1、ICS 19.120 A 28 串串中华人民春日国国家标准第5GB/T 15445.5-20门/1809276-5: 2005 粒度分析结果的表述部分:用对数正态概率分布进行粒度分析的计算方法Representation of results of particle size analysis 一Part 5: Methods of calculations relating to particle size analyses using logarithmic normal probability distribution CISO 9276-5: 2005 , IDT) 2011-06-1
2、6发布2012-03-01实施数码防伪中华人民共和国国家质量监督检验检疫总局中国国家标准化管理委员会发布GB/T 15445.5-2011/ISO 9276号:2005目Ij=i GB/T 15445(粒度分析结果的表述分为如下6个部分:第1部分:图形表征;第2部分:由粒度分布计算平均粒径/直径和各次矩;二二第3部分:将测定的累积粒度分布曲线拟合为标准模式;一一第4部分:分级过程的表征;一第5部分:用对数正态概率分布进行粒度分析的计算方法;二一第6部分:颗粒形状和形貌的描述和定量表征。本部分为GB/T15445的第5部分。本部分等同采用ISO9276-5 :2005(粒度分析结果的表述第5部分
3、:用对数正态概率分布进行粒度分析的计算方法)(英文版)。本部分与ISO9276-5: 2005相比做了下列编辑性修改:-用本部分代替本国际标准气一一重新编排页码;一一-删除了国际标准的前言;本部分的附录A为资料性附录。本部分由全国颗粒表征与分检及筛网标准化技术委员会(SAC/TC168)提出并归口。本部分起草单位:钢铁研究总院，中机生产力促进中心。本部分主要起草人:方建锋、郑毅、张晋远、余方。I GB/T 15445.5-2011 /ISO 9276-5: 2005 引许多颗粒系统的累积粒径分布Qr(x)，可以在专用的坐标纸上，使其表示为一条直线。图的纵、横坐标可由各种数学公式进行换算。在本部
4、分中，假定颗粒系统的累积粒度分布服从对数正态概率分布。在本部分中，一个颗粒的粒径X，用球的直径来表示;依据不同的情况，颗粒的粒径X，也可能代表的是某些其他形状的颗粒的等效径。E GB/T 15445.5-2011 /ISO 9276-5: 2005 1 范围粒度分析结果的表述第5部分:用对数正态概率分布进行粒度分析的计算方法GB/T 15445的本部分是为累积粒度分布服从对数正态概率分布的颗粒系统的粒径表征方法提供一些理论依据，可以明确地验证用粒度分布函数所作的计算。本部分中解释了对数正态概率坐标纸的设计以及矩、中位径、平均粒径和体积一比表面积等的计算方法。对数正态概率分布常常适用于表述任何维
5、度的累积粒度分布。本部分适用于以个数、长度、面积、体积或质量为基准所表征的累积分布，可以由一系列平行线表示，且是从其中任何一条已知线的位置均可以确定其他所有线的位置。2 规范性引用文件下列文件中的条款通过GB/T15445的本部分的引用而成为本部分的条款。凡是注日期的引用文件，其随后所有的修改单(不包括勘误的内容)或修订版均不适用于本部分，然而，鼓励根据本部分达成协议的各方研究是否可使用这些文件的最新版本。凡是不注日期的引用文件，其最新版本适用于本部分。GB/T 15445.1粒度分析结果的表述第1部分图形表征(GB/T15445. 1-2008 , IS0 9045: 1990 ,MOD)
6、GB/T 15415.2粒度分析结果的表述第2部分由粒度分布计算平均粒径/直径和各次矩(GB/T 15445.2 2006 ,IS0 9276-2: 2001 , IDT) 3 符号下列符号适用于本部分。c 累积百分数;=2.718 28 自然对数之底;h 矩中z的指数;M k r 维数为r的频度分布的闭合是次矩; 分布的维数(量的类型); p=O:个数，=1:长度，=2:面积，=3:体积或质量;qr(X) 维数为r的频度分布;Qr(X) 维数为r的累积分布;r 分布的维数(量的类型); r=O:个数，r=l:长度，r=2:面积，r=3:体积或质量35 频度分布的标准偏差;Sg 几何标准偏差，
