1、2013-2014学年河北衡水中学高二上第四次调研考试理数学卷（带解析） 选择题 已知 f（ 0） =2，则 =（ ） A 4 B -8 C 0 D 8 答案： D 试题分析：根据的定义， ，因此 考点：函数的极限 已知 F1,F2是椭圆 的左、右焦点，点 P是椭圆上的点，I是 F1PF2内切圆的圆心，直线 PI交 x轴于点 M,则 PI:IM的值为（ ） A B C D 答案： B 试题分析： 内切圆的圆心 是内角平分线的交点，因此 是 的平分线， 是 的平分线，由角平分线定理知 ，考虑到椭圆的定义及比例性质， 考点：角平分线性质及椭圆的定义 抛物线 的准线与双曲线 的两条渐近线所围成的三角
2、形的面积等于 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：求出三条直线，抛物线准线为 ，渐近线为 ，所围成的三角形的三个顶点为 ， ，面积易得 考点：抛物线的准线，双曲线的渐近线 以初速度 40m/s竖直向上抛一物体， t秒时刻的速度 v 40-10t2，则此物体达到最高时的高度为 ( ) A m B m C m D m 答案： A 试题分析：物体达到最高时速度为 0，令 ，则 ，则所求高度应该为 考点：积分的意义 如图，平面 平面 ，四边形 是正方形，四边形 是矩形，且 ， 是 的中点，则 与平面 所成角的正弦值为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由已知可知图中直线 两两垂直，
3、因此我们以此为空间的直角坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出 与平面 所成角的正弦值 . 考点：用向量法求直线与平面所成的角 . 如图，在空间直角坐标系中，正方体 的棱长为 1，则 等于（ ） A B C D 答案： C 试题分析：在空间直角坐标系中写出点 的坐标， ， ，所以. 考点：空间向量的坐标 . 下列积分中 dx； ； ； ，积分值等于 1的个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 答案： B 试题分析：这题我们只能把四个积分都求出来，其中 直接求积分， 要用换元法才能求出，比较麻烦，当然我们可以根据定积分的几何意义来求解 . ， ， ， 对 ， 表示函数 与直线及 轴雕成
4、的图形的面积，函数 的图象是以 为圆心，2为半径的圆的上半部分， 正好等于圆面积的 ，故， ，故选 B. 考点：求定积分及定积分的几何意义 . 函数 处的切线方程是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：根据导数的性质，函数在某点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数 . ，因此所求切线的斜率为 ，故切线方程为 考点：导数与切线方程 . 函数 单调递增区间是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：要求函数的单调增区间，就是要解不等式 . ，.选 C. 考点：函数的单调区间 . 已知函数 在 上是单调函数 ,则实数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：函数 在 上
5、单调，说明其导函数 无实根或只有两相等，即 （或 ）恒成立 . 无实根，则 . 考点：导数与函数单调性的关系 . 函数 在区间 上的最小值为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：要求函数在区间 上的最小值，一般要确定函数在此区间上的单调性，这里我们利用导数的性质来解决 ，易知当 时， ，函数 递减，当 时， ，函数 递增，因此在 时，函数 取得最小值 0. 考点：函数的最值 . 若 ,则 等于（ ） A B C D 答案： A 试题分析： 是导函数 在 时的函数值，也即函数 在 处的导数值 .题中 ，故 . 考点：导数的定义 . 填空题 如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1中， AB
6、AC 1， AA1 2， B1A1C1 90，D为 BB1的中点，则异面直线 C1D与 A1C所成角的余弦值为 _ 答案： 试题分析：求异面直线所成的角，关键是作出这个角，一般把异面直线的一条平移后与另一条相交，得到要求的角（当然异面直线所成的角不大于 ）本题中我们就可以把 向下平移到过点 （实际作图时，是延长 到 ，使，则有 ，然后在 中求出 ，就可得出题中要求的角 考点：异面直线所成的角 若中心在原点 ,以坐标轴为对称轴的圆锥曲线 ,离心率为 ,且过点 ,则曲线 的方程为 _. 答案： 试题分析：离心率为 的圆锥曲线是双曲线，而且是等轴双曲线，故可设基方程为 ，把点 代入可求出 因此双曲线
7、方程为 考点：等轴双曲线的标准方程 由曲线 与 ， ， 所围成的平面图形的面积为_. 答案： 试题分析：首先可以看出曲线 与 交于两点 ，如图，因此所求图形面积为 考点：函数图象所围图形的面积 已知函数 在 R上可导，函数 ，则 . 答案： 试题分析：这是复合函数，求导数时要注意利用复合函数的求导公式， ，则 考点：复合函数的导数 解答题 计算下列定积分 （ 1） （ 2） 答案：（ 1） ；（ 2） 1 试题分析：（ 1）含绝对值的式子的积分，一般要分类分段计算，实质就是去绝对值符号，按绝对值的正负分段；（ 2）一次分式函数积分公式： 试题：（ 1）； （ 2） . 考点：（ 1）分段函数的
