1、2014 年河北省中考真题数学 一、选择题 (共 16 小题， 16 小题，每小题 2 分； 716 小题，每小题 2 分，共 42 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1.(2 分 )-2 是 2 的 ( ) A. 倒数 B. 相反数 C. 绝对值 D. 平方根 解析： -2 是 2 的相反数， 答案： B. 2.(2 分 )如图， ABC 中， D， E 分别是边 AB， AC 的中点 .若 DE=2，则 BC=( ) A.2 B. 3 C. 4 D. 5 解析： D ， E 分别是边 AB， AC 的中点， DE 是 ABC 的中位线， BC=2DE=22=4 .
2、 答案： C. 3.(2 分 )计算： 852-152=( ) A. 70 B. 700 C. 4900 D. 7000 解析： 原式 =(85+15)(85-15)=10070=7000 . 答案： D. 4.(2 分 )如图，平面上直线 a， b 分别过线段 OK 两端点 (数据如图 )，则 a， b 相交所成的锐角是 ( ) A. 20 B. 30 C. 70 D. 80 解析： a， b 相交所成的锐角 =100 -70=30 . 答案： B. 5.(2 分 )a， b 是两个连续整数，若 a b，则 a， b 分别是 ( ) A. 2， 3 B. 3， 2 C. 3， 4 D. 6，
3、 8 解析： ， 答案： A. 6.(2 分 )如图，直线 l 经过第二、三、四象限， l 的解析式是 y=(m-2)x+n，则 m 的取值范围在数轴上表示为 ( ) A. B. C. D. 解析： 直线 y=(m-2)x+n 经过第二、三、四象限， m -2 0 且 n 0， m 2 且 n 0. 答案： C. 7.(3 分 )化简： - =( ) A. 0 B. 1 C. x D. 解析： 原式 = =x. 答案： C 8.(3 分 )如图，将长为 2、宽为 1 的矩形纸片分割成 n 个三角形后，拼成面积为 2 的正方形，则 n ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解析： 如图
4、所示：将长为 2、宽为 1 的矩形纸片分割成 n 个三角形后，拼成面积为 2 的正方形，则 n 可以为： 3， 4， 5，故 n2 . 答案： A. 9.(3 分 )某种正方形合金板材的成本 y(元 )与它的面积成正比，设边长为 x 厘米 .当 x=3 时，y=18，那么当成本为 72 元时，边长为 ( ) A. 6 厘米 B. 12 厘米 C. 24 厘米 D. 36 厘米 解析： 设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx2，由题意，得 18=9k， 解得： k=2， y=2x 2， 当 y=72 时， 72=2x2， x=6 . 答案： A. 10.(3 分 )如图 1 是边长为 1
5、的六个小正方形组成的图形，它可以围成图 2 的正方体，则图 1中小正方形顶点 A， B 围成的正方体上的距离是 ( ) A. 0 B. 1 C. D. 解析： AB 是正方体的边长， AB=1， 答案： B. 11.(3 分 )某小组做 “ 用频率估计概率 ” 的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是 ( ) A. 在 “ 石头、剪刀、布 ” 的游戏中，小明随机出的是 “ 剪刀 ” B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C. 暗箱中有 1 个红球和 2 个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 D. 掷一
