1、2015年湖北省武汉市中考真题数学 一、选择题 (共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分 )下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑 . 1.在实数 -3， 0， 5， 3 中，最小的实数是 ( ) A.-3 B.0 C.5 D.3 解析 ：根据实数比较大小的方法，可得 -3 0 3 5，所以在实数 -3， 0， 5， 3 中，最小的实数是 -3. 答案： A 2.若代数式 2x 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ( ) A.x -2 B.x -2 C.x 2 D.x 2 解析 ： 根据二次根式的性质，被开方数大于等于 0，就可以求解
2、 . 根据题意得： x-2 0，解得 x 2. 答案： C 3.把 a2-2a 分解因式，正确的是 ( ) A.a(a-2) B.a(a+2) C.a(a2-2) D.a(2-a) 解析 ： 原式提取公因式得到结果，原式 =a(a-2). 答案： A 4.一组数据 3， 8， 12， 17， 40 的中位数为 ( ) A.3 B.8 C.12 D.17 解析 ： 把 3， 8， 12， 17， 40 从小到大排列，可得 3， 8， 12， 17， 40， 所以这组数据 3， 8， 12， 17， 40 的中位数为 12. 答案： C 5.下列计算正确的是 ( ) A.2a2-4a2=-2 B.
3、3a+a=3a2 C.3a a=3a2 D.4a6 2a3=2a2 解析 ： A、原式 =-2a2，错误； B、原式 =4a，错误； C、原式 =3a2，正确； D、原式 =2a3，错误 . 答案： C 6.如图，在直角坐标系中，有两点 A(6， 3)， B(6， 0)，以原点 O 位似中心，相似比为 13，在第一象限内把线段 AB 缩小后得到线段 CD，则点 C 的坐标为 ( ) A.(2， 1) B.(2， 0) C.(3， 3) D.(3， 1) 解析 ： 由题意得， ODC OBA，相似比是 13， OD DCOB AB，又 OB=6， AB=3， OD=2， CD=1，点 C 的坐标
4、为： (2， 1). 答案： A 7.如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体 .其主视图是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 从正面看下面是一个比较长的矩形，上面是一个比较宽的矩形 . 答案： B 8.下面的折线图描述了某地某日的气温变化情况 .根据图中信息，下列说法错误的是 ( ) A.4： 00 气温最低 B.6： 00 气温为 24 C.14： 00 气温最高 D.气温是 30的时刻为 16： 00 解析 ： A、由横坐标看出 4： 00 气温最低是 24，故 A 正确； B、由纵坐标看出 6： 00 气温为 24，故 B 正确； C、由横坐标看出 14： 00 气温最高
5、31； D、由横坐标看出气温是 30的时刻是 12： 00， 16： 00，故 D 错误 . 答案： D 9.在反比例函数 y=13mx图象上有两点 A(x1， y1)， B (x2， y2)， x1 0 x2， y1 y2，则 m 的取值范围是 ( ) A.m 13B.m 13C.m 13D.m 13解析 ： x1 0 x2时， y1 y2，反比例函数图象在第一，三象限， 1-3m 0，解得： m13 . 答案： B 10.如图， ABC， EFG 均是边长为 2 的等边三角形，点 D 是边 BC、 EF 的中点，直线 AG、FC 相交于点 M.当 EFG 绕点 D 旋转时，线段 BM 长的
6、最小值是 ( ) A.2- 3 B. 3 +1 C. 2 D. 3 -1 解析 ： AC 的中点 O，连接 AD、 DG、 BO、 OM，如图 . ABC， EFG 均是边长为 2 的等边三角形，点 D 是边 BC、 EF 的中点， AD BC， GD EF， DA=DG， DC=DF， ADG=90 - CDG= FDC， DA DGDC DF， DAG DCF， DAG= DCF. A、 D、 C、 M 四点共圆 . 根据两点之间线段最短可得： BO BM+OM，即 BM BO-OM， 当 M 在线段 BO 与该圆的交点处时，线段 BM 最小， 此时， BO= 2 2 2 221B C O
