1、2011届北京市西城区高三二模试卷与答案数学（文科） 选择题 已知集合 , ，且 ，则 等于 A B C D 答案： C 考点：集合关系中的参数取值问题 分析：由题设条件 A=0， 1， B=-1， 0， a+3，且 A B，根据集合的包含关系知，应有 a+3=1，由此解出 a的值选出正确选项 解： 集合 A=0， 1， B=-1， 0， a+3，且 A B， a+3=1 a=-2 故选 C 已知点 及抛物线 ，若抛物线上点 满足 ，则 的最大值为 A B C D 答案： C 考点：抛物线的简单性质 分析：由题意可得 m2= = = =1+ 3，可得 m 解：设 P（ ， y），由题意可得 m
2、2= = = =1+ 1+ =3， m ，当且仅当 y2=2时，等号成立， 故选 C 若 ，则函数 在区间 上零点的个数为 A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 答案： B 考点：函数的零点 分析：根据 a 2，分析导函数的符号，确定函数的单调性，验证 f（ 0）， f（ 2）的符号，结合图象可知函数 f（ x） =x3-3ax+3 在（ 0， 2）上的零点个数 解： 函数 f（ x） =x3-3ax+3 f（ x） =3x2-3a=3（ x2-a） =3（ x+ ）（ x- ）， a 2， 令 f（ x） 0得 x ，得函数 f（ x）在（ ， +）上是增函数， 令 f（ x） 0可得 0
3、 x ，得函数 f（ x）在（ 0， ）上是减函数， 而 f（ 0） =3 0， f（ ） =（ ） 3-3a +3=3-2a 0， 函数 f（ x） =x3-3ax+3在（ 0， ）上零点有一个 又 f（ 2） =23-3a2+3=11-6a 0， 函数 f（ x） =x3-3ax+3在（ ， 2）上没有零点 则函数 f（ x） =x3-3ax+3在区间（ 0， 2）上零点的个数为 1， 故选 B 函数 的部分图象如图所示，设 为坐标原点， 是图象的最高点， 是图象与 轴的交点，则 A B C D 答案： B 一个几何体的三视图如图所示，则其体积等于 A B C D 答案： D 考点：由三视
4、图求面积、体积 分析：先由三视图画出几何体的直观图，理清其中的线面关系，再由椎体体积计算公式代入数据计算即可 解：由三视图可知，几何体为一个三棱锥，其直观图如图，底面三角形为直角三角形， BC=1， AC=2，C=90 侧棱 PC 底面 ABC， PC=2 此几何体的体积为 V= S ABCPC= 122= 故选 D 在 中， “ ”是 “ 为直角三角形 ”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案： A 考点：三角形的形状判断；必要条件、充分条件与充要条件的判断 分析：先证明充分性，设 与 的夹角为 ，利用平面向量的数量积运算法则化简 ，由已知 =0，得
5、到 cos值为 0，由 的范围，利用特殊角的三角函数值求出 为直角，可得三角形 ABC为直角三角形；反过来，若三角形 ABC为直角三角形，但不一定 B为直角，故必要性不一定成立 解：当 =0时， 设 与 的夹角为 ， 可得 =ac cos（ -） =-ac cos， 又 =0， -ac cos=0，即 cos=0， （ 0， ） = ， 则 ABC为直角三角形； 而当 ABC为直角三角形时， B不一定为直角， 故 不一定等于 0， 则在 ABC中， “ =0”是 “ ABC为直角三角形 ”的充分不必要条件 故选 A 已知 ，则下列不等式正确的是 A B C D 答案： C 考点：不等式的基本性
6、质 分析：不妨令 a=-1 且 b=1，可得 A、 B、 D 不成立，而 C 成立，由此得出结论 解：不妨令 a=-1且 b=1，可得 = -1 ， = 1，故 A 不成立 可得 a2=1， b2=1，故 B 不成立 可得 2-a=3， 2-b=1，故有 2-a 2-b，故 C成立 （证明： a b， -a -b， 2-a 2-b ） 由于函数 y=2x在 R上是增函数， 2a 2b，故 D不成立 故选 C 已知 是虚数单位，则复数 所对应的点落在 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： C 考点：复数的代数表示法及其几何意义 分析：根据 =i+2i2+3i3=1-2-3i=-
7、1-3i复数 z对应的点为（ -1， -3），得出结论 解： z=i+2i2+3i3=1-2-3i=-1-3i 复数 z对应的点为（ -1， -3） 所以复数 z=i+2i2+3i3所对应的点落在第三象限 故选 C 填空题 数列 满足 ， ，其中 ， 给出下列命题： ，对于任意 ， ； ，对于任意 ， ； ， ，当 （ ）时总有 . 其中正确的命题是 _.（写出所有正确命题的序号） 答案： 定义某种运算 ， 的运算原理如右图所示 . 则 _； 设 .则 _. 答案： ； 平面上满足约束条件 的点 形成的区域为 ，则区域 的面积为 _；设区域 关于直线 对称的区域为 ，则区域 和区域 中距离 最
8、近的两点的距离为 _ 答案： ； 在 中，若 ， ，则 _ 答案： 已知向量 ， ，设 与 的夹角为 ，则 _ 答案： 已知 为等差数列， ，则其前 项之和为 _. 答案： 解答题 已知函数 . （ ）求函数 的定义域； （ ）若 ，求 的值 答案：解：解：（ ）由题意， ， 2 分 所以， . 3 分 函数 的定义域为 . 4 分 （ ）因为 ，所以 ， 5 分 ， 7 分 ， 9 分 将上式平方，得 ， 12 分 所以 . 13 分 如图，菱形 的边长为 ， , .将菱形 沿对角线 折起，得到三棱锥 ,点 是棱 的中点， . （ ）求证： 平面 ； （ ）求证：平面 平面 ； （ ）求三棱
