1、中华人民共和国国家标准工业自动化系统和集成产品数据表达与交换第部分集成通用资源几何与拓扑表达发布实施国家质量技术监督局发布前言本标准等同采用国际标准化组织发布的年月日第版工业自动化和集成产品数据表达与交换系列标准的第部分集成通用资源几何与拓扑表达本标准的主要三个子部分是几何拓扑几何模型其内容主要包括各子部分的基本概念与设定的描述以及各子部分相应模式的类型实体规则与函数的定义本标准的附录和附录为标准的附录附录附录和附录为提示的附录本标准由中华人民共和国机械工业部提出本标准由全国工业自动化系统与集成标准化技术委员会归口本标准起草单位机械部北京机械工业自动化研究所本标准主要起草人林钧永唐勇前言国际标
2、准化组织是一个世界性的国家标准团体成员团体的联合机构国际标准的制订工作通常由技术委员会完成对关心已建立的技术委员会项目的每个成员团体都有权派代表参加该委员会项目的工作与有协作关系的官方和非官方的国际组织也可以参加工作在电气技术标准化的各个方面都与国际电气技术委员会密切合作各技术委员会所采纳的国际标准草案为了投票表决要散发到各成员团体作为国际标准发布至少需要参加投票的成员团体的赞同已由技术委员会工业自动化系统与集成的第分技术委员会工业数据制订在工业自动化系统和集成产品数据表达与交换的总标题下由下述各部分组成第部分概述与基本原理第部分描述方法语言参考手册第部分实现方法交换结构的纯正文编码第部分实现
3、方法标准数据存取接口规范第部分一致性测试方法与框架基本概念第部分一致性测试方法与框架测试实验室与客户的要求第部分集成通用资源产品描述和支持原理第部分集成通用资源几何与拓扑表达第部分集成通用资源表达结构第部分集成通用资源产品结构配置第部分集成通用资源物料第部分集成通用资源可视化显示第部分集成通用资源形变公差第部分集成通用资源工艺结构与特性第部分集成应用资源绘图第部分集成应用资源有限元分析第部分集成应用资源运动学第部分应用协议显式绘图第部分应用协议相关绘图第部分应用协议配置控制设计第部分应用协议钣金模具的规划与设计第部分应用协议印刷电路部件产品的设计数据第部分应用协议加工零件的数控工艺计划在中描述
4、了这个国际标准的结构其各部分的编号反映了它的结构第部分规定了描述法第部分和第部分规定了实现方法第部分和第部分规定了一致性测试方法与框架第部分至第部分规定了集成通用资源第部分至第部分规定了集成应用资源第部分至第部分规定了应用协议如果再发布更多的部分它们的编号也将遵循这个模式附录和附录构成本标准的一个完整部分附录附录和附录仅是提示性的引言是一个计算机可识的产品数据表达与交换的国际标准目的在于提供一个中性机制使之能够独立于任何具体系统去描述整个产品生命周期的产品数据这种描述的特点使它不仅适用于中性文件的交换而且也适合于作为实现和共享产品数据库及编制文档的基础由一系列个部分组织而成每个部分单独发布该国
5、际标准的各个部分都分属下述系列之一描述方法集成资源应用协议抽象测试组实现方式及一致性测试中描述了这些系列的本部分属于集成资源系列本标准主要的三个子部分是几何拓扑几何模型的这一部分规定了适用于几何与拓扑表示的集成资源其主要用途是显式表示产品模型的形状或几何形状这里所给出的形状表示被设计成在到物理文件的映像时便于稳定和有效的通信在第章中几何仅是参数曲线与曲面的几何包括曲线和曲面实体及定义它们所必需的其他实体函数和数据类型一个通用模式已适用于二维和三维几何两者的定义全部几何都定义在一个坐标系中该坐标系的建立作为它表示条目内容的一部分这些概念在第部分中已全部定义第章中的拓扑描述了对象间的相连性关系而不
6、是对象的精确几何形状的描述这一章包括基本拓扑实体和它们的特定子类型在某些情况下这些子类型具有几何的连带关系还包括拓扑实体定义所必需的函数特定的约束函数及数据类型第章的几何模型提供了用于描述三维实体对象精确尺寸和形状的数据通信的基本资源几何形状模型提供形状的完整表示它在许多情况下包括几何与拓扑数据两者这里包括的是实体模型的两个经典类型构造实体几何和边界表示所包括的其他实体很少提供产品几何的完整描述也很少带有一致性约束中华人民共和国国家标准工业自动化系统和集成产品数据表达与交换第部分集成通用资源几何与拓扑表达国家质量技术监督局批准实施范围的这一部分规定了用于产品形状的显式几何与拓扑表达的资源结构其