6、个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是 4 解析： A、在 “ 石头、剪刀、布 ” 的游戏中，小明随机出的是 “ 剪刀 “ 的概率为 ，故此选项错误； B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是： = ；故此选项错误； C、暗箱中有 1个红球和 2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为 ，故此选项错误； D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是 4 的概率为 0.17 ，故此选项正确 . 答案： D. 12.(3 分 )如图，已知 ABC (AC BC)，用尺规在 BC 上确定一点 P，使 PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是 (
7、) A. B. C. D. 解析： D 选项中作的是 AB 的中垂线， PA=PB ， PB+PC=BC ， PA+PC=BC 答案： D. 13.(3 分 )在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为 3、 4、 5 的三角形按图 1 的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为 1，则新三角形与原三角形相似 . 乙：将邻边为 3和 5 的矩形按图 2 的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似 . 对于两人的观点，下列说法正确的是 ( ) A. 两人都对 B. 两人都不对 C. 甲对，乙不对 D. 甲不对，乙对 解析： 甲：根据题意得： A
8、BAB ， ACAC ， BCBC ， A=A ， B=B ， ABCABC ， 甲说法正确； 乙： 根据题意得： AB=CD=3， AD=BC=5，则 AB=CD=3+2=5 ， AD=BC=5+2=7 ， ， ， ， 新矩形与原矩形不相似 . 乙说法正确 . 答案： A. 14.(3 分 )定义新运算： ab= 例如： 45= ， 4 (-5)= .则函数y=2x (x0 )的图象大致是 ( ) A. B. C. D. 解析： 由题意得： y=2x= ， 当 x 0 时，反比例函数 y= 在第一象限，当 x 0 时，反比例函数 y=- 在第二象限， 又因为反比例函数图象是双曲线，因此 D
9、选项符合 . 答案： D. 15.(3 分 )如图，边长为 a 的正六边形内有两个三角形 (数据如图 )，则 =( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析： 如图， 三角形的斜边长为 a， 两条直角边长为 a， a， S 空白 = a a= a2， AB=a ， OC= a， S 正六边形 =6 a a= a2， S 阴影 =S 正六边形 -S 空白 = a2- a2= a2， = =5， 答案： C. 16.(3 分 )五名学生投篮球，规定每人投 20 次，统计他们每人投中的次数 .得到五个数据 .若这五个数据的中位数是 6.唯一众数是 7，则他们投中次数的总和可能是 ( ) A.
10、 20 B. 28 C. 30 D. 31 解析： 中位数是 6.唯一众数是 7， 则最大的三个数的和是： 6+7+7=20，两个较小的数一定是小于 5 的非负整数，且不相等， 则五个数的和一定大于等于 21 且小于等于 29. 答案： B. 二、填空题 (共 4 小题，每小题 3 分，满分 12分 ) 17.(3 分 )计算： = . 解析： =2 =2. 答案： 2. 18.(3 分 )若实数 m， n 满足 |m-2|+(n-2014)2=0，则 m-1+n0= . 解析： |m-2|+(n-2014)2=0， m-2=0， n-2014=0， m=2， n=2014. m-1+n0=2
11、-1+20140= +1= ， 答案 ： . 19.(3 分 )如图，将长为 8cm 的铁丝尾相接围成半径为 2cm 的扇形 .则 S 扇形 = cm2. 解析： 由题意知，弧长 =8cm-2cm2=4 cm ，扇形的面积是 4cm2cm=4cm 2， 答案 ： 4. 20.(3 分 )如图，点 O， A 在数轴上表示的数分别是 0， 0.1. 将线段 OA 分成 100 等份，其分点由左向右依次为 M1， M2， ， M99； 再将线段 OM1，分成 100 等份，其分点由左向右依次为 N1， N2， ， N99； 继续将线段 ON1分成 100 等份，其分点由左向右依次为 P1， P2.