7、标准偏差的指数函数;Sv 体积比表面积;z 颗粒粒度，球的直径;Xmin 给定粒度分布的最小粒径;1 GB/T 15445.5-2011 /ISO 9276-5: 2005 Xmax 给定粒度分布的最大粒径;工84.r对应于Qr=0.81时的粒度值;工肌F维数为r的累积分布的中位径;X16.r 对应于Qr=0.16时的粒度值;Xk.r 基于维数为r分布的走次矩的平均粒度;z 元量纲变量，与工的对数成比例见公式(3)J;E 基于工的积分变量见公式(1)J;C 基于z的积分变量见公式(2)J。注:在本部分以及GB/T15445的其他部分中，不同含义的下标用逗号分开。4 对数正态概率函数正态概率频度
8、分布函数由元量纲变量z表示如下:其累积正态概率分布表示为:qr* (z) =LEOK2 .J2 . ( 1 ) Qr* (Z)二1%Qr*C)d1;二二毛1% C 0 5( d .,. . . . . . ( 2 ) J .气2J函数Q;(z)随z变化的数值表见附录A的表A.1DG 在对数正态概率分布的表达式该分布，它们分别是平均粒径:1.:5阳0，忖，川r和和17元已量纲的标准偏差S，或几何标准偏差句，即:zzJM士J=中xJ= lOSg叫二J叫( 3 ) 该式等效于:工二二.7:S0，rC5Z . ( 4 ) 由公式(3)可知，标准偏差5与几何标准偏差Sg的关系为:5二lnsg或Sg二eS
9、.( 5 ) 虽然在公式。)中没有明确地显示对频度分布维数r的依赖，但r通过公式(3)包含于z和工50川的关系式中。对于一个确定的粒径分布，工50川的值可以根据GBjT15415. 1由实验数据来确定。对数正态几率分布的标准偏差可以由在某些特定的z处的累积分布数值计算出来:当z=l时有:当z=-l时有:Qr*(z=1)=0.84 , s=lnl坐立|LX50 ,r J . ( 6 ) Qr* (z = 1)=0.16, s=lnlx50二|.( 7 ) LX16，在本部分中，用0.84和O.16 (以及它们所表示的84%和16%)分别代替更精确的值O.841 34 和0.158650 对数概率
10、图形表示法:通过在特殊的坐标纸上作出累积分布曲线，可以得到一些有关颗粒粒度分布属性的有用信息，这种坐标纸的横坐标(表示粒度)为对数坐标;纵坐标(表示累计分布)，是经过放大的Qr (功的值(见附录A)。这种坐标纸可以预先印制出来。目前图形表征往往是通过相应的计算机软件绘制而在屏幕上显示出来。以某一粒径以下的每个累积分数的实验值(以个数、长度、面积或体积为基准来表示),Qr(x) , (即粒度小于z的累积百分数与相应的粒径上限值作图，对数正态概率分布为如GB/T 15445.5-2011/ISO 9276-5:2005 图1所示的直线。Y o. 16 。.999 f-l-0.99 L一/ 一/ 0
11、.9 1-/ 0.8 / / l-O. 7 / / 0.5 / / 0.3 / 0.2 / / 0.1 / 0.01 a3 (x) 0.001 L._ 1/ 0.84 。.1 10 100 X 图巾:X一-颗粒粒度，工，m;Y 一累积分布，Q。图1在对数概率坐标纸上所作的对数正态分布图为了满足归一化条件，小于或等于样品中最大颗粒粒度的累积分数必定为1，即Qr(Xmax) = 1，如此有:q; (z)dz二qr(x)dx(8 ) 注:上标兴是为了将无量纲积分变量z所定义的分布，如qr*(功，同以粒度z所定义的分布，如qr(X)区别开来。鉴于积分变盐z和粒度工之间存在如公式(3)所示的关系，所以有
12、:仇)= q; (z)丰=q; (z)孚_!_r-n牛l = _!_q; (z) QX QXl S L Xso.r .J I XS . ( 9 ) 或利用公式(1)，可得:1- . ( 10 ) 依照公式(2)，可得:Qr (X) = f:min qr () d( 11 ) 示例:对于一个以体积(=3)为基准的对数正态概率分布，其中位径与0.3=5m，标准偏差5=0.5，那么它的X16.3-3.0mXS.3 =8. 2m(参看GB/T15445.2 2006附录A)。图1所示为在对数概率坐标纸上，作出的以体积为基准的累积粒度分布Q3(X)。3 GB/T 15445.5-2011 /ISO 92