7、范围由一个理想产品模型显式表示的需要确定利用特征表示的公差和隐含形状超出了本范围第章中的几何与第章中的拓扑都可以独立应用且亦广泛地用于第章的几何形状模型的各种形状此外本标准还规定了限制表示概念的范围其中表示的元素是几何的几何下面所述均属于几何模式的范围之内点矢量参数曲线和参数曲面的定义变换运算符的定义通过坐标值或借助于一个已有曲线或曲面的参数直接定义的点圆锥曲线和初等曲面的定义在参数曲面上定义曲线的定义普通参数样条曲线和曲面的定义复制点曲线和曲面的定义偏置曲线和曲面的定义相交曲线的定义下面所述超出了本标准的范围过程性定义的曲线和曲面的所有其他形式不具有参数表示形式的曲线和曲面任何显式表示形式的
8、直纹面注对于一个直纹面其几何主要取决于边界曲线的参数化和连接两条曲线上的点对的方法然而一个具有样条边界曲线的直纹面总可以用精确的样条曲面实体表示拓扑下面所述均属于拓扑范围之内基本拓扑实体顶点边和面的定义其每一个都带有特定的能够分别与点线面的几何相联的子类型构成路径环壳拓扑结构的基本实体的集合和保证这些结构完整性的约束条件拓扑实体的方向几何形状模型下面所述均属于几何模型模式范围之内描述三维实体对象精确几何形状的数据构造实体几何模型体素与半空间的定义通过扫描运算建立的实体模型流形的边界表示模型保证模型完整性的约束条件表面模型线框模型几何集在新的位置上建立一个实体模型的复制品下面所述超出了本标准的范
9、围非流形的边界表示模型实体模型的空间占用形式诸如八叉树模型等部件与机构引用标准下列标准所包含的条文通过在本标准中引用而构成为本标准的条文本标准出版时所示版本均为有效所有标准都会被修订使用本标准的各方应探讨使用下列标准最新版本的可能性信息处理系统开放系统互连抽象语法记法一规范工业自动化系统和集成产品数据表达与交换第部分概述与基本原理工业自动化系统和集成产品数据表达与交换第部分描述方法语言参考手册工业自动化系统和集成产品数据表达与交换第部分集成通用资源产品描述与支持原理工业自动化系统和集成产品数据表达与交换第部分集成通用资源表达结构定义符号与缩略语定义对于本标准应用了下述定义弧式连通的如果在一个实
10、体域中的任意二点都能通过完全位于该域内的一条曲线连接起来则该实体是弧式连通的轴对称的如果一个实体有一个对称轴使该对象在绕该轴作任何旋转时都保持不变则该实体是轴对称的界标志一个拓扑实体范围的较低维数的拓扑实体面的界是环边的界是顶点边界包含在空间中的域内的数学点的集合该集合在中有一个包含的开球使与之交与闭的维半空间对于中的一个开集合同胚其中该同胚将同胚将移至中的原点注定义为在中的全部数学点的集合且在此开字具有通常的数学意义它与本标准中其他处定义的开曲面无关边界表示实体模型一种几何模型的类型其中实体的大小和形状通过构成它的边界的面边和顶点来定义封闭曲线两端点为同一个点的曲线封闭曲面是一个连通的二维流
11、形它将空间仅分成两个连通部分且其中之一是有限的拓扑实体的完整性由所讨论的实体与定义该实体界所直接或间接引用的全部面边和顶点一起组成的集合连通的等价于弧式连通的连通部分一个域的最大连通子集构造实体几何一种几何建模类型其中实体被定义为对实体模型进行运算的一系列正则布尔运算的结果坐标空间把一组个参数与维空间中的每个点联系起来的参考系曲线一个数学点的集合它是在实线连通子集上定义的一个连续函数在维或维空间中的图像但不是一个简单点循环在一个图中顶点与边交接且使其首末顶点为同一个点的链带有边界的维流形是一个域该域是其维内部与其边界的并维数在一个几何实体的参数空间中独立坐标的个数不需要域的拓扑实体的维数在该实
12、体的定义中规定表或集合的维数是表或集合中元素维数的最大值域在对应一个实体的模型空间中数学点的集合欧拉方程适用于检验对象拓扑一致性的方程与实体拓扑性质相关的各种等式都是从若干众所周知的欧拉特性的不变性推导出来的典型地用作拓扑结构完整性的快速检验违背一个欧拉条件即发出一个不可能对象的信号在本标准中两种特殊情况是重要的即在节中讨论的用于图的欧拉方程以及在节和节中讨论的用于曲面的欧拉方程量度实体域大小的度量这种度量按适当的实体维数的单位进行因此长度面积和体积分别适用于维维和维的情况其中用符号指明量度是必要的有限的当一个实体域中的任何两点间的距离有有限的上界时则该实体是有限的有时称为有界的图的亏格由节注