12、， P99. 则点 P37所表示的数用科学记数法表示为 . 解析： M1表示的数为 0.1 =10-3， N1表示的数为 10 -3=10-5， P1表示的数为 10-5 =10-7， P37=3710 -7=3.710 -6. 答案 ： 3.710 -6. 三、解答题 (共 6 小题，满分 66 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 21.(10 分 )嘉淇同学用配方法推导一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0 )的求根公式时，对于b2-4ac 0 的情况，她是这样做的： 由于 a0 ，方程 ax2+bx+c=0 变形为： x2+ x=- ， 第一步 ， x2+ x+( )2=-
13、 +( )2， 第二步 ， (x+ )2= ， 第三步 ， x+ = (b2-4ac 0)， 第四步 ， x= ， 第五步 ， 嘉淇的解法从第 步开始出现错误；事实上，当 b2-4ac 0 时，方程 ax2+bx+c=0(aO )的求根公式是 . 用配方法解方程： x2-2x-24=0. 解析： 第四步，开方时出错；把常数项 24 移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数 -2的一半的平方 . 答案 ：在第四步中，开方应该是 x+ = . 所以求根公式为： x= . 答案：四； x= ； 用配方法解方程： x2-2x-24=0 解：移项，得 x2-2x=24， 配方，得 x2-2x+1=24+
14、1，即 (x-1)2=25， 开方得 x-1=5 ， x 1=6， x2=-4. 22.(10 分 )如图 1， A， B， C 是三个垃圾存放点，点 B， C 分别位于点 A 的正北和正东方向，AC=100 米 .四人分别测得 C 的度数如下表： 他们又调查了各点的垃圾量，并绘制了下列尚不完整的统计图 2，图 3： (1)求表中 C 度数的平均数 ： (2)求 A 处的垃圾量，并将图 2 补充完整； (3)用 (1)中的 作为 C 的度数，要将 A 处的垃圾沿道路 AB 都运到 B 处，已知运送 1 千克垃圾每米的费用为 0.005 元，求运垃圾所需的费用 .(注： sin37=0.6 ，
15、cos37=0.8 ，tan37=0.75 ) 解析： (1)利用平均数求法进而得出答案； (2)利用扇形统计图以及条形统计图可得出 C 处垃圾量以及所占百分比，进而求出垃圾总量，进而得出 A 处垃圾量； (3)利用锐角三角函数得出 AB 的长，进而得出运垃圾所需的费用 . 答案 ： (1) = =37； (2)C 处垃圾存放量为： 320kg，在扇形统计图中所占比例为： 50%， 垃圾总量为： 32050%=640(kg) ， A 处垃圾存放量为： (1-50%-37.5%)640=80(kg) ，占 12.5%. 补全条形图如下： (3)AC=100 米， C=37 ， tan37= ，
16、AB=ACtan37=1000.75=75(m) ， 运送 1千克垃圾每米的费用为 0.005元， 运垃圾所需的费用为： 75800.005=30( 元 )， 答：运垃圾所需的费用为 30 元 . 23.(11 分 )如图， ABC 中， AB=AC， BAC=40 ，将 ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 100 .得到 ADE ，连接 BD， CE 交于点 F. (1)求证： ABDACE ； (2)求 ACE 的度数； (3)求证：四边形 ABEF 是菱形 . 解析： (1)根据旋转角求出 BAD=CAE ，然后利用 “ 边角边 ” 证明 ABD 和 ACE 全等 . (2)根据全等三角