7、 C = 3 ， OM=12AC=1，则 BM=BO-OM= 3 -1. 答案： D. 二、填空题 (共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分 )请将答案填在答题卡对应题号的位置上 . 11.计算： -10+(+6)= . 解析 ： 原式利用异号两数相加的法则计算即可得到结果 . 原式 =-(10-6)=-4. 答案： -4 12.中国的领水面积约为 370 000km2，将数 370 000 用科学记数法表示为 . 解析 ： 370 000=3.7 105. 答案： 3.7 105 13.一组数据 2， 3， 6， 8， 11 的平均数是 . 解析 ： (2+3+6+8+11) 5=305
8、 =6， 所以一组数据 2， 3， 6， 8， 11 的平均数是 6. 答案： 6 14.如图所示，购买一种苹果，所付款金额 y(元 )与购买量 x(千克 )之间的函数图象由线段OA 和射线 AB 组成，则一次购买 3 千克这种苹果比分三次每次购买 1 千克这种苹果可节省 元 . 解析 ： 由线段 OA 的图象可知，当 0 x 2 时， y=10x， 1 千克苹果的价钱为： y=10， 设射线 AB 的解析式为 y=kx+b(x 2)， 把 (2， 20)， (4， 36)代入得： 2 204 36kbkb，解得： 84kb， y=8x+4， 当 x=3 时， y=8 3+4=28. 当购买
9、3 千克这种苹果分三次分别购买 1 千克时，所花钱为： 10 3=30(元 )， 30-28=2(元 ). 则一次购买 3 千克这种苹果比分三次每次购买 1 千克这种苹果可节省 2 元 . 答案： 2 15.定义运算“ *”，规定 x*y=ax2+by，其中 a、 b 为常数，且 1*2=5， 2*1=6，则 2*3= . 解析 ： 根据题中的新定义化简已知等式得： 2546abab，解得： 12ab，则 2*3=4a+3b=4+6=10. 答案： 10 16.如图， AOB=30，点 M、 N 分别在边 OA、 OB 上，且 OM=1， ON=3，点 P、 Q 分别在边 OB、OA 上，则
10、MP+PQ+QN 的最小值是 . 解析 ： 作 M 关于 OB 的对称点 M，作 N 关于 OA 的对称点 N， 连接 M N，即为 MP+PQ+QN 的最小值 . 根据轴对称的定义可知： N OQ= M OB=30， ONN =60， ONN为等边三角形， OMM为等边三角形， N OM =90，在 Rt M ON中， M N = 223 1 10 . 答案： 10 三、解答题 (共 8 小题，共 72 分 )下列各题解答应写出文字说明，证明过程或演算过程 . 17.已知一次函数 y=kx+3 的图象经过点 (1， 4). (1)求这个一次函数的解析式； (2)求关于 x 的不等式 kx+3
11、 6 的解集 . 解析 ： (1)把 x=1， y=4 代入 y=kx+3，求出 k 的值是多少，即可求出这个一次函数的解析式 . (2)首先把 (1)中求出的 k 的值代入 kx+3 6，然后根据一元一次不等式的解法，求出关于 x的不等式 kx+3 6 的解集即可 . 答案： (1)一次函数 y=kx+3 的图象经过点 (1， 4)， 4=k+3， k=1，这个一次函数的解析式是： y=x+3. (2) k=1， x+3 6， x 3，即关于 x 的不等式 kx+3 6 的解集是： x 3. 18.如图，点 B、 C、 E、 F 在同一直线上， BC=EF， AC BC 于点 C， DF E
12、F 于点 F， AC=DF.求证： (1) ABC DEF； (2)AB DE. 解析 ： (1)由 SAS 容易证明 ABC DEF； (2)由 ABC DEF，得出对应角相等 B= DEF，即可得出结论 . 答案： (1) AC BC 于点 C， DF EF 于点 F， ACB= DFE=90， 在 ABC 和 DEF 中，B C E FA C B D F EA C D F ， ABC DEF(SAS). (2) ABC DEF， B= DEF， AB DE. 19.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为 1， 2， 3， 4. (1)随机摸取一个小球，直接写出“摸出的小球
13、标号是 3”的概率； (2)随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，直接写出下列结果： 两次取出的小球一个标号是 1，另一个标号是 2 的概率； 第一次取出标号是 1 的小球且第二次取出标号是 2 的小球的概率 . 解析 ： (1)由一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为 1， 2， 3， 4 直接利用概率公式求解即可求得答案； (2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出的小球一个标号是 1，另一个标号是 2 的情况，再利用概率公式求解即可求得答案； 由树状图即可求得第一次取出标号是 1 的小球且第二次取出标号是 2 的小球的情况，再利用概率
