案,解析,-7-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,3.如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条
3、数为( )A.24 B.18 C.12 D.9,答案,解析,-8-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,4.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,演出开始前又增加了2个新节目,如果将这2个新节目插入原节目单中,那么不同插法的种类为( ) A.42 B.30 C.20 D.12,答案,解析,-9-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,5.已知一个乒乓球队里有男队员5名,女队员4名,从中选取男、女队员各一名组成混合双打,共有 种不同的选法.,答案,解析,-10-,考点1,考点2,考点3,例1(1)(2017河南郑州质检)满足a,b-1,0,1,2,且关于x的方程ax2+2x+b=0有实
4、数解的有序数对(a,b)的个数为( ) A.14 B.13 C.12 D.9 (2)已知椭圆 的焦点在y轴上,且m1,2,3,4,5, n1,2,3,4,5,6,7,则这样的椭圆的个数为 .,答案,解析,-11-,考点1,考点2,考点3,思考使用分类加法计数原理应遵循的原则是什么? 解题心得使用分类加法计数原理应遵循的原则:分类的标准可能有多个,但不论是以哪一个为标准,都应遵循“标准要明确,不重不漏”的原则,且完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类.,-12-,考点1,考点2,考点3,对点训练1把甲、乙、丙三位志愿者安排在周一至周五参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要
5、求甲安排在另外两位前面,不同的安排方案共有( ) A.20种 B.30种 C.40种 D.60种,答案,解析,-13-,考点1,考点2,考点3,例2(1)(2017江西上饶模拟)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的三位数,其中偶数的个数是( ) A.24 B.30 C.40 D.60(2)(2017福建泉州模拟)如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D 4块区域分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则涂色方法共有 种.(用数字作答),答案,解析,-14-,考点1,考点2,考点3,思考应用分步乘法计数原理解决问题时,如何分步?对分步有何要求? 解题心得利用分步乘法计数原理解决问题时,要按事件
6、发生的过程合理分步,并且分步必须满足两个条件:一是完成一件事的各个步骤是相互依存的,二是只有各个步骤都完成了,才算完成这件事.,-15-,考点1,考点2,考点3,对点训练2从6个人中选4个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市至少有一人游览,每人只游览一个城市,且这6个人中,甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有 种.,答案,解析,-16-,考点1,考点2,考点3,例3(1)某校在暑假组织社会实践活动,将8名高一年级的学生平均分配到甲、乙两家公司,其中2名英语成绩优秀的学生不能分给同一家公司,另3名擅长电脑的学生也不能分给同一家公司,则不同的分配方案有( ) A.36
7、种 B.38种 C.108种 D.114种 (2)(2017四川成都二诊)如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有 .(用数字作答),答案: (1)A (2)96,-17-,考点1,考点2,考点3,解析: (1)由题意可知,有2种分配方案:分给甲公司2名擅长电脑的学生,有3种可能;1名英语成绩优秀的学生,有2种可能;再从剩下的3人中选1人,有3种可能,共有323=18种分配方案.分给甲公司1名擅长电脑的学生,有3种可能;1名英语成绩优秀的学生,有2种可能;再从剩下的3人中选2人,有3种可能,共有323=
8、18种分配方案.由分类加法计数原理,可知不同的分配方案共有18+18=36(种),故选A. (2)按区域1与3是否同色分类: 区域1与3同色;先涂区域1与3,有4种方法,再涂区域2,4,5(还有3种颜色),有 种方法. 所以区域1与3同色,共有4 =24种涂色方法. 区域1与3不同色:第一步,涂区域1与3,有 种涂色方法;第二步,涂区域2,有2种涂色方法;第三步,涂区域4,只有1种涂色方法;第四步,涂区域5,有3种涂色方法. 所以共有 213=72种涂色方法,故由分类加法计数原理,知不同的涂色方法有24+72=96(种).,-18-,考点1,考点2,考点3,思考应用两个计数原理解决计数问题时的
9、一般思路是怎样的? 解题心得在综合应用两个计数原理解决问题时,一般是先分类再分步.分类后分别对每一类进行计数,在计算每一类时可能要分步,在分步时可能又要用到分类加法计数原理.,-19-,考点1,考点2,考点3,对点训练3(1)从1,2,3,4,7,9六个数中,任取两个数作对数的底数和真数,则所有不同对数值的个数为 . (2)(2017河北石家庄模拟)将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同的分法种数为 .(用数字作答) (3)如图,矩形的对角线把矩形分成A,B,C,D四部分,现用5种不同颜色给四部分涂色,每部分涂1种颜色,要求共
10、边的两部分颜色互异,则共有 种不同的涂色方法.,答案: (1)17 (2)8 (3)260,-20-,考点1,考点2,考点3,解析: (1)分两类:当取1时,1只能为真数,此时对数值为0; 不取1时,分两步:取底数,有5种不同的取法;取真数,有4种不同的取法. 其中log23=log49,log32=log94,log24=log39,log42=log93, 所以不同的对数值的个数为1+54-4=17. (2)第1步,把甲、乙分到不同班级,有 =2种分法;第2步,分丙、丁:丙、丁分到同一班级,有2种分法;丙、丁分到不同班级,有=2种分法.由分步乘法计数原理,知不同的分法为2(2+2)=8(种
11、). (3)区域A有5种涂色方法;区域B有4种涂色方法;区域C的涂色方法可分2类:若C与A涂同色,区域D有4种涂色方法;若C与A涂不同色,此时区域C有3种涂色方法,区域D也有3种涂色方法.所以共有544+5433=260种不同的涂色方法.,-21-,考点1,考点2,考点3,1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列、组合问题的基础,并贯穿其始终. 2.解决计数问题的基本方法:列举法、两个计数原理. 3.选择两个原理解题的关键是:根据题目,弄清完成一件事的要求,只有这样才能正确区分“分类”和“分步”. 4.对于复杂问题,一般是先分类再分步.,1.切实理解“完成一件事”的含义,以确定需要分类还是需要分步. 2.分类的关键在于要做到“不重不漏”,分步的关键在于要正确设计分步的程序,即合理分类,准确分步. 3.确定题目中是否有特殊条件限制.,