17、形对应角相等，得出 ACE=ABD ，即可求得 . (3)根据对角相等的四边形是平行四边形，可证得四边形 ABEF 是平行四边形，然后依据邻边相等的平行四边形是菱形，即可证得 . 答案 ： (1)ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 100 ， BAC=DAE=40 ， BAD=CAE=100 ， 又 AB=AC ， AB=AC=AD=AE ， 在 ABD 与 ACE 中 ， ABDACE(SAS). (2)CAE=100 ， AC=AE， ACE= (180 -CAE)= (180 -100)=40 ； (3)BAD=CAE=140AB=AC=AD=AE ， ABD=ADB=ACE=AEC=2
18、0. BAE=BAD+DAE=160 ， BFE=360 -DAE -ABD -AEC=160 ， BAE=BFE ， 四边形 ABEF 是平行四边形， AB=AE ， 平行四边形 ABEF 是菱形 . 24.(11 分 )如图， 22 网格 (每个小正方形的边长为 1)中有 A， B， C， D， E， F， G、 H， O 九个格点 .抛物线 l 的解析式为 y=(-1)nx2+bx+c(n 为整数 ). (1)n 为奇数，且 l 经过点 H(0， 1)和 C(2， 1)，求 b， c 的值，并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点； (2)n 为偶数，且 l 经过点 A(1， 0)和 B(2，
19、 0)，通过计算说明点 F(0， 2)和 H(0， 1)是否在该抛物线上； (3)若 l 经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足这样条件的抛物线条数 . 解析： (1)根据 -1 的奇数次方等于 -1，再把点 H、 C 的坐标代入抛物线解析式计算即可求出 b、c 的值，然后把函数解析式整理成顶点式形式，写出顶点坐标即可； (2)根据 -1 的偶数次方等于 1，再把点 A、 B 的坐标代入抛物线解析式计算即可求出 b、 c的值，从而得到函数解析式，再根据抛物线上点的坐标特征进行判断； (3)分别利用 (1)(2)中的结论，将抛物线平移，可以确定抛物线的条数 . 答案 ： (1)n 为奇数时，
20、y=-x2+bx+c， l 经过点 H(0， 1)和 C(2， 1)， ，解得 ， 抛物线解析式为 y=-x2+2x+1， y=-(x-1)2+2， 顶点为格点 E(1， 2)； (2)n 为偶数时， y=x2+bx+c， l 经过点 A(1， 0)和 B(2， 0)， ，解得 ， 抛物线解析式为 y=x2-3x+2， 当 x=0 时， y=2， 点 F(0， 2)在抛物线上，点 H(0， 1)不在抛物线上； (3)所有满足条件的抛物线共有 8 条 . 当 n 为奇数时，由 (1)中的抛物线平移又得到 3 条抛物线，如答图 3-1 所示 ； 当 n 为偶数时，由 (2)中的抛物线平移又得到 3
21、 条抛物线，如答图 3-2 所示 . 25.(11 分 )图 1 和图 2 中，优弧 所在 O 的半径为 2， AB=2 .点 P 为优弧 上一点 (点P 不与 A， B 重合 )，将图形沿 BP 折叠，得到点 A 的对称点 A . (1)点 O 到弦 AB 的距离是 1 ，当 BP 经过点 O 时， ABA= 60 ； (2)当 BA 与 O 相切时，如图 2，求折痕的长： (3)若线段 BA 与优弧 只有一个公共点 B，设 ABP= .确定 的取值范围 . 解析： (1)利用垂径定理和勾股定理即可求出点 O 到 AB 的距离；利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出 ABA. (2)根据切
22、线的性质得到 OBA=90 ，从而得到 ABA=120 ，就可求出 ABP ，进而求出 OBP=30. 过点 O 作 OGBP ，垂足为 G，容易求出 OG、 BG 的长，根据垂径定理就可求出折痕的长 . (3)根据点 A 的位置不同，分点 A 在 O 内和 O 外两种情况进行讨论 .点 A 在 O 内时，线段 BA 与优弧 都只有一个公共点 B， 的范围是 0 30 ；当点 A 在 O 的外部时，从 BA 与 O 相切开始 ，以后线段 BA 与优弧 都只有一个公共点 B， 的范围是60 120. 从而得到：线段 BA 与优弧 只有一个公共点 B时， 的取值范围是 0 30 或 60 120.
