1、考研数学（数学三）-试卷 104及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2. （分数：2.00）A.B.C.D.3.设函数 f(u)可导，yf(x 2 )当自变量 x在 x1 处取得增量x01 时，相应的函数增量y 的线性主部为 01，则 f(1)( )（分数：2.00）A.1B.01C.1D.054.设函数 f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.微分方程 2yy(y) 2 的通解为( )（分数：2.00）A.
2、y(xc) 2B.yc 1 (x1) 2C.yc 1 (xc) 2D.yc 1 (xc 2 ) 26.设 A是 n阶实对称矩阵，P 是 n阶可逆矩阵，已知 n维列向量 是 A的属于特征值 的特征向量，则矩阵 P 1 AP属于特征值 的特征向量是( )（分数：2.00）A.P 1 B.P T C.PD.(P 1 ) T 7.设 A为三阶方阵，A 1 ，A 2 ，A 3 表示 A中三个列向量，则A( )（分数：2.00）A.A3，A2，AB.A 1 A 2 ，A 2 A 3 ，A 3 A 1 C.A 1 ，A 2 ，A 3 D.A 1 ，A 1 A 2 ，A 1 A 2 A 3 8.设 X 1 ，
3、X 2 为来自正态总体 N(， 2 )的样本，则 X 1 X 2 与 X 1 X 2 必( )（分数：2.00）A.线性相关B.不相关C.相关但非线性相关D.不独立9.设 X，Y 是相互独立的随机变量，其分布函数分别为 F Y (x)、F Y (y)，则 Zmin(X，Y)的分布函数是( )（分数：2.00）A.F Z (z)maxF X (x)，F Y (y)B.F Z (z)minF X (x)，F Y (y)C.F Z (z)l1F X (x)1F Y (Y)D.F Z (z)F Y (y)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10. （分数：2.00）填空项 1:_11. （分数：
4、2.00）填空项 1:_12. （分数：2.00）填空项 1:_13. （分数：2.00）填空项 1:_14.设 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 AXb 的三个解向量，r(A)3，且 1 2 （分数：2.00）填空项 1:_15.若随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布于 N(，2 2 )，则根据切比雪夫不等式得 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17. （分数：2.00）_18. （分数：2.00）_19.设生产某种产品必须投入两种要素，x 1 和 x
5、2 分别为两要素的投入量，Q 为产出量，若生产函数为Q2x 1 x 2 ，其中 ， 为正常数，且 =1假设两种要素的价格分别为 1 和 2 ，试问：当产出量为 12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小?（分数：2.00）_20.设 f(x)车区间0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)f(1)0，f(12)1，试证：(I)存在(12，1)，使 f()；()对任意实数 ，必存在 (0，)，使得 f()f()1（分数：2.00）_21. （分数：2.00）_22.设 A为 3阶矩阵，。， 为 A的分别属于特征值1，1 的特征向量，向量 满足 A 3 2 3 ， (I)证明 1 ， 2
6、， 3 线性无关； ()令 P( 1 1， 2 ， 3 )，求 P 1 AP（分数：2.00）_23.已知对于 n阶方阵 A，存在自然数 k，使得 A k 0，试证明矩阵 EA 可逆，并求出逆矩阵的表达式(E为 n阶单位矩阵)（分数：2.00）_24.设有来自三个地区的各 10名、15 名和 25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3份、7 份和 5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份(I)求先抽到的一份是女生的概率 p；()已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 q（分数：2.00）_25. （分数：2.00）_考研数学（数学三）-试卷 104答案解析(总分：5
7、0.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2. （分数：2.00）A. B.C.D.解析：3.设函数 f(u)可导，yf(x 2 )当自变量 x在 x1 处取得增量x01 时，相应的函数增量y 的线性主部为 01，则 f(1)( )（分数：2.00）A.1B.01C.1D.05 解析：4.设函数 f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：5.微分方程 2yy(y) 2 的通解为( )（分数：2.00）A.y(xc) 2B.yc