14、公式求解即可求得答案 . 答案： (1)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为 1， 2， 3， 4， 随机摸取一个小球，直接写出“摸出的小球标号是 3”的概率为： 14； (2)画树状图得： 则共有 16 种等可能的结果； 两次取出的小球一个标号是 1，另一个标号是 2 的有 2 种情况， 两次取出的小球一个标号是 1，另一个标号是 2 的概率为： 2116 8； 第一次取出标号是 1 的小球且第二次取出标号是 2 的小球的只有 1 种情况， 第一次取出标号是 1 的小球且第二次取出标号是 2 的小球的概率为： 116. 20.如图，已知点 A(-4， 2)， B(-1， -
15、2)，平行四边形 ABCD 的对角线交于坐标原点 O. (1)请直接写出点 C、 D 的坐标； (2)写出从线段 AB 到线段 CD 的变换过程； (3)直接写出平行四边形 ABCD 的面积 . 解析 ： (1)利用中心对称图形的性质得出 C， D 两点坐标； (2)利用平行四边形的性质以及结合平移的性质得出即可； (3)利用 SABCD 的可以转化为边长为； 5 和 4 的矩形面积，进而求出即可 . 答案： (1)四边形 ABCD 是平行四边形，四边形 ABCD 关于 O 中心对称， A(-4， 2)， B(-1， -2)， C(4， -2)， D(1， 2). (2)线段 AB 到线段 C
16、D 的变换过程是：绕点 O 旋转 180 . (3)由 (1)得： A 到 y 轴距离为： 4， D 到 y 轴距离为： 1， A 到 x 轴距离为： 2， B 到 x 轴距离为： 2， S 平行四边形 ABCD的可以转化为边长为； 5 和 4 的矩形面积， S 平行四边形 ABCD=5 4=20. 21.如图， AB 是 O 的直径， ABT=45， AT=AB. (1)求证： AT 是 O 的切线； (2)连接 OT 交 O 于点 C，连接 AC，求 tan TAC. 解析 ： (1)根据等腰三角形的性质求得 TAB=90，得出 TA AB，从而证得 AT 是 O 的切线； (2)作 CD
17、 AT 于 D，设 OA=x，则 AT=2x，根据勾股定理得出 OT= 5 x， TC=( 5 -1)x，由 CD AT， TA AB 得出 CD AB，根据平行线分线段成比例定理得出 C D TC TDO A O T TA，即 51 25xC D T Dxxx，从而求得 CD=(1- 55)x， AD=2x-2(1- 55)x=255x，然后解正切函数即可求得 . 答案： (1) ABT=45， AT=AB. TAB=90， TA AB， AT 是 O 的切线； (2)作 CD AT 于 D， TA AB， TA=AB=2OA， 设 OA=x，则 AT=2x， OT= 5 x， TC=( 5
18、 -1)x， CD AT， TA AB， CD AB， C D TC TDO A O T TA，即 5125xC D T Dxxx， CD=(1- 55)x， TD=2(1- 55)x， AD=2x-2(1- 55)x=255x， tan TAC=515 512255xCDADx . 22.已知锐角 ABC 中，边 BC 长为 12，高 AD 长为 8. (1)如图，矩形 EFGH 的边 GH 在 BC 边上，其余两个顶点 E、 F 分别在 AB、 AC 边上， EF 交 AD于点 K. 求 EFAK的值； 设 EH=x，矩形 EFGH 的面积为 S，求 S 与 x的函数关系式，并求 S的最大
19、值； (2)若 AB=AC，正方形 PQMN 的两个顶点在 ABC 一边上，另两个顶点分别在 ABC 的另两边上，直接写出正方形 PQMN 的边长 . 解析： (1)根据 EF BC，可得 AK EFAD BC，所以 EF BCAK AD，据此求出 EFAK的值是多少即可 . 首先根据 EH=x，求出 AK=8-x，再根据 32EFAK，求出 EF 的值；然后根据矩形的面积公式，求出 S 与 x 的函数关系式，利用配方法，求出 S 的最大值是多少即可 . (2)根据题意，设正方形的边长为 a，分两种情况：当正方形 PQMN 的两个顶点在 BC 边上时；当正方形 PQMN 的两个顶点在 AB 或
20、 AC 边上时；分类讨论，求出正方形 PQMN 的边长各是多少即可 . 答案： (1) EF BC， AK EFAD BC， 1 2 382E F B CA K A D ，即 EFAK的值是 32. EH=x， KD=EH=x， AK=8-x， EFAK=32， EF=32(8-x)， S=EH EF=32x(8-x)=-32(x-4)2+24，当 x=4 时， S 的最大值是 24. (2)设正方形的边长为 a， 当正方形 PQMN 的两个顶点在 BC 边上时， 8812aa ，解得 a=245. 当正方形 PQMN 的两个顶点在 AB 或 AC 边上时， AB=AC， AD BC， BD=