9、锥 的体积答案： （ ）证明：因为点 是菱形 的对角线的交点， 所以 是 的中点 .又点 是棱 的中点， 所以 是 的中位线， . 2 分 因为 平面 , 平面 ， 所以 平面 . 4 分 （ ）证明：由题意， , 因为 ,所以 ， . 6 分 又因为菱形 ，所以 . 7 分 因为 , 所以 平面 ， 8 分 因为 平面 ， 所以平面 平面 . 9 分 （ ）解：三棱锥 的体积等于三棱锥 的体积 . 10分 由（ ）知， 平面 ， 所以 为三棱锥 的高 . 11 分 的面积为 ， 12 分 所求体积等于 . 13 分 由世界自然基金会发起的 “地球 1小时 ”活动，已发展成为最有影响力的环保活
10、动之一，今年的参与人数再创新高 .然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问 .对此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的人中，持 “支持 ”、 “保留 ”和 “不支持 ”态度的人数如下表所示： 支持 保留 不支持 20岁以下 800 450 200 20岁以上（含 20岁） 100 150 300 （ ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取 个人，已知从 “支持 ”态度的人中抽取了 45人，求 的值； （ ）在持 “不支持 ”态度的人中，用分层抽样的方法抽取 5人看成一个总体，从这 5人中任意选取 2人，求至少有 人 20岁以下的概率； （ ）在接受调查的人中，有 8人
11、给这项活动打出的分数如下 :9.4， 8.6， 9.2，9.6， 8.7， 9.3， 9.0， 8.2.把这 8 个人打出的分数看作一个总体，从中任取 个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过 0.6的概率 . 答案：解：（ ）由题意得， 2 分 所以 . 3 分 （ ）设所选取的人中，有 人 20岁以下，则 ，解得.5 分 也就是 20岁以下抽取了 2人，另一部分抽取了 3人，分别记作 A1， A2； B1， B2，B3， 则从中任取 2人的所有基本事件为 (A1,B1)， (A1, B2)， (A1, B3)， (A2 ,B1)， (A2 ,B2)，(A2 ,B3)， (A1, A2)，
12、(B1 ,B2)， (B2 ,B3)， (B1 ,B3)共 10个 . 7 分 其中至少有 1人 20岁以下的基本事件有 7个： (A1, B1)， (A1, B2)， (A1, B3)，(A2 ,B1)， (A2 ,B2)， (A2 ,B3)， (A1, A2)， 8 分 所以从中任意抽取 2人，至少有 1人 20岁以下的概率为 . 9 分 （ ）总体的平均数为， 10 分 那么与总体平均数之差的绝对值超过 0.6的数只有 8.2， 12 分 所以该数与总体平均数之差的绝对值超过 0.6的概率为 . 13 分 设函数 ，其中 为自然对数的底数 . （ ）求函数 的单调区间； （ ）记曲线 在
13、点 （其中 ）处的切线为 ， 与 轴、轴所围成的三角形面积为 ，求 的最 大值 答案：解：（ ）由已知 ， 所以 ， 2 分 由 ，得 ， 3 分 所以，在区间 上， ， 函数 在区间 上单调递减； 4 分 在区间 上， ， 函数 在区间 上单调递增； 5 分 即函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . （ ）因为 ， 所以曲线 在点 处切线为 ： . 7 分 切线 与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 ， 9分 因为 ，所以 ， 10 分 ， 12 分 在区间 上，函数 单调递增，在区间 上，函数 单调递减 . 13 分 所以，当 时， 有最大值，此时 ， 所以， 的最大值为 . 14 分
14、已知椭圆 （ ）的焦距为 ，离心率为 . （ ）求椭圆方程； （ ）设过椭圆顶点 ，斜率为 的直线交椭圆于另一点 ，交 轴于点，且 成等比数列，求 的值 . 答案： 解：（ ）由已知 ， . 2 分 解得 ， 4 分 所以 ， 椭圆的方程为 . 5 分 （ ）由（ ）得过 点的直线为 ， 由 得 ， 6 分 所以 ，所以 ， 8 分 依题意 ， . 因为 成等比数列，所以 ， 9 分 所以 ，即 ， 10 分 当 时， ，无解， 11 分 当 时， ，解得 ， 12 分 所以 ，解得 ， 所以，当 成等比数列时， . 14 分 若函数 对任意的 ，均有 ，则称函数具有性质 . （ ）判断下面两
15、个函数是否具有性质 ，并说明理由 . ； . （ ）若函数 具有性质 ，且 （ ）， 求证：对任意 有 ； （ ）在（ ）的条件下，是否对任意 均有 .若成立给出证明，若不成立给出反例 . 答案：（ ）证明： 函数 具有性 质 . 1 分 ， 因为 ， ， 3 分 即 ， 此函数为具有性质 . 函数 不具有性质 . 4 分 例如，当 时， ， ， 5 分 所以， ， 此函数不具有性质 . （ ）假设 为 中第一个大于 的值， 6 分 则 ， 因为函数 具有性质 ， 所以，对于任意 ，均有 ， 所以 ， 所以 ， 与 矛盾， 所以，对任意的 有 . 9 分 （ ）不成立 . 例如 10 分 证明：当 为有理数时， 均为有理数， ， 当 为无理数时， 均为无理数， 所以，函数 对任意的 ，均有 ， 即函数 具有性质 . 12 分 而当 （ ）且当 为无理数时， . 所以，在（ ）的条件下， “对任意 均有 ”不成立 .13 分 （其他反例仿此给分 . 如 ， ， ，等 .）