8、 1 (x1) 2C.yc 1 (xc) 2 D.yc 1 (xc 2 ) 2解析：6.设 A是 n阶实对称矩阵，P 是 n阶可逆矩阵，已知 n维列向量 是 A的属于特征值 的特征向量，则矩阵 P 1 AP属于特征值 的特征向量是( )（分数：2.00）A.P 1 B.P T C.PD.(P 1 ) T 解析：7.设 A为三阶方阵，A 1 ，A 2 ，A 3 表示 A中三个列向量，则A( )（分数：2.00）A.A3，A2，AB.A 1 A 2 ，A 2 A 3 ，A 3 A 1 C.A 1 ，A 2 ，A 3 D.A 1 ，A 1 A 2 ，A 1 A 2 A 3 解析：8.设 X 1 ，X
9、 2 为来自正态总体 N(， 2 )的样本，则 X 1 X 2 与 X 1 X 2 必( )（分数：2.00）A.线性相关B.不相关 C.相关但非线性相关D.不独立解析：9.设 X，Y 是相互独立的随机变量，其分布函数分别为 F Y (x)、F Y (y)，则 Zmin(X，Y)的分布函数是( )（分数：2.00）A.F Z (z)maxF X (x)，F Y (y)B.F Z (z)minF X (x)，F Y (y)C.F Z (z)l1F X (x)1F Y (Y) D.F Z (z)F Y (y)解析：二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10. （分数：2.00）填空项 1:_
10、（正确答案：正确答案： ）解析：11. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：12. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：13. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：14.设 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 AXb 的三个解向量，r(A)3，且 1 2 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：15.若随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布于 N(，2 2 )，则根据切比雪夫不等式得 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：三、解答
11、题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设生产某种产品必须投入两种要素，x 1 和 x 2 分别为两要素的投入量，Q 为产出量，若生产函数为Q2x 1 x 2 ，其中 ， 为正常数，且 =1假设两种要素的价格分别为 1 和 2 ，试问：当产出量为 12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知，本题要求的是总费用 P 1 x 1 p 2 x 2
12、在条件 2x 1 x 2 12 下的最小值，由此应采用拉格朗日乘数法，即令 F(x 1 ，x 2 ，)p 1 x 1 p 2 x 2 (122x 1 x 2 )， )解析：20.设 f(x)车区间0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)f(1)0，f(12)1，试证：(I)存在(12，1)，使 f()；()对任意实数 ，必存在 (0，)，使得 f()f()1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)由题设，引入辅助函数 (x)xf(x)，则 (x)在0，1上连续， )解析：21. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，积分区域 D如右图阴影所示，其在 D 1 为辅助性半
13、圆形区域， )解析：22.设 A为 3阶矩阵，。， 为 A的分别属于特征值1，1 的特征向量，向量 满足 A 3 2 3 ， (I)证明 1 ， 2 ， 3 线性无关； ()令 P( 1 1， 2 ， 3 )，求 P 1 AP（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)假设 1 ， 2 ， 3 ，线性相关，则 3 ，可由 1 ， 2 线性表出，可设 3 k 1 1 k 2 2 ，其中 k 1 ，k 2 不全为 0，否则由等式 A 3 2 3 ，得到 2 0，不符合题设因为 1 ， 2 为矩阵 A的分别属于特征值1，1 的特征向量，所以 A 1 1 ，A 2 2 ，则 A 3 A(k 1 1
14、 k 2 2 )k 1 1 k 2 2 2 k 1 1 k 2 2 )解析：23.已知对于 n阶方阵 A，存在自然数 k，使得 A k 0，试证明矩阵 EA 可逆，并求出逆矩阵的表达式(E为 n阶单位矩阵)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设有来自三个地区的各 10名、15 名和 25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3份、7 份和 5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份(I)求先抽到的一份是女生的概率 p；()已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 q（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