13、中描述的图的遍历算法在算法上定义的整值的不变量曲面的亏格为生成与所讨论的曲面同胚的曲面而必须加到一个球面上的柄的个数几何建立的对一个坐标空间维护诸几何表示项间关系的一种几何表示项的特性在这个坐标空间中可测量随位置和方向而定的几何表示项上的点的坐标值和方向几何相关的在同一环境下两个几何表示项间的关系利用这种关系可定义几何表示项间距离和方向的概念几何坐标系全部几何都须参照的做为基础的全局直角笛卡尔坐标系图顶点与边的集合本标准中所讨论的图在技术文件中通常称为伪图因为它允许自环也允许相同两顶点连接多个边柄区别圆环面与球面的结构它可视为在一个曲面中连接两个孔的柱状管同胚的如果存在一个从到的一一对应的连续
14、函数使逆函数存在且当也连续时则域和是同胚的内侧如果在同一个欧几里德空间中包含有两个域和且把分成两个连通的部分其中之一是有限的且包含在有限部分中则称域在域的内侧内部在中包含的一个维域的维内部是中的数学点的集合在中有一个包含的开球使与之交与中的一个开球是同胚的表可能带有重复元素的一个有序同质元素的集合一个表用封闭的方括号表示如模型空间定义物理对象几何的维或维空间开曲线具有两个不同端点的曲线开曲面一个具有边界但并不封闭的流形即或者是无限的或者是没把空间仅分成两个连通的部分可定向的如果对于一个曲面能够一致连续变化的选择其法线的方向则称该曲面是可定向的注该法线矢量的值并不要求连续变化的选择曲面的切平面可
15、以有不连续的情况重叠当两个实体具有共同的壳面边或顶点时称该两实体为重叠参数范围对于一曲线或曲面的有效参数值的范围参数空间与一条曲线相关联并通过它唯一确定参数化的一维空间或与一个曲面相关联并通过它唯一确定参数化的二维空间方位坐标系与空间中一几何实体方位相关联的一个笛卡尔直角坐标系通常用于描述属性的说明并把唯一的参数化法与曲线和曲面实体联系起来自相交如果在曲线或曲面域中的一个数学点是在该对象参数范围内至少两个点的图像且这两个点的一个位于参数范围的内部则该曲线或曲面是自相交的对于顶点边或面的自相交定义同上注如果曲线或曲面是封闭的则它们不被认为是自相交的自环两端点为同一个顶点的边集合一个无重复元素的元
16、序集空间的维数在坐标空间中定义一个点的位置所需要的参数个数曲面一个数学点的集合它是在平面的一个连通子集上定义的连续函数的图像拓扑方向拓扑实体的方向是从它的属性次序导出的例一个边的拓扑方向是从该边的始顶点到该边的终顶点例一个路径的拓扑方向是沿着边的列出次序导出的符号本标准使用了下述的符号和定义几何与数学符号在表中给出了几何模式中使用的传统数学符号表几何数学符号符号定义纯量矢量矢量的规范化规范化矢量如矢量积叉积纯量积点积转化为参数曲线解析曲线参数曲面解析曲面关于的偏微分关于的偏导数关于的偏导数绝对值或数量或行列式维实空间拓扑符号利用拓扑实体满足精确定义的约束的尝试已实现在很多情况下它们都是通过符号
17、定义的本章描述了为此目的所使用的符号应当指出这里所给出的定义是独立于的定义和用途的拓扑结构有顶点边路径环面和子面和壳它们将分别用和表示必要时这些实体中的某些可采用特殊的形式并通过上标区别这些形式例一个环可以是顶点环边环或多边环这些形式可分别加上标表示为表列出了在拓扑模式中使用的一些符号无向边是一个边类型实体但它不是有向边子类型实体在该实体定义的一些实例中一个拓扑属性可以采用拓扑逻辑对的形式这通常用有向子类型表示为了进行拓扑与拓扑逻辑对间的区别使用了下标例如和或和若干拓扑实体使用一个方向标志用以指明被引用实体与引用实体的方向相同还是相反如果该标志为真则两实体的方向相同为假则被引用实体的方向在概念
18、上与引用实体的方向相反从高层引用实体到低层被引用实体的实体链中常常可能有若干个方向标志相对于高层实体的低层实体的方向可通过方向标志链的非异运算获得例如一个面引用一个环环标志一个环引用一个边边标志一个边引用一条曲线曲线标志则面的面曲线标志由下式给出其中非异运算解释为当两个标志具有相同值时真其真值表定义为由此缩略语本标准使用了下述缩略语边界表示实体模型构造实体几何表拓扑符号定义符号定义顶点单顶点的个数无向边单无向边的个数有向边单有向边的个数边的亏格路径单路径个数路径亏格环单环个数面界单面界的个数边环多边环顶点环表完符号定义环亏格面单面的个数面亏格壳单壳的个数封闭壳开壳顶点壳线壳壳亏格量度类型的实体
19、集类型的实体表几何下面的描述建立了几何模型并标明了必要的外部引用描述注上面所引用的模式可在下述各部分中找到本标准的第章本标准的第章对几何表示项超类型的定义仅需要引用拓扑模式和几何模型模式本模式的图示表示见附录的图至图引言几何模式的研究对象是参数曲线和曲面的几何本标准中定义的表示模式见和几何表示环境提供了定义几何的相关环境这使得在几何上相关的诸项与在独立坐标空间中原有的诸项间能够加以区别具体地说每个几何表示项有一个几何表示环境其中包括把它的坐标空间的欧几里德维数作为一个属性在本章中这个空间的坐标系称为几何坐标系在这个相关环境中假设总的赋予了与长度度量和平面角度量相关的单位全局规则一致的维数保证了