13、76-5: 2005 5 对数正态概率分布的特定值5. 1 闭合k次矩对数正态概率分布qr(X)的闭合h次矩，为:2 2 . , 2 _2 1 8 k _O.5k/ _klnx _+O .5k l V1kr = X50.r Cv v. , = C-50.r ( 12 ) 当k=2，r=3时:M23 =工50.32e2s = e21nx50.3+2,2 . ( 13 ) 5.2 平均粒度对数正态概率分布qr(X)的一系列平均粒径王，可以利用公式(14)由该分布h次矩的是次根(或由工队r和s)计算出来:，二扫Ik.r=X50.rCo.5kl . ( 14 ) 就对数正态分布而言，其中位粒度和几何平
14、均粒度是相同的;而且相应于某一种维数r的平均粒度可以由其他维数p下描述粒度分布的参数计算如下:或:一(0.5k+r-pJ，Xk, T -工50.pC ( 15 ) lnXk.r = 1nx50.十O.5走S2C 1nx5o.P十(0.5k十r- p)S2 ( 16 ) 示例:对数正态概率分布的不同含义的算术平均值(r二的，即起始的几个矩值(走二1，2，3)，可以从任何一种维数(p=0，1，2，白的分布参数，利用以下公式计算出来z2 , _2 ) .2 力，0X50.0eO.5s - XSO.le-O.5s = XSO.Ze- 1.5s _ XSO ,3C-Z, Ss ( 17 ) 2 2 ,
15、_2 川XZ.Q二XSO，Q旷工二XSQ.IXSO.2 C - = X50.3 e ( 18 ) 土3.0二xso.oe1.5s2= XSO.leO.SS2 = XSO.ZC-O.S.s2 = XSO.3 e-1.S/ h . ( 19 ) 示例:对数正态概率分布的不同维数(r二0，1，2，3)的一次矩忖二日，即加权平均径，可以从任何一种雄数(户=0，1，2，3)的分布参数，利用公式。7)和以下公式计算出来:5.3 中位径5sZ _ o. l _-().5/ XI.J 二二工50，0e 二二X50.1e- =二xso.ze1552 三二工讪.3e . ( 20 ) 土1，2二.TSQ，OeZ,
16、 5/二工50，e1.5/二工50，2eO.5s2二工川je od .( 21 ) 2 1 .2 .2 X3 _ xso.oe3. SS XSO.le2.Ss xso.ze1.5s二X50.3eo.5，-.( 22 ) 对数正态分布的独特之处在于:对于给定的粒度分布，其同在对数概率坐标纸上的累积分布曲线为直线，元论其统计基准为个数、长度、面积、体积或质量，这些直线都具有相同的斜率，只不过沿水平方向彼此有所位移，所以，它们的中位径X50.0，X川、工50.2、工50.3之间有一种简单的关系，其通式为:或写成: )lX50.二=.T50.pC lnx50.r = 1nx50.P + (r-) S2
17、 示例:维数r=3的累积分布的中位径，同其他维数累积分布中位径的关系为:( 23 ) . ( 24 ) 1nx50.3 = 1口工50.0+ 352 = 1nx50.1十25= 1nx50.十5( 25 ) 与公式(25)相同的关系式也适用于累计分布曲线上的其他点(像X16XS4等)，因此更一般的通式为:1nxc.r = lnx叶十(r- p)S2 ( 26 ) 式中c可以取0至100之间的任何值。这一关系式意味着，对同样品而言，只要它的粒度分布为对数正态分布，其各种累积分布曲线就是彼此平行的，见图204 GB/T 15445.5一-2011 /ISO 9276-5: 2005 Y 0.999
18、 III I l 1/ 0.99 i / a, (x) -去LV/ 0.9 LLL L 3 (x) 0.8 /111 0.84 / O. 7 / / / / / 0.5 / 0.16 / / 0.3 。.2在忡0.1 aO(X) L 0.01 /; U 。.001O. 1 10 100 X 图中:x-颗粒粒度，工，ffi;Y 个数、长度、面积和体积(或质量)的累积分布，Q。图2在对数概率坐标纸上所作对数正态分布的累积曲线(分别以个数、长度、面积和体积为权)5.4 图示分布值之间的水平位移5.4. 1 线性横坐标如果将颗粒累积数据国i在撒卒纸上，而棋坐标为z的统性刻皮(木在图2中示出)，对一个呈
19、对数正态分布的不同维数的累积分布来说，彼此有F面的关系:Qr* (z) =Q; z一(r-p)斗.(27 ) 因此，维数为r的累积分布将与一个维数为户的累积分布移动一段(r一抖5的距离后相重合。示例:如果r=3、=2，要想从面积分布曲线Qi(z)得到体积分布内线Q;(z)，只要将前者向粗粒度方向(向右)移动一个标准偏差的距离即可:Q; (z) = Qi (z - s) ( 28 ) 示例:要想从体积分布Q;(功，r=3得出个数分布Q;(功，=0，只要将前者向细粒度方向(向左)移动3个标准偏差的距离即可:Q; (z) = Q; (z+ 35) . ( 29 ) 5.4.2 对数横坐标如果将颗粒累
