1、专升本高等数学(二)-定积分计算方法及其应用及答案解析(总分：97.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：13.00)1.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_2.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_3.=_ （分数：2.00）填空项 1:_4.= 1 （分数：3.00）填空项 1:_5.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_6.广义积分 （分数：2.00）填空项 1:_二、B解答题/B(总题数：6，分数：84.00)对比计算（分数：36.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3). （分数：2.00）_(4). （分数：2.00
2、）_(5).计算 （分数：2.00）_(6).求 （分数：2.00）_(7).求 （分数：2.00）_(8).求曲线 x=acos3t，y=asin 3t所围成的平面图形的面积（分数：2.00）_(9).求函数 （分数：2.00）_(10).设 f(x)=3x2- （分数：2.00）_(11).已知 f()=-2， （分数：2.00）_(12).设 f(0)=1，f(2)=3，f(2)=5，求 （分数：2.00）_(13).试分析 k，a，b 为何值时， （分数：2.00）_(14).设 f(x)= e-t2dt，求 （分数：2.00）_(15).求 k的值，使 （分数：2.00）_(16).
3、当 a为何值时，抛物线 y=x2与三条直线 x=a，x=a+1，y=0 所围成的图形面积最小，求将此图形绕 x轴旋转一周所得到的几何体的体积（分数：2.00）_(17).设 f(x)是连续函数，求积分 （分数：2.00）_(18).直线 x=1把圆 x2+y2=4分成左、右两部分，求右面部分绕 y轴旋转一周所得的旋转体体积（分数：2.00）_计算下列定积分（分数：10.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3). （分数：2.00）_(4). （分数：2.00）_(5).设 ，求 （分数：2.00）_计算下列定积分（分数：10.00）(1). （分数：2.00）_
4、(2). （分数：2.00）_(3). （分数：2.00）_(4). （分数：2.00）_(5).证明： （分数：2.00）_(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3).设函数 f(x)在区间a，b上连续， ，求 （分数：2.00）_(4).证明： （分数：2.00）_(5).若 （分数：2.00）_(6).设 f(x)为连续函数， ，且 （分数：2.00）_(7).证明：若 f(x)在-a，a上连续，则 （分数：2.00）_(8).当 k为何值时，广义积分 （分数：2.00）_(9).求曲线 y=2lnx，过曲线上点(e，2)处的切线及 y=0所围成的图形的面积（分数
5、：2.00）_设平面图形是由曲线 y=x2和 x=y2围成，试求该图形：（分数：6.00）(1).绕 x轴旋转一周而形成的立体图形的体积（分数：2.00）_(2).绕 y轴旋转一周而形成的立体图形的体积（分数：2.00）_(3).设函数 f(x)=x2- （分数：2.00）_设某产品的边际成本函数为 C(q)=4+0.25q(万元/吨)，边际收入为 R(q)=80-q(万元/吨)，其中 q为产量（分数：4.00）(1).求产量由 10吨增加到 50吨时，总成本和总收入各增加多少?（分数：2.00）_(2).设固定成本为 10万元，求总成本函数和总收入函数（分数：2.00）_专升本高等数学(二)
6、-定积分计算方法及其应用答案解析(总分：97.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：13.00)1.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 *为奇函数2.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 *3.=_ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 令*，先证明*再用定积分区间可加性合并得 *4.= 1 （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：）解析：解析 *5.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 *6.广义积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正
7、确答案：*）解析：解析 *二、B解答题/B(总题数：6，分数：84.00)对比计算（分数：36.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：(*)解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(*)解析：(3). （分数：2.00）_正确答案：(设*=t，则 x=t2，dx=2tdt*)解析：(4). （分数：2.00）_正确答案：(*)解析：(5).计算 （分数：2.00）_正确答案：(*)解析：(6).求 （分数：2.00）_正确答案：(方法一 凑微分法 * 方法二 换元法，用方程思想构造等式 设*，则 dx=-dt * 所以 *)解析：(7).求 （分数：2.00）_正确答案：(令 l