20、在同一个几何表示环境内全部几何表示项具有相同的空间维数该空间的维数是所有几何表示项子类型的一个继承的导出属性基本概念与设定空间维数全部几何都须定义在各轴具有相同单位的右旋笛卡尔直角坐标系中一个公用的模式已用于维和维几何的定义点和方向都以维和维两种方式存在这两种方式的区别仅在于第三个坐标值的有无复杂的几何实体也全部用从中可导出其空间维数的点和方向来定义几何关系作为某个几何表示相关环境的一个表示中的项所包含的全部几何表示项都是几何相关的任何这样的几何表示项在该表示的相关环境中都认为是可以几何建立的在不同中以项的形式出现的几何表示项诸如两点间的距离都不假定其有几何关系存在解析曲线和曲面的参数化这里给
21、出的每一个曲线或曲面都有一个确定的参数化方法在某些情况下定义使用的是参数术语在另一些情况下圆锥曲线和初等曲面定义使用的是几何术语在后者的情况下利用方位坐标系去定义参数化方法是适宜的几何定义仅包含为此所需数据的一部分而不是全部定义方位坐标系的有关数据包含在与每个曲线和曲面实体相关联的轴方位中曲线在中定义的曲线实体包括直线初等圆锥曲线一般的参数多项式曲线以及一些参考性或过程性定义的曲线所有这些曲线都具有定义得很好的参数化方法使得它去修剪一条曲线或利用参数值去标定曲线上的点对于圆锥曲线使用了一种表示法它把它们的几何形状同它们在空间中的方向和位置分开在每一种情况下位置和方向信息都由轴方位实体传递通用的
22、参数曲线用样条曲线实体表示选择这种实体作为对所有类型的多项式和有理参数曲线通信表示的最稳定的形式由于具有适当的属性值和子类型所以样条曲线实体能够表示显式多项式有理贝塞尔或样条诸类型的单跨或样条曲线复合曲线实体提供更复杂的曲线结构其包括在曲线到曲线的过渡点处的连续性信息通信的条件偏置曲线和曲面上的曲线类型都是参照其他几何定义的曲线单独的偏置曲线实体对维和维应用来说是存在的曲面上的曲线实体包括表示两个曲面相交的相交曲线这种曲线可在空间或在两个曲面中的任何一个的参数空间中表示曲面曲面实体支持简单的边界表示法实体建模系统的要求并能够与一般多项式和有理参数曲面通信简单曲面指的是平面球面圆柱面圆锥面圆环面
23、回转曲面和线性延拓曲面与曲线的情况一样所有曲面也都有相联的标准参数化方法在许多情况下根据定义这些曲面是无界的但这里假设它们或者是显式或者是隐式有界的显式定界是由矩形修剪曲面或曲线有界的曲面实体实现的隐式定界要求定义一个面的附加拓扑信息的组合样条曲面实体及其子类型对所有类型的多项式和有理双参数曲面通信提供最全面的能力这个实体利用控制点作为曲面几何表示的最适当的形式偏置曲面实体供比已知曲面作简单的法向偏置所得到曲面的通信使用矩形组合曲面实体提供把不同曲面片连接成矩形网格的基本能力其规定面片与面片之间的连续程度优方式某些几何实体提供多种方法去定义一个几何项的潜在能力这就要求通过推荐一种优方式或主表示
24、方式以满足需要这就是用于确定参数化法的方式注主表示属性要保证多种方式确实等同并且要确切指出一种更好的方式肯定是不实际的这可能由数据的建立者去确定对于一个具有多种表示方式的实体来说诸如参数化域及计值结果等所有特性都应从主表示方式导出任何利用其他表示法都是根据实用考虑的折衷方法几何模式的类型定义维数维数是用于定义一个几何表示环境的坐标空间维数的正整数描述形式限制维数应是正数过渡代码这个类型传递复合曲线或曲面的连续特性该连续性指的是几何连续性而不是参数的连续性描述枚举项的定义不连续的各曲线段或曲面片是不连接的这仅允许在曲线或曲面的边界处以指明其是不连接的连续的各曲线段或曲面片是连接的但其不含切线的条
25、件连续且同斜率各曲线段或曲面片是连接的且它们的切向量或切平面是平行的在连接处具有相同的方向不要求导数相等连续同斜率且同曲率对曲线各段连接它们的切向量平行且方向相同在连接处曲率相等不要求导数相等对曲面这意味着主曲率相同且主方向沿共同边界重合优曲面曲线的表示这个类型用于指明曲面曲线表示的较优形式这种曲线或为几何空间中的曲线或为基曲面的参数空间中的曲线描述枚举项的定义空间中的优先选用的曲线第一条优先选用的参数域曲线第二条优先选用的参数域曲线样条曲线形式这个类型用于指明一个由样条曲线表示的特定几何实体描述枚举项的定义折线形式一系列相连的直线段它是通过阶样条基本函数表示的圆弧一个圆弧或一个完整的圆它是由
