1、12.2 古典概型与几何概型,-2-,知识梳理,考点自测,1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是 的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 的和. 2.古典概型 (1)定义:具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型. 有限性:试验中所有可能出现的基本事件 . 等可能性:每个基本事件出现的可能性 .,互斥,基本事件,只有有限个,相等,-3-,知识梳理,考点自测,3.几何概型 (1)定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_ (面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. (2)特点 无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个;
2、等可能性:每个结果的发生具有等可能性. (3)公式:P(A)= .,长度,4.随机模拟方法 使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是随机模拟方法.,-4-,知识梳理,考点自测,1.任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和. 2.求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有:列举法、列表法和树状图法. 3.与面积有关的几何概型,若已知图形不明确,可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解决问题.,-5-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,1.判断下列结论是否正确,
3、正确的画“”,错误的画“”. (1)在一次试验中,其基本事件的发生一定是等可能的.( ) (2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( ) (3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.( )(5)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( ),答案,-6-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,2.(2017黑龙江大庆二模,理10)男、女生共8人,从中任选3人,出现2个男生、1个女生的概率为 ,则其中女生有( ) A.2人 B.3人 C.2人或3人 D.4人,答案,解析,-7-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,3.(2017湖北武汉二月调考,理7)从装有3
4、个红球和2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有2个红球的概率是( ),答案,解析,-8-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,4.(2017全国,理2)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( ),答案,解析,-9-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,5.在-1,1上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为 .,答案,解析,-10-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,例1(1)(2017福建厦门一模
5、,理3)中国将于2017年9月3日至5日在福建省厦门市主办金砖国家领导人第九次会晤.某志愿者队伍共有5人负责接待,其中3人担任英语翻译,另2人担任俄语翻译.现从中随机选取2人,恰有1个英语翻译,1个俄语翻译的概率是( )(2)某校食堂使用大小、手感完全一样的餐票,小明口袋里有一元餐票2张,两元餐票2张,五元餐票1张,若他从口袋中随意摸出2张,则其面值之和不少于四元的概率为 ( ),答案,解析,-11-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,思考如何求古典概型的概率? 解题心得1.求古典概型的概率的思路是:先求出试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数,再代入古典概型的概率公式
6、. 2.求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数时,应用两个原理及排列与组合的知识进行求解.,-12-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,对点训练1(1)(2017福建厦门二模,理8)甲、乙两名游客来厦门旅游,计划分别从鼓浪屿、曾厝垵、植物园、南普陀4个旅游景点中选取3个景点参观游览,则两人选取的景点中有且仅有两个景点相同的概率为( )(2)从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数,则其中有两个数字各用两次(例如12332)的概率为( ),答案,解析,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,考向1 古典概型与平面向量的交汇思考如何把两个向量的夹角的范围
7、问题转化成与求概率的基本事件有关的问题?,答案,解析,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,考向2 古典概型与解析几何的交汇 例3将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a,b,则直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2有公共点的概率为 . 思考如何把直线与圆有公共点的问题转化成与概率的基本事件有关的问题?,答案,解析,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,考向3 古典概型与函数的交汇 例4设a2,4,b1,3,函数f(x)= ax2+bx+1. (1)求f(x)在区间(-,-1上是减函数的概率; (2)从f(x)中随机抽取两个,求它们在(1,f(1)处的
8、切线互相平行的概率. 思考如何把f(x)在区间(-,-1上是减函数的问题转换成与概率的基本事件有关的问题?,答案,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,解题心得1.由两个向量的数量积公式,得出它们的夹角的余弦值的表达式,由夹角的范围得出点数m和n的关系mn,然后分别求m=n和mn对应的事件个数,从而也清楚了基本事件的个数就是点数m和n组成的点的坐标数. 2.直线与圆有公共点,即圆心到直线的距离小于或等于半径,由此得出ab,则满足ab的基本事件的个数就能求出来,从而转化成与概率的基本事件有关的问题. 3.f(x)在区间(-,-1上是减函数可转化成开口向上的二次函数f(x)的图
