1、2011届广东省海珠区高三第一次综合测试数学理卷 选择题 已知全集 ， ， ，则 A B C D 答案： A 一圆形纸片的圆心为原点 O,点 Q是圆外的一定点 ,A是圆周上一点 ,把纸片折叠使点 A与点 Q重合 ,然后展开纸片 ,折痕 CD与 OA交于 P点 ,当点 A运动时 P的轨迹是 A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆 答案： B 考点：双曲线的定义 专题：计算题；数形结合 分析：根据 CD是线段 AQ的垂直平分线可推断出 |PA|=|PQ|，进而可知 |PO|-|PQ|=|PO|-|PA|=|OA|结果为定值，进而根据双曲线的定义推断出点 P的轨迹 解答：解：由题意知， CD是线段 AQ的
2、垂直平分线 |PA|=|PQ|， |PO|-|PQ|=|PO|-|PA|=|OA|（定值）， 根据双曲线的定义可推断出点 P轨迹是以 Q、 O两点为焦点的双曲线， 故选 B 点评：本题主要考查了双曲线的定义的应用，考查了学生对椭圆基础知识的理解和应用，属于基础题 直角梯形 如图 1,动点 P从点 B出发 ,由 沿边运动 ,设点 P运动的路程为 , 的面积为 .如果函数 的图象如图 2所示 ,则 的面积为 A 10 B 32 C 18 D 16 答案： D 考点：函数的图象与图象变化 专题：图表型 分析：由 y=f（ x）的图象可知，当 x由 04 时， f（ x）由 0变成最大，说明BC=4，
3、由 x从 49 时 f（ x）不变，说明此时 P点在 DC上，即 CD=5，由 x从914 时 f（ x）变为 0，说明此时 P点在 AD上，即 AD=5所以可求 AB的长，最后求出答案： 解答： 解：由题意知， BC=4， CD=5，AD=5 过 D作 DG AB AG=3，由此可求出 AB=3+5=8 S ABC= AB BC= 84=16 故选 D 点评：要能根据函 数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论 已知函数 的最小正周期为 ,为了得到函数的图象 ,只要将 的图象 A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度
4、 D向右平移 个单位长度 答案： C 给定下列四个命题： 若两个平面互相垂直 ,那么分别在这两个平面内的任意两条直线也互相垂直 ; 若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直； 若两个平面平行 ,则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 . 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 其中，为真命题的是 A 和 B 和 C 和 D 和 答案： B 设 是等差数列 的前 项和，若 ，则数列 的通项为 A B C D 答案： C 展开式中 的系数为 A 30 B 120 C 60 D 15 答案： C 若平面向量 满足 ， ， ,则 A B 或 C D 或
5、答案： B 填空题 (几何证明选讲选做题）如图 5, 的直径 ，四边形 内接于 ，直线 切 于点 ， ，则 的长是 答案： （不等式选讲选做题） 的解集是 . 答案： （坐标系与参数方程选做题）直线 截圆 （ 为参数）所得的弦长为 . 答案： .如图 5，在平面上，用一条直线截正方形的一个角则截下一个直角三角形按图所标边长，由勾股定理得 .设想正方形换成正方体 ,把截线换成如图的截面 ,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 ,若用表示三个侧面面积 , 表示截面面积 ,你类比得到的结论是 . 答案： 随机变量 X的分布列如下表： X -1 0 1 P 若 X的均值 ，则 X的方差 的值是
6、答案： 如图 4，矩形 ABCD， AB=2， BC=1， A， B两点关于坐标原点对称，在矩形 ABCD内随机撒一把黄豆，落在曲线 与 轴所围成阴影部分的概率为 . 答案： /3 阅读如图 3所示的流程图 ,若 , ,则输出的数是 . (以数字作答 ). 答案： 解答题 在锐角三角形 中， BC=1， ， . （ 1）求 的值； （ 2）求 的值 . 答案： 解：（ 1） 为锐角三角形， 1 分 2 分 在 中，由余弦定理得： 3 分 5 分 6 分 （ 2）在 中，由正弦定理得 7 分 得 8 分 .9 分 10 分 12 分 (本小题满分 12分） 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺
7、水问题较为突出 .某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，为此市政府首先采用抽样调查的方法获得了 位居民某年的月均用水量（单位：吨） .根据所得的 个数据按照区间 进行分组，得到频率分布直方图如图 (1)若已知 位居民中月均用水量小于 1吨的人数是 12,求 位居民中月均用水量分别在区间 和 内的人数 ; （ 2）在该市居民中随意抽取 10位，求至少有 2位居民月均用水量 在区间或 内的概率 .(精确到 0.01.参考数据 : )答案： 解：（ 1）根据频率直方图可得 位居民中月均用水量小于 1吨的频率为2 分 （人） 3 分 根据频率直方图可得 位居民中月均 用水量在区
8、间 内的人数是 （人） 5 分 在 内的人数是 （人） 7 分 （ 2）设 分别表示随机事件 “居 民月均用水量在区间 内 ”和 “居民月均用水量在区间 内 ”, 则事件 互斥 . 8 分 居民月均用水量在区间 或 内的概率是 9 分 设 表示 10位居民中月均用水量在区间 或 内的人数 ,则 10分 所求概率是 12 分 .(本小题满分 14分） 如图 7，在直三棱柱 中， ，分别是 的中点， 是 的中点 . (1)求证 : ;(2)求三棱锥 的体积 ;(3)求二面角的余弦值 . 答案： 解 :(1)证明 : 证法一 :在直三棱柱 中 , 平面 , 平面 分别是 的中点， 1 分 在 中 ,
9、 易证 在 中 , 同理可得 为等边三角形 , 2 分 又 是 的中点 , 3 分 4 分 5 分 证法二 :以 为原点， 、 、 分别为 轴、 轴、 轴的正方向，的长度为单位长度建立空间直角坐标系 . 1 分 由题设知点 的坐标分别为 . , , 2 分 =0 ,3 分 4 分 5 分 (2)解法一：取 的中点 ，连 又 平面 6 分 7 分 8 分 9 分 解法二：取 的中点 ，连 又 (本小题满分 14分） 已知椭圆 C: =1(a b 0)的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 3. (1)求椭圆 C的方程； (2)过椭圆 C上的动点 P引圆 O： 的两条切线 PA、 PB， A、
10、 B分别为切点，试探究椭圆 C上是否存在点 P，由点 P向圆 O所引的两条切线互相垂直？若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由 . 答案： 解：（ 1）设椭圆的半焦距为 ，依题意 3 分 ， 4 分 所求椭圆方程为 5 分 （ 2）如图，设 P点坐标为 ,6 分 若 ，则有 .7 分 即 8 分 有 两边平方得 9 分 又因为 在椭圆上 ,所以 10 分 , 联立解得 11 分 所以满足条件的有以下四组解 ， ， ， 13 分 所以 ,椭圆 C上存在四个点 ， ， ，分别由这四个点向圆 O所引的两条切线均互相垂直 . 14分 (本小题满分 14分） 已知数列 的前 项和是 ,满足 .
11、 (1)求数列的通项 及前 项和 ; (2)若数列 满足 ,求数列 的前 项和; (3)若对任意的 ,恒有 成立 ,求实数 的取值范围 . 答案： 解 :(1)当 时 , , 1 分 当 时 , 2 分 3 分 数列 是首项为 1,公比为 2的等比数列 . 4 分 .5 分 (2) 6 分 7 分 8 分 9 分 (3) 由 恒成立 即 恒成立 即 恒成立 10分 必须且只须满足 恒成立 11 分 即 在 R上恒成立 12 分 ,13 分 解得 .14 分 (本小题满分 14分） 已知函数 （ 1）当 时，函数 在 处的切线方程为 ，求 的值； （ 2）当 时，设 的反函数为 （ 的定义域即是
12、 的值域） .证明 :函数 在区间 内无零点 ,在区间 内有且只有一个零点； （ 3）求函数 的极值 . 答案： 解 :（ 1）当 时 , , 1 分 , 2 分 函数 在 处的切线方程为 : 3 分 整理得 : 所以有 , 解得 4 分 (2) 当 时， , 所以 ,5 分 = ， 令 得 ；令 得 ,令 得 ， 故知函数 在区间 上为减函数，在区间 为增函数，在 处取得极小值 , 进而可知 在 上为减函数，在 上为增函数 ,在 处取得极小值 .6 分 又 .7 分 所以 ,函数 在区间 内无零点，在区间 有且只有一个零点 .8分 (3)当 时 , 在 上单调递增 ,且 0. 9 分 当 时 , . 若 则 在 上单调递增 ,且 . 又 , 在 R上是增函数 ,无极值 . 10 分 若 , ,则 在 上单调递增 . 同理 , 在 R上是增函数 ,无极值 . 11 分 若 , 令 ,得 . 当 时 , 当 时 , 所以 , 在 上单调递增 ,在 上单调递减 . 又 在 上单调递增 ,故.13 分 综上 , 当 时 , . 当