26、一个样条曲线表示的椭圆弧一个椭圆弧或一个完整的椭圆它是由一个样条曲线表示的抛物线弧一个有限长的抛物线弧其由一个样条曲线表示双曲线弧一个有限长的双曲线的一个分支的弧其由样条曲线表示无规定的没有规定具体形状的一个样条曲线样条曲面形式这个类型用于指明该样条曲面表示某种特定形状的曲面的一部分描述枚举项的定义平面曲面一个平面的有界部分它是通过每个参数都为阶的样条曲面表示的圆柱曲面一个圆柱面的有界部分圆锥曲面一个正圆锥曲面的有界部分球面一个球面的有界部分或一个完整的球面它是由一个样条曲面表示的圆环面一个圆环面或其一部分它是由一个样条曲面表示的回转面一个回转曲面的有界部分直纹面由两个参数曲线构造成的曲面它是
27、由连接两曲线同参数值的对应点的直线构成的广义圆锥曲面直纹面的一种特殊情况其中第二条曲线退化成一个点当用样条曲面表示时沿着一条边的全部控制点都重合二次曲面变量的二阶曲面类之一的有界部分线性延拓曲面按参数之一的阶样条表示的线性延拓曲面的有界部分无规定的没有规定具体形式的曲面节点类型本类型指示样条节点应具有的一种特别简单的形式其使节点本身可以缺省这些类型说明的细节见样条曲线实体的定义描述枚举项的定义均匀节点适用于均匀样条曲线的节点形式无规定的没有规定节点的类型这包括非均匀节点的情况准均匀节点适用于准均匀样条曲线的节点形式分段贝塞尔节点适用于分段贝塞尔曲线的节点形式量度枚举这个类型用于描述一个对象的数
28、量量度描述枚举项的定义无效对测量的量值量度的概念无效零量度值为零有限且非零量度值是有限的有界的但不为零无限的量度非为有限的剪裁优先权这个类型用于指明剪裁一个参数曲线的较优方法其中剪裁有多种定义描述枚举项的定义笛卡尔坐标指明优先选用的笛卡尔坐标点进行剪裁参数指明参数值的优先权无规定指明通信无优先权轴方位这个选择类型把用于或笛卡尔空间中轴方位的两种形式集中到一起这使需要这个信息的实体能够去引用它们而无需指明空间的维数描述曲面上的曲线曲面上的曲线是参数曲面上的曲线它可以是下述曲线中的任何一种参数域曲线或曲面曲线包括相交曲线和接合面曲线的特殊子类型或曲面上的复合曲线曲面上的曲线选择类型为了引用而把这些
29、曲线集合到一起描述参数域曲线或曲面这个选择类型能够把曲面曲线标识为相关联的曲面或参数域曲线的一个属性描述剪裁选择这个选择类型标识剪裁一个参数曲线的两种可能的方法即通过在曲线上的笛卡尔坐标点或通过在曲线参数范围内一个参数值定义的一个实数描述矢量或方向这个类型通常用于标识能够参与矢量计算的实体类型描述几何模式的实体定义本节包含全部显式的几何实体除在参数空间中定义的实体外其余所有几何都在右旋笛卡尔坐标系几何坐标系中定义这个坐标系的空间维数由几何表示项的相关环境确定曲线和曲面的定义借助于点和或矢量和或纯量长度值基本上全部给出几何表示相关环境几何表示相关环境是一种表示环境在其中以几何的方式建立几何表示项
30、几何表示相关环境是一个性质不同的坐标空间在其占有的空间方面与其他的坐标空间无关除非这些坐标空间通过适当的变换而明确地相关见对几何建立的和坐标空间的定义属性定义坐标空间的维数几何表示相关环境的坐标空间的整数维数注坐标空间维数允许范围的任何约束都超出了本标准几何表示项几何表示项是一种表示项它具有几何位置或方向或这两者的附加意义这意味着它是根据一个笛卡尔点或一个方向给出的直接引用的一个笛卡尔点或方向给出的间接引用的一个笛卡尔点或方向给出的注间接引用一个笛卡尔点或方向意味着一个已知的几何表示项通过一个或多个中介属性引用笛卡尔点或方向在许多情况下这个信息是以轴方位的形式给出的例考虑一个圆它通过依次引用一
31、个笛卡尔点和几个方向轴方位的引用得到它的几何位置和方向例流形实体的边界表示是一个几何表示项该项通过拓扑表示项的几个层次去引用曲线曲面和点通过附加的中介实体曲线和曲面去引用笛卡尔点和方向注中介实体可以是各种类型的表示项但未必是几何表示项的子类型考虑例的流形实体边界表示表示项的中介层之一是封闭壳这是一个拓扑表示项且按它自己的特性不需要一个几何表示环境当一个几何表示项自己用作一个流形实体边界表示的一部分时则它可以在一个几何表示环境中建立几何表示项继承了在一个表示中与一个表示环境相关的需要一致的维数规则保证了该表示环境是一个几何表示相关环境当在该几何环境内时这个关系就导致以几何方式去建立几何表示项描述