20、积数据画在对数正态概率纸上，而横坐标工为对数刻度，对一个呈对数正态分布的不同维数的累积分布来说，彼此之间有下面的关系:1. 1 X _ 1. 1 X 1 , .1 Qr pnl_一1 =也pnl1-(r一抖52 . ( 30 ) LXso. r J . LXso ,pJ 这就意味着，将一个维数为户的累积分布曲线Qp(叫，沿横坐标移动一段(r一)52的距离，就变为维数为r的累计分布曲线Qr(X)。这与由公式(25)和公式(26)给出的中位径的变化关系相同。图2示出以个数、长度、面积、体积(或质量)为权的对数正态累积分布，所采用的为对数正态概率纸。这些线所表示的分布与图1中的相同，因此，在图2中由
21、Q3(X)到Q2(X)的移动，可以通过式(30)GB/T 15445.5-20门/ISO9276-5: 2005 计算如下:.6二(32)0.52=一O.25个单位(以自然对数刻度)。因为X50.3= 5m，故相应于Q2(X)的中位径Z肌2=X50.3 e-0.25二3.9mo 5.5 体积一比表面积(索太尔直径)球形颗粒系的体积比表面积能从以面积为权的平均粒径，即索太尔(Sauter)直径计算出来:6 将公式(21)引人分母得:Sy二三Xl.2 S 一Le户川52v一-X50. . ( 31 ) . ( 32 ) 因此，索太尔直径可以从任何一种维数(户二0，1，2，3)的粒度分布的中位径和标
22、准偏差求出来:S一_6_e-2.5，2= _6_e- l. 5,2 = _6_e- 0. 5，2一6+O. 5, v一=-e一-X50.0 X50.1 X50.2 X50.3 . ( 33 ) A GB/T 15445.5-2011 /ISO 9276-5: 2005 附录A(资料性附录)正态概率分布的累积分布值作为变量z的函数，正态累积分布Qr*(z)的数值，可以通过对公式(2)的数值积分来得到，其积分范围从至z。本附录中的公式(A.l)，引自M.Abramowitz和1.A. Stegun所编某的(Handbook of Mathematical Function)中的式(26.2.18)
23、(V. S Printing Office , Washington DC. 1964 P. 932)。公式(A.1)为一级数近似表达式，由其所产生的Q;(z)的值可以精确到0.00025，这对于在计算机屏幕上建立对数正态坐标的纵坐标是足够精确的。0.5 Q; (z) = 1二(1 + cz十czzZ+ C3Z3 + C4Z4)4 式中:C1=0.196 S84 , cz =0.115 194 ,c3 =0.000344，向=0.0195270 ( A.1 ) 表A.1给出了Qr*(功的值，其中变数z所取的值和有效数字适用于大多数粒度分布的情况。对于精度要求超出本表范围的值，可以在很多关于统计
24、方法的书中查到。例如在上述数学函数手册的表26.1的第2列中(966页972页),Q; (功的有效数字高达15位。对于给定的Qr*(z)所对应的z值，可以从表获得或通过逐级近似法由公式CA.1)来计算。对于一个给定的Q值，从z的试探值开始算出一个Q;(z)，将其同给定的Qr*(z)值相比较，根据比较的情况，再选一个值z，计算Q;(z)，并使Q:(z)更靠近给定的QT*(z)值。如此重复下去，直到所算出的Q;(z) 值落在所要求的公差范围内，则z即为所求。表A.2给出了一个z值随Qr*(z)变化的数值表，其Q;(功的数值范围和有效数字位数适用于大多数粒度分布的情况。表A.l由z查询Q:(z)的数
25、值表z QT (z) z Q; (z) 3.00 1. 00 1.00 0.84 2. 90 1. 00 0.90 0.82 2.80 1. 00 0.80 O. 79 2. 70 1. 00 0.70 0.76 2. 60 1. 00 O. 60 O. 73 2.50 0.99 O. 50 O. 69 2. 40 O. 99 0.40 0.66 2. 30 O. 99 O. 30 0.62 2.20 0.99 0.20 0.58 2. 10 0.98 0.10 0.54 2.00 0.98 0.00 0.50 1. 90 0.97 一O.10 0.46 1. 80 0.96 一0.200.4