8、nx=t，则 x=et，dx=e tdt当 x=1时，t=0；当 x=e时，t=1*)解析：(8).求曲线 x=acos3t，y=asin 3t所围成的平面图形的面积（分数：2.00）_正确答案：(星形线(见下图)是关于 x和 y对称的 * 参数 t从 0变到*正好是它在第一象限部分，所以 *)解析：(9).求函数 （分数：2.00）_正确答案：(在有限个点上改变被积函数的函数值，不会影响积分值也就是说，在闭区间上有有限个第一类间断点时，还能用牛顿莱布尼兹公式计算定积分 *)解析：(10).设 f(x)=3x2- （分数：2.00）_正确答案：(设*，则 f(x)=3x2-A，两边积分得*故*
9、)解析：(11).已知 f()=-2， （分数：2.00）_正确答案：(因* 移项得*f(x)+f“(x)sinxdx=f(0)-2=6，故 f(0)=8)解析：(12).设 f(0)=1，f(2)=3，f(2)=5，求 （分数：2.00）_正确答案：(设 2x=f，则*当 x=0时，t=0；当 x=1时，t=2 * 因为 f(0)=1，f(2)=3，f(2)=5，所以*xf“(2x)dx=2)解析：(13).试分析 k，a，b 为何值时， （分数：2.00）_正确答案：(* 所以当*，a=0，b=8 时，有*)解析：(14).设 f(x)= e-t2dt，求 （分数：2.00）_正确答案：(
10、分部积分得 *)解析：(15).求 k的值，使 （分数：2.00）_正确答案：(因为 * 所以 * 令*，解得*)解析：(16).当 a为何值时，抛物线 y=x2与三条直线 x=a，x=a+1，y=0 所围成的图形面积最小，求将此图形绕 x轴旋转一周所得到的几何体的体积（分数：2.00）_正确答案：(设所围面积为 S(a)*S(a)=(a+1)2-a2=2a+1令*S“(a)=20，所以*为最小的面积*)解析：(17).设 f(x)是连续函数，求积分 （分数：2.00）_正确答案：(令*，dx=-dt *)解析：(18).直线 x=1把圆 x2+y2=4分成左、右两部分，求右面部分绕 y轴旋转
11、一周所得的旋转体体积（分数：2.00）_正确答案：(直线 x=1与圆 x2+y2=4的交点是*，右部分绕 y轴旋转一周所得几何体的体积为*)解析：计算下列定积分（分数：10.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：(*)解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(*)解析：(3). （分数：2.00）_正确答案：(*)解析：(4). （分数：2.00）_正确答案：(*)解析：(5).设 ，求 （分数：2.00）_正确答案：(*)解析：计算下列定积分（分数：10.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：(*)解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(*)解析：(3). （分
12、数：2.00）_正确答案：(由于公式 sin2x=*(1-cos2x)，所以*)解析：(4). （分数：2.00）_正确答案：(*)解析：(5).证明： （分数：2.00）_正确答案：(证明 设*，则 dx=-dt，当 x=0时，*；当*时，t=0 *)解析：(1). （分数：2.00）_正确答案：(*)解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(*)解析：(3).设函数 f(x)在区间a，b上连续， ，求 （分数：2.00）_正确答案：(设 t=a+b-x，则 dt=-dx，当 x=a时，t=b；当 x=b时，t=a于是， * 而*，所以 *)解析：(4).证明： （分数：2.00）_正
13、确答案：(设 1-x=t，则 x=1-t，dx=-dt当 x=0时，t=1；当 x=1时，t=0于是 *)解析：(5).若 （分数：2.00）_正确答案：(* 故 *)解析：(6).设 f(x)为连续函数， ，且 （分数：2.00）_正确答案：(f(0)=(0)=0，令 y=xt，*两边对 x求导得 (x)=* 由导数定义，有 * 故 (x)在x=0处连续)解析：(7).证明：若 f(x)在-a，a上连续，则 （分数：2.00）_正确答案：(因为 f(x)在-a，a上连续，则* 对于*，令设 x=-t，则 dx=-dt当 x=-a时，t=a；当x=0时，t=0 于是， * 从而 *)解析：(8
14、).当 k为何值时，广义积分 （分数：2.00）_正确答案：(当 k1 时 * 当 k=1时，*所以广义积分*当 k1 时收敛，当 k1 时发散)解析：(9).求曲线 y=2lnx，过曲线上点(e，2)处的切线及 y=0所围成的图形的面积（分数：2.00）_正确答案：(因为*，过点(e，2)切线斜率为*，切线方程为*即* 切线经过原点(0，0)，曲线y=2lnx(即*)经过点(1，0)和(e，2)所围成图形面积为 *)解析：设平面图形是由曲线 y=x2和 x=y2围成，试求该图形：（分数：6.00）(1).绕 x轴旋转一周而形成的立体图形的体积（分数：2.00）_正确答案：(绕 x轴旋转一周而
15、形成的立体图形的体积*)解析：(2).绕 y轴旋转一周而形成的立体图形的体积（分数：2.00）_正确答案：(绕 y轴旋转一周而形成的立体图形的体积*)解析：(3).设函数 f(x)=x2- （分数：2.00）_正确答案：(由于定积分*是一确定的实数，设*对 f(x)的等式两边积分有 * 于是 * 由上式解得*令 f(x)=2x=0得驻点 x=0 当 x(0，2)时，恒有 f(x)0，表明 f(x)在区间(0，2)内严格增加，所以 f(0)=*是函数 f(x)在0，2的最小值，*是函数 f(x)在0，2的最大值)解析：设某产品的边际成本函数为 C(q)=4+0.25q(万元/吨)，边际收入为 R(q)=80-q(万元/吨)，其中 q为产量（分数：4.00）(1).求产量由 10吨增加到 50吨时，总成本和总收入各增加多少?（分数：2.00）_正确答案：(*)解析：(2).设固定成本为 10万元，求总成本函数和总收入函数（分数：2.00）_正确答案：(*由于固定成本为 10万元，所以总成本函数为C(q)=4q+*q2+10又由于*，故当 q=0时无收入，即 R(0)=0=C所以总收入函数为R(q)=80q-*q2)解析：