32、属性定义维数几何表示项的坐标维数注维数属性是从几何表示相关环境的坐标空间维数中导出的几何建立的几何表示项即在该环境内在一个或多个几何表示相关环境中几何建立的一个几何表示项在所有相关环境中都具有同样的坐标空间维数见中的规则形式限制引用一个几何表示项的任何表示环境都应是几何表示相关环境类型的点点是某真实笛卡尔坐标空间或中的一个位置描述笛卡尔点笛卡尔点是在笛卡尔直角坐标系中或在参数空间通过其坐标定义的点该实体按坐标表中的坐标数所确定的一维二维或三维空间去定义注在本标准中对几何的定义仅使用维点或维点描述属性定义坐标点位置的第一个坐标坐标点位置的第二个坐标在维点的情况下该坐标不存在坐标点位置的第三个坐标
33、在维或维的情况下该坐标不存在定义点的空间维数这是一个从几何表示项超类型继承的导出属性且对一个笛卡尔点维数是由坐标表中的坐标个数确定的曲线上的点曲线上的点是位于一条曲线上的点该点通过在指定的参数值下对曲线的计值确定的点的坐标空间维数是基曲线的维数描述属性定义基曲线该曲线是与点的参数相关的点的参数点位置的参数值定义曲线上点的空间维数它与基曲线的维数相同非形式限制点参数的值不应超出曲线的参数范围曲面上的点曲面上的点即位于参数曲面上的点该点通过在具体的一对参数值下对曲面计值确定的描述属性定义基曲面与点参数值相关的曲面点参数点位置的第一个参数值点参数点位置的第二个参数值曲面上点的坐标空间的维数其与基曲面
34、的相同非形式限制由和确定的参数值不应超出基曲面参数的范围复制点这定义一个原有点父点在不同位置的复制该复制点与父点具有相同的坐标空间维数描述属性定义父点要被复制的点变换笛卡尔变换运算符其定义该复制的位置形式限制变换属性的坐标空间的维数应与父点的维数相同复制点不应参与自身的定义退化参数域曲线退化参数域曲线是一个带有参数域曲线结构的实体但它在维模型空间中退化成一个点因此它是点的子类型而不是曲线的子类型注例如一个圆锥的顶点可表示成一个退化参数域曲线描述属性定义基曲面基曲线位于其上的曲面参考曲线参数域曲线与退化成一个等价点的参数空间曲线的联系形式限制在对应于参考曲线的定义表示实体中的项的集合应仅有一个元
35、素在该集合中的唯一项应是曲线这个参数空间曲线的维数应当是非形式限制从模型空间的观点看曲线退化参数域曲线的弧长应为零退化参数域曲线的计值该实体表示一退化参数域曲线和与它相关联的笛卡尔点的计值结果描述属性定义等价点在几何坐标系中由退化参数域曲线表示的点方向该实体定义或空间中的普通方向矢量各分量的实际数值并不影响已定义的方向仅要求或的比例是有意义的注该实体的各分量并不是规范化的如果需要一个单位矢量则在使用前应先行规范化描述属性定义方向比例轴方向上的分量方向比例轴方向上的分量方向比例轴方向上的分量在维坐标空间中这一方向的分量将不存在方向坐标空间的维数这是几何表示项超类型的继承属性对于该实体它由表中方向
36、比例的个数确定形式限制方向矢量的量值应大于零矢量该实体通过一个矢量的方向和量值来定义矢量量值属性的值定义了矢量的大小注矢量的量值未必要从方向属性的分量去计算选择这种表示形式是为了减少数值不稳定的问题例如一个量值为且与各坐标轴的倾角相同的矢量可用的方向属性来表示描述属性定义方向矢量的方向量值矢量的大小量值为的所有矢量都认为在值上是相等的而不考虑其方向属性定义矢量所在空间的维数形式限制量值应为正值或零方位方位实体定义一个几何项相对于它的几何相关环境坐标系的位置它定位的项要在轴方位子类型的情况下被定义并且给出它的方向描述属性定义位置要被定义的项的一个参考点的几何位置诸如一个圆的圆心轴方位在维空间中一
37、个单轴的方向和位置轴方位是通过一个定位点从方位超类型继承的和一个轴的方向定义的它或是轴的方向或是缺省为轴方位的实际方向由导出属性给出描述属性定义在该轴上的一个参考点轴局部轴的方向局部轴的法方向轴方位的空间维数这由它的位置确定且总等于形式限制坐标空间的维数应为维空间的轴方位在维空间中两个相互垂直的轴的位置和方向维空间的轴方位是通过一个点从方位超类型继承的和一个轴定义的它适用于维空间中对象的定位和定向以及方位坐标系的定义该实体包括一个构成方位坐标系原点的点为完成方位坐标系的定义还需要一个方向矢量这个参考方向定义了方位轴的方向方位轴的方向由此导出描述属性定义参考点的空间位置它定义相关方位坐标系的原点