9、象的对称轴与x轴的交点的横坐标大于或等于-1,从而得出ba,从而不难得出ba包含的基本事件数.因此也转化成了与概率的基本事件有关的问题.,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,对点训练2(1)连续掷两次骰子,以先后得到的点数m,n为点P的坐标(m,n),那么点P在圆x2+y2=17内部(不包括边界)的概率是( )(2)已知向量a=(x,-1),b=(3,y),其中x-1,1,3,y1,3,9,则ab的概率为 ;ab的概率为 . (3)设集合A=x|x2-3x-100,xZ,从集合A中任取两个元素a,b,且ab0,则方程 表示焦点在x轴上的双曲线的概率为 . (4)已知关于x
10、的二次函数f(x)=ax2-4bx+1,设a-1,1,2,3,4,5, b-2,-1,1,2,3,4,则f(x)在区间1,+)内是增函数的概率为 .,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,例5(1)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )(2)如图,四边形ABCD为矩形,AB= ,
11、BC=1,在DAB内任作射线AP,则射线AP与线段BC有公共点的概率为 .,答案,解析,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,思考如何确定几何概型的概率是用长度或角度的比来求? 解题心得解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围.(1)当考察对象为点,点的活动范围在线段上时用线段长度比计算;(2)当考察对象为线时,一般用角度比计算.,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,对点训练3(1)(2017河北保定二模,理5)在区间-3,3内随机取出一个数a,使得1x|2x2+ax-a20的概率为( )(2)如图所示,在平面直角坐标系内,射线OT
12、落在30角的终边上,任作一条射线OA,则射线OA落在yOT内的概率为 .,答案,解析,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,例6(1)在棱长为2的正方体内部随机取一点,则该点到正方体8个顶点的距离都不小于1的概率为( )(2)如图,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数f(x)=x2,若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为 .,答案,解析,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,思考求与面积、体积有关的几何概型的基本思路是什么? 解题心得求与面积、体积有关的几何概型的基本思路:用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域,由题
13、意将已知条件转化为事件A满足的区域,在图形中画出事件A发生的区域,然后用公式,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,对点训练4(1)(2017福建莆田一模)从区间(0,1)中任取两个数,作为直角三角形两直角边的长,则所取得的两个数使得斜边长不大于1的概率是( )(2)(2017广东江门一模)ABCD-A1B1C1D1是棱长为2的正方体,AC1,BD1相交于点O,在该正方体内(含正方体表面)随机取一点M,OM1的概率P=( ),答案,解析,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,答案: (1)A (2
14、)B,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,思考如何把看似与几何概型无关的知识转化成与几何概型有关的问题? 解题心得处理几何概型与非几何知识的综合问题的关键是,通过转化,将某一事件所包含的基本事件用“长度”“角度”“面积”“体积”等表示出来.如把这两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,进而转化为面积的度量来解决.,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,对点训练5(1)(2017河北武邑中学一模,理10)在区间-,内随机取两个数分别记为a,b,则函数f(x)=x2+2ax-b2+2有零点的概率为( )(2)任取k-1
15、,1,直线l:y=kx+3与圆C:(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N两点,则|MN|2 的概率为 ( ),答案: (1)B (2)A 解析: (1)f(x)有零点,则=4a2-4(-b2+2)0,即a2+b22,以a为横轴,b为纵轴,则(a,b)构成以原点为中心,边长为2的正方形(边与坐标轴平行),面积为S=(2)2=42,满足a2+b22的区域是圆面,面积为S=2,因此所求概率为,-31-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,-32-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,例8从区间0,1随机抽取2n个数x1,x2,xn,y1,y2,yn,构成n个数对(x1,y
16、1),(x2,y2),(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为( ),答案,解析,-33-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,思考依据题意如何用随机模拟的方法求圆周率的近似值? 解题心得将看作未知数表示出四分之一的圆面积,根据几何概型的概率公式,四分之一的圆面积与矩形面积之比等于m与n之比,从而用m,n表示出的近似值.,-34-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,对点训练6如图所示,矩形的长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300粒黄豆,数得落在椭圆外的黄豆为96粒,以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为( ) A.
17、7.68 B.8.68 C.16.32 D.17.32,答案,解析,-35-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,1.古典概型计算三步曲: 第一,判断试验是不是等可能的;第二,本试验的基本事件有多少个;第三,事件A是什么,它包含的基本事件有多少个. 2.确定古典概型基本事件的方法: (1)当基本事件总数较少时,可列举计算; (2)利用计数原理、排列与组合求基本事件的个数. 3.转化思想在几何概型中的应用: 很多几何概型往往要通过一定的手段才能转化到几何度量值的计算上来,在解决问题时,要善于根据问题的具体情况进行转化,这种转化策略是解决几何概型试题的关键.如建立坐标系将试验结果和点对应,利用几何概型概率公式计算.,-36-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,1.古典概型的重要思想是事件发生的等可能性,一定要注意在计算基本事件总数和事件包含的基本事件个数时,它们是不是等可能的. 2.解决几何概型问题时,有两点容易造成失分: (1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型; (2)利用几何概型的概率公式时,忽视事件是否等可能.,