21、CD=12 2=6， AB=AC= 2 2 2 268A D B D =10， AB 或 AC 边上的高等于： AD BCAB =81210 =485 48 485510aa ，解得 a=24049 . 综上，可得正方形 PQMN 的边长是 245或 24049. 23. 如图， ABC 中，点 E、 P 在边 AB 上，且 AE=BP，过点 E、 P作 BC 的平行线，分别交 AC于点 F、 Q，记 AEF 的面积为 S1，四边形 EFQP 的面积为 S2，四边形 PQCB 的面积为 S3. (1)求证： EF+PQ=BC； (2)若 S1+S3=S2，求 PEAE的值； (3)若 S3-S
22、1=S2，直接写出 PEAE的值 . 解析： (1)由平行线得出比例式 EF AEBC AB， PQ APBC AB，证出 AP=BE，得出 EF PQBC BC=1，即可得出 EF+PQ=BC； (2)过点 A 作 AH BC 于 H，分别交 PQ于 M、 N，设 EF=a， PQ=b， AM=h，则 BC=a+b，由平行线得出 AEF APQ，得出 AM EFAN PQ，得出 AN=bah， MN=(ba-1)h， 由三角形的面积公式得出 S1=12ah， S2=12(a+b)(ba-1)h， S3=12(b+a+b)h，得出 12ah+12(a+b+b)h=12(a+b)(ba-1)h，
23、求出 b=3a，即可得出结果； (3)由题意得出 12(a+b+b)h-12ah=12 (a+b)(ba -1)h，得出 b=(1+ 2 )a，即可得出结果 . 答案： (1) EF BC， PQ BC， EF AEBC AB， PQ APBC AB， AE=BP， AP=BE， EF PQBC BC= AE BEAB AB=1， EF PQBC=1， EF+PQ=BC. (2)过点 A 作 AH BC 于 H，分别交 PQ 于 M、 N，如图所示： 设 EF=a， PQ=b， AM=h，则 BC=a+b， EF PQ， AEF APQ， AM EFAN PQ， AN=bah， MN=(ba-
24、1)h， S1=12ah， S2=12(a+b)(ba-1)h， S3=12(b+a+b)h， S1+S3=S2， 12ah+12(a+b+b)h=12(a+b)(ba-1)h，解得： b=3a， PQAE=3， PEAE=2. (3) S3-S1=S2， 12(a+b+b)h-12ah=12(a+b)(ba-1)h， 解得： b=(1 2 )a(负值舍去 )， b=(1+ 2 )a， PQAE=1+ 2 ， PEAE= 2 . 24.已知抛物线 y=12x2+c 与 x 轴交于 A(-1， 0)， B 两点，交 y 轴于点 C. (1)求抛物线的解析式； (2)点 E(m， n)是第二象限内
25、一点，过点 E 作 EF x 轴交抛物线于点 F，过点 F作 FG y 轴于点 G，连接 CE、 CF，若 CEF= CFG.求 n 的值并直接写出 m 的取值范围 (利用图 1 完成你的探究 ). (3)如图 2，点 P 是线段 OB 上一动点 (不包括点 O、 B)， PM x 轴交抛物线于点 M， OBQ=OMP， BQ 交直线 PM 于点 Q，设点 P 的横坐标为 t，求 PBQ的周长 . 解析： (1)将点 A 的坐标代入抛物线解析式即可求得 c 的值，则可得抛物线解析式； (2)过点 C 作 CH EF 于点 H，易证 EHC FGC，再根据相似三角形的性质可得 n 的值； (3)
26、首先表示出点 P 的坐标，再根据 OPM QPB，然后由对应边的比值相等得出 PQ和 BQ的长，从而可得 PBQ 的周长 . 答案： (1)把 A(-1， 0)代入 y=12x2+c 得 c=-12，抛物线解析式为 y=12x2-12. (2)如图 1，过点 C 作 CH EF 于点 H， CEF= CFG， FG y 轴于点 G， EHC FGC， E(m， n)， F(m， 12m2-12)， 又 C(0， -12)， EH=n+12， CH=-m， FG=-m， CG=12m2， 又 EH FGCH CG，则21212n mm m ， n+12 =2， n=32 (-2 m 0). (3)由题意可知 P(t， 0)， M(t， 12t2-12)， PM x 轴交抛物线于点 M， OBQ= OMP， OPM QPB. OP PQPM PB. 其中 OP=t， PM=12-12t2， PB=1-t， PQ= 21tt.BQ= 222 11tP B P Q t ， PQ+BQ+PB= 22111tt+1-t=2. PBQ 的周长为 2.