38、参考方向用于确定局部轴方向的方向如果它被省略则其方向即采用几何坐标系的方向方位坐标系轴的集合方位轴的法方向如果参考方向缺省则它是方位轴的法方向这是一个导出属性且垂直于形式限制轴方位的空间维数为维空间的轴方位在维空间中两个相互垂直的轴的位置和方向维空间的轴方位实体是利用一个点从方位超类型继承的和两个理想为垂直的轴定义的它可用于空间中非轴对称的对象的定位和定向以及方位坐标系的定义该实体包括一个构成方位坐标系原点的点为完成方位坐标系的定义还需要两个方向矢量该量轴是方位轴的方向参考方向是方位轴方向的近似方向注设是方位轴的方向是近似的方位轴的方向有两种在数学上等同但在数值上不同的方法可用于计算方位轴和轴
39、的方向矢量投影到由原点和矢量所定义的平面上以给出方位轴的方向为方位轴的方向则由给出方位轴的方向按式计算而方位轴的方向则由给出第一种方法在数值上可能比第二种方法更稳定这里使用的就是第一种方法对于圆锥曲线和初等曲面来说被参数方程参照的定位坐标系是从轴方位的数据中导出的描述属性定义参考点和相联方位坐标系原点的空间位置轴局部轴的精确方向参考方向用于确定局部轴方向的方向必要时可以进行调整以保持该轴方向的垂直性如果轴和或参考方向缺省这些方向即采用几何坐标系的方向方位坐标系的轴这些轴的方向是从属性中导出的如需要可带有适当的缺省值局部轴的法方向局部轴的法方向局部轴的法方向注这些属性的解释见图图轴方位形式限制的
40、空间维数应当是轴的空间维数应当是参考方向的空间维数应当是轴和参考方向不应平行或反向平行这是建轴函数要求的笛卡尔变换运算符笛卡尔变换运算符定义由平移旋转镜像和均匀比例放缩组成的几何变换规范化的矢量的表定义一个正交矩阵的列这些矢量通过基轴函数从方向属性轴轴并按在维空间的笛卡尔变换运算符轴计算出来如果则该变换包含有镜像变换局部原点放缩比例值和矩阵一起定义一个变换具有位置矢量的一个点的变换由下式定义方向的变换由下式定义一个具有方向量值的矢量的变换由下式定义与对于包含轴方位属性的那些实体应用该变换在演算之后以定义方位坐标方向的导出属性对于被变换的曲面在任意点的曲面的法线方向通过在原曲面对应点法线的变换得
41、到对于带有长度量纲属性诸如圆的半径的几何实体其值应乘以对于曲面上的曲线参数域曲线的参考曲线不受变换的影响笛卡尔变换运算符仅适用于各坐标轴具有同样单位的统一单位制定义的几何如果全部属性都省略则其变换也缺省为恒等变换笛卡尔变换运算符仅应作为它的子类型之一予以例示注变换作用的实例见图至图描述图笛卡尔变换运算符图笛卡尔变换运算符图完属性定义轴用于确定的方向导出轴的方向轴用于确定的方向导出轴的方向局部原点规定作为一个笛卡尔点所需要的平移变换这个变换包含的实际平移是从几何原点到局部原点放缩比例规定用于放缩变换的比例值放缩变换导出的比例值如果它存在则等于放缩比例否则等于形式限制导出的放缩比例值应大于零笛卡尔
42、变换运算符笛卡尔变换运算符定义由平移旋转镜像和均匀比例放缩组成的在维空间中的几何变换规范化的矢量的表定义一个正交矩阵的列这些矢量通过基轴函数从方向属性轴轴和轴计算出来如果则包括镜像变换描述属性定义用于确定的方向导出轴的方向必要时可调整使之垂直于用于确定的方向导出轴的方向必要时可调整使之垂直于和精确的方向导出轴的方向规定作为一个笛卡尔点所需要的平移变换该变换中包含的实际平移是从几何原点到局部原点为该变换所规定的放缩比例值该变换的导出放缩比例值如果它存在则等于否则为定义变换矩阵的互相垂直的规范化的矢量表它们依次从显式属性轴轴轴导出形式限制该实体的坐标空间维数应为笛卡尔变换运算符笛卡尔变换运算符定义
43、在维空间中的几何变换包括平移旋转镜像和均匀比例放缩规范化矢量的表定义一个正交矩阵的列这些矢量通过基轴函数由方向属性轴轴计算得到如果则该变换包含有镜像变换描述属性定义用于确定的方向导出轴的方向用于确定的方向导出轴的方向规定作为一个笛卡尔点所需要的平移变换该变换中所包含的实际变换是从几何原点到局部原点为该变换所规定的放缩比例值该变换的导出放缩比例值如果其存在则等于否则等于定义变换矩阵的互相垂直的规范化矢量表它们依次从显式属性轴轴中导出形式限制该实体的坐标空间维数应为曲线一条曲线可设想为一个点在它的坐标空间中运动的路径描述非形式限制曲线应是弧式连通的曲线的弧长应大于零直线一条直线是一条切线方向不变的