26、2 1. 70 0.96 一0.300.38 1. 60 0.95 一0.400.34 1. 50 0.93 一O.50 0.31 1. 40 0.92 一O.60 0.27 1. 30 0.90 一O.70 0.24 1. 20 0.88 一0.800.21 1. 10 0.86 -0.90 O. 18 7 GB/T 15445.5-2011/ISO 9276号:2005表A.1 (续)z Q; (z) z Q; (z) 1. 00 0.16 二2.000.02 1. 10 O. 14 2.10 0.02 1. 20 O. 12 2.20 0.01 1. 30 0.10 2.30 0.01
27、1. 40 0.08 -2.40 0.01 1. 50 0.07 -2.50 0.01 -1. 60 0.05 一2.600.00 1. 70 0.04 2. 70 0.00 1. 80 0.04 2.80 0.00 1. 90 0.03 -2.90 0.00 一3.000.00 表A.2由Qr*(z)查询z的数值表Q; (z) z Q; (z) z 0.98 2.05 0.50 0.05 O. 96 1. 75 0.48 一0.050.94 1. 56 0.46 -0.10 0.92 1. 42 0.44 -0.15 0.90 1. 28 0.42 一0.20O. 88 1. 18 0.40
28、 一0.260.86 1. 08 0.38 一0.310.84 1. 00 0.36 一0.360.82 O. 92 0.34 -0.42 0.80 0.84 0.32 -0.47 o. 78 O. 78 0.30 一0.53O. 76 o. 71 0.28 一0.590.74 0.65 0.26 O. 65 0.72 0.59 0.24 一0.71O. 70 O. 53 0.22 一O.78 0.68 0.47 0.20 一0.84O. 66 0.42 0.18 一0.92O. 64 0.36 O. 16 -1. 00 0.62 O. 31 O. 14 1. 08 0.60 0.26 0.1
29、2 1. 18 O. 58 0.20 0.10 一1.28 0.56 0.15 0.08 1. 42 0.54 0.10 0.06 1. 56 0.52 0.05 0.04 一1.75 O. 50 0.00 0.02 一2.05L一一8 GB/T 15445.5-2011 /ISO 9276-5: 2005 参考文献lJ HATCH , T and CHOATE, S. P. Statistical Description o the Size Properties of Non-Uni form Particulate Substances. J. Franklin Inst. 207 ,3
30、69 (1929). 2J HERDAN ,G. Small Particle Statistics. Butt巳rworth(1960). 3J LESCHONSKI,K. Representation and Evaluation of Particle Size Aanlysis Data. Particle Characterisation, 1, PP. 89-95 (1 984). 4J Handbook of Mathematical Functions. Ed. M. Abramowitz and 1. A. Stegun, U. S. Govt. Printing Offic
31、e. 9 中华人民共和国国家标准粒度分析结果的表述第5部分:用对数正态概率分布进行粒度分析的计算方法GB/T 15445.5- -2011/ISO 9276-5: 2005 唔中国标准出版社出版发行北京复兴门外三里河北街16号邮政编码:100045网址电话:6852394668517548 中国标准出版社秦皇岛印刷厂印刷各地新华书店经销峰开本880X1230 1/16 印张1字数21千字2012年1月第一版2012年1月第一次印刷美书号:155066. 1-43532定价18.00元GB/T 15445.5-2011 如有印装差错由本社发行中心调换版权专有侵权必究举报电话:(010)68533533打印扫期:2012年2月3日F002A 山OON的EhNmC自ON-m.的叮叮山同国。