23、 答案 ： (1) 过点 O 作 OHAB ，垂足为 H，连接 OB，如图 1 所示 . OHAB ， AB=2 ， AH=BH= . OB=2 ， OH=1. 点 O 到 AB 的距离为 1. 当 BP 经过点 O 时，如图 1 所示 . OH=1 ， OB=2， OHAB ， sinOBH= = .OBH=30. 由折叠可得： ABP=ABP=30.A BA=60. (2)过点 O 作 OGBP ，垂足为 G，如图 2 所示 . BA 与 O 相切， OBAB.OBA=90. OBH=30 ， ABA=120.ABP=ABP=60.OBP=30. OG= OB=1.BG= . OGBP ，
24、 BG=PG= .BP=2 . 折痕的长为 2 . (3)若线段 BA 与优弧 只有一个公共点 B， . 当点 A 在 O 的内部时，此时 的范围是 0 30. . 当点 A 在 O 的外部时，此时 的范围是 60 120. 综上所述：线段 BA 与优弧 只有一个公共点 B 时， 的取值范围是 0 30 或60 120. 26.(13 分 )某景区内的环形路是边长为 800 米的正方形 ABCD，如图 1 和图 2.现有 1 号、 2号两游览车分别从出口 A 和景点 C 同时出发， 1 号车顺时针、 2 号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车 (上、下车的时间忽略不计 )，两车速度
25、均为 200 米 /分 . 探究：设行驶吋间为 t 分 . (1)当 0t8 时，分别写出 1 号车、 2 号车在左半环线离出口 A 的路程 y1， y2(米 ) 与 t(分 )的函数关系式，并求出当两车相距的路程是 400 米时 t 的值； (2)t 为何值时， 1 号车第三次恰好经过景点 C？并直接写出这一段时间内它与 2 号车相遇过的次数 . 发现：如图 2，游客甲在 BC 上的一点 K(不与点 B， C 重合 )处候车，准备乘车到出口 A，设CK=x 米 . 情况一：若他刚好错过 2 号车，便搭乘即将到来的 1 号车； 情况二：若他刚好错过 1 号车，便搭乘即将到来的 2 号车 . 比
26、较哪种情况用时较多？ (含候车时间 ) 决策：己知游客乙在 DA 上从 D 向出口 A 走去 .步行的速度是 50 米 /分 .当行进到 DA 上一点 P (不与点 D， A 重合 )时，刚好 与 2 号车迎面相遇 . (1)他发现，乘 1 号车会比乘 2 号车到出口 A 用时少，请你简要说明理由： (2)设 PA=s(0 s 800)米 .若他想尽快到达出口 A，根据 s 的大小，在等候乘 1 号车还是步行这两种方式中 .他该如何选择？ 解析： 探究： (1)由路程 =速度 时间就可以得出 y1， y2(米 ) 与 t(分 )的函数关系式，再由关系式就可以求出两车相距的路程是 400 米时
27、t 的值； (2)求出 1 号车 3 次经过 A 的路程，进一步求出行驶的时间，由两车第一次相遇后每相遇一次需要的时间就可以求出相遇次数； 发现：分别计算出情况一的用时和情况二的用时，在进行大小比较就可以求出结论 决策： (1)根据题意可以得出游客乙在 AD 上等待乘 1 号车的距离小于边长，而成 2 号车到 A出口的距离大于 3 个边长，进而得出结论； (2)分类讨论，若步行比乘 1 号车的用时少，就有 ，得出 s 320.就可以分情况得出结论 . 答案 ：探究： (1)由题意，得 y1=200t， y2=-200t+1600 当相遇前相距 400 米时， -200t+1600-200t=4
28、00， t=3， 当相遇后相距 400 米时， 200t-(-200t+1600)=400， t=5. 答：当两车相距的路程是 400 米时 t 的值为 3 分钟或 5分钟； (2)由题意，得 1 号车第三次恰好经过景点 C 行驶的路程为： 8002+80042=8000 ， 1 号车第三次经过景点 C 需要的时间为： 8000200=40 分钟， 两车第一次相遇的时间为： 1600400=4. 第一次相遇后两车每相遇一次需要的时间为： 8004400=8 ， 两车相遇的次数为： (40-4)8+1=5 次 . 这一段时间内它与 2 号车相遇的次数为： 5 次； 发现：由题意，得 ： 情况一需要时间为： =16- ， 情况二需要的时间为： =16+ 16 - 16+ 情况二用时较多 . 决策： (1) 游客乙在 AD 边上与 2 号车相遇， 此时 1 号车在 CD 边上， 乘 1 号车到达 A 的路程小于 2 个边长，乘 2号车的路程大于 3个边长， 乘 1 号车的用时比 2 号车少 . (2)若步行比乘 1 号车的用时少， ， s 320. 当 0 s 320 时，选择步行 . 同理可得 ： 当 320 s 800 时，选择乘 1 号车， 当 s=320 时，选择步行或乘 1 号车一样 .