44、无界曲线直线由一个点和一个方向定义直线的正向是由方向矢量的方向确定的该曲线直线的参数化如下且参数的范围为描述属性定义直线的定位点直线的方向的量值和单位影响着直线的参数化直线的坐标空间的维数这是来自几何表示项超类型的继承属性形式限制和二者或应当是维的实体或应当为维实体圆锥曲线圆锥曲线是一条平面曲线其可以由一平面与一个圆锥面相交而成圆锥曲线是通过它的内在几何特性定义的而不是通过其他几何描述的圆锥曲线实体总有一个由轴方位属性定义的方位坐标空间且通过这个方位坐标空间来定义它的参数化表示描述属性定义位置圆锥曲线的位置与方向该属性更详细的说明在各子类型中给出圆圆由它的半径及圆的位置和方向定义其数据说明如下
45、圆心半径且参数化圆为参数范围是在上面定义的方位坐标空间中圆的方程为其中圆在任意点的正方向就是该曲线在该点的切线方向其中注圆弧通过修剪曲线实体连同圆实体一起来定义描述属性定义该继承属性定义圆心半径圆的半径应大于零注属性说明见图图圆椭圆椭圆是由长短半轴的长度和曲线的位置中心或焦点连线的中点和方向定义的一条圆锥截线其数据说明如下中心半轴半轴其参数方程为参数范围是在上面定义的方位坐标系中椭圆的方程为其中在任意点椭圆的正方向就是曲线在该点的切线方向其中描述属性定义是椭圆的中心而是半轴的方向半轴椭圆的第一个半径其应为正值半轴椭圆的第二个半径其应为正值注属性说明见图图椭圆双曲线双曲线是由实半径与虚半径和曲线
46、的位置两焦点连线的中点和方向所定义的圆锥截线其数据说明如下中心位置实半轴虚半轴其参数方程为参数范围为在上面定义的方位坐标系中双曲线的方程为其中双曲线在任意点的正方向就是曲线在该点的切线方向其中表示双曲线的分支是由的方向指示的描述属性定义曲线的位置和方向是双曲线的中心是实半轴的方向所定义的分支是在的正向一侧实半轴双曲线实半轴的长度其是正值且是双曲线两分支最小距离的一半虚半轴双曲线虚半轴的长度其应为正值注属性说明见图形式限制实半轴的长度应大于零虚半轴的长度应大于零图双曲线抛物线抛物线是由它的焦距长度位置顶点和方向定义的圆锥截线其数据说明如下顶点焦距抛物线的参数方程为其参数范围为在上面定义的方位坐标
47、系中抛物线的方程为其中抛物线在任意点的正方向就是曲线在该点的切线方向其中描述属性定义曲线的位置和方向是抛物线的顶点是对称轴从顶点到集点的距离焦距注属性说明见图形式限制焦距不应为零图抛物线有界曲线有界曲线是一条带有可识别端点的有限弧长的曲线描述非形式限制有界曲线具有有限的弧长有界曲线具有始点和终点折线折线是由的个点的表定义的个直线段构成的有界曲线曲线第段的参数化表示为对于其中且其参数范围为描述属性定义点定义该折线的点样条曲线样条曲线是借助于控制点和基本函数描述的分段参数多项式或有理曲线样条曲线已被选为表示所有类型的多项式或有理参数曲线的最适当的格式根据适当的属性值它能表示显式多项式有理的或样条类
48、型的单跨或样条曲线样条曲线有三种特殊的子类型提供简单的缺省能力由它可导出节点和节点的重数注样条曲线的缺省值和子类型的识别在进行计算时对性能的考虑和有效性问题是重要的当且仅当其权因子不全相等时样条是有理的这可以用有理样条曲线子类型表示当它是多项式时由于其权因子全部为故其权因子可以缺省在样条曲线是均匀的准均匀的或者包括分段的情况下节点和节点重数可以缺省即属性定义中规定的数据可以不出现当节点缺省时假设各节点间的差为并且所产生的曲线的有效参数范围从开始这些缺省由子类型提供在非均匀的情况下节点和节点重数不应缺省权因子和节点的缺省彼此无关样条基本函数的定义可在中找到应当注意这些参考资料间在术语方面是有差别
49、的数据说明如下在多项式的情况下曲线由下式给出在有理的情况下所有权因子应为正值且曲线由下式给出式中控制点的个数控制点权因子阶节点数组是一个个实数的数组使之对在中的所有下标有这个数组根据节点重数通过反复每个重复节点而从节点数据表中得到第个阶规范比样条基本函数定义在这个数组的子集上设指示在节点表中个节点间不同值的个数将称为节点的上标设指示第个不同节点的重数即重复的次数则除第个与最后一个节点外所有节点的重数都应在的范围之内第个和最后一个节点重数的最大值可为在基本函数的计算中例如重数为的节点在节点数组中被解释为串样条曲线有种特殊的子类型提供简单的缺省能力由它可导出节点和节点重数注曲线定义的进一步信息见图图样条曲线描述属性定义阶基本函数的代数阶控制点表曲线的控制点表曲线的形状用于标识曲线的具体类型这仅作为信息详见封闭曲线指明曲线是否是封闭的这仅作为信息自相交指明曲线是否为自相交的标志这仅作为信息曲线坐标空间的维