8、积分；（ 2）一次分式的积分 . 如图，在四棱锥 中， 平面 ABCD，底面 ABCD是菱形， . （ 1）求证： 平面 PAC； （ 2）若 ，求 与 所成角的余弦值； （ 3）当平面 PBC与平面 PDC 垂直时，求 PA的长 . 答案：（ 1）证明见；（ 2） ；（ 3） 试题分析：（ 1）要证线面垂直，就是要证这条直线与平面内的两条相交直线垂直，这里由于四边形 是菱形，所以 ，另外一条直线当然考虑（或者 ），本题中应该是 ；（ 2）求异面直线所成的角，一般可通过平移变成相交直线所成的角，考虑到第（ 3）小题问题，且题中有垂直的直线，故考虑建立空间直角坐标系（以 的交点 为坐标原点， 为
9、 轴，为 轴，过 与 平行的直线为 轴），则 与 所成角就是 与的夹角（锐角（或其补角）或直角），平面 与平面 垂直就是它们的法向量垂直，即它们的法向量的数量积为 0 试题： (1)证明：因为四边形 是菱形，所以 ，又因为 平面，所以 ，而 ，所以 平面 . （ 2）设 ，因为 ， 所以 ，如图，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，设 与 所成的角为 ，则 （ 3）由（ 2）知 设 则 设平面 的法 向量 则 ，所以 令 则， 所以 同理，平面 的法向量 ，因为平面，所以 ，即 解得 ，所以 考点：（ 1）线面垂直；（ 2）异面直线所成的角；（ 3）两平面垂直 在三棱锥
10、S-ABC中 , ABC是边长为 4的正三角形 ,平面 SAC 平面 ABC, 、 分别为 、 的中点 . (1)求二面角 的余弦值 ; (2)求点 到平面 的距离 . 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）本题中取 中点 ，将会出现许多垂直，这正是我们解题时需要的结果，由于 ，则 ，由于平面 平面 ，则平面 ， 是正三角形，则 ，有了这些垂直后，就可以建立空间直角坐标系（以 为原点， 分别为 轴），写出相应点的坐标，计算所需向量的坐标，设 分别是二面角的两个面的法向量，则二面角的余弦值，就等于 （或者其相反数，这要通过图形观察确定）；（ 2）设平面 的法向量是 ，则点 以平面 的距离
11、为 试题： 取 中点 ,连结 . , , , . 平面 平面 , 平面 平面 , 平面 , . 如图所示建立空间直角坐标系 ,则 , , . 设 为平面 的一个法向量， 则 ， 取 ，则 ， ， 又 为平面 的一个法向量， ，即二面角 的余弦值为 (2)由 得 ,又 为平面 的一个法向量 , , 点 到平面 的距离 . 考点：（ 1）二面角；（ 2）点到平面的距离 已知函数 在 与 时，都取得极值 （ 1）求 的值； （ 2）若 ，求 的单调区间和极值； （ 3）若对 都有 恒成立，求 的取值范围 答案：（ 1） ；（ 2） f (x)的递增区间为（ -， - ），及（ 1， ），递减区间为（
12、 - ， 1），当 x - 时， f (x)有极大值， f (- ) ；当x 1时， f (x)有极小值， f (1) - ；（ 3） 或 试题分析：（ 1）函数的极值点是使导数等于 0的 的值，因此本题中一定有和 ，由此可解出 的值；（ 2）再由 可求出 ，而求单调区间，很显然是解不等式 （得增区间）或 （得减区间），然后可得相应的极大值和极小值；（ 3） 不等式 恒成立，实际上就是当 时 的最大值小于 ，因此问题转化为先求 在上的最大值 ，然后再解不等式 即可 试题：（ 1） f (x) 3x2 2a x b 0 由题设， x 1， x - 为 f (x) 0的解 - a 1- ， 1(-
13、 ) a - ， b -2 3分 经检验得：这时 与 都是极值点 4 分 （ 2） f (x) x3- x2-2 x c，由 f (-1) -1- 2 c ， c 1 f (x) x3- x2-2 x 1 f(x)的递增区间为（ -， - ），及（ 1， ），递减区间为（ - ， 1） 当 x - 时， f (x)有极大值， f (- ) ； 当 x 1时， f (x)有极小值， f (1) - 8 分 （ 3）由（ 1）得， f(x) (x-1)(3x 2)， f (x) x3- x2-2 x c， f (x)在 -1， - 及（ 1， 2上递增，在（ - ， 1）递减 而 f (- ) -
14、 - c c f (2) 8-2-4 c c 2 f (x)在 -1， 2上的最大值为 c 2 ， 或 或 12分 考点：（ 1）导数与极值；（ 2）导数与单调区间；（ 3）不等式恒成立问题 已知函数 ， . （ 1）如果函数 在 上是单调减函数，求 的取值范围； （ 2）是否存在实数 ，使得方程 在区间 内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出 的取值范围；若不存在，请说明理由 答案：（ 1） ；（ 2）存在，且 的范围是 试题分析：（ 1）由于 是多项式函数，故对最高次项系数分类， 时它是一 次函数，是增函数，不是减函数，当 时， 是二次函数，需要考虑对称轴和开口方向；（ 2）首先把方
15、程 化简，变为，设 ，即方程在区间 内有且只有两个不相等的实数根，转化为讨论函数 的单调性及极值问题，如本题中，通过分析导函数 ，知 在 上是减函数，在 上增函数，因此条件为 解这个不等式组即得所求的取值范围 试题：（ 1）当 时， 在 是单调增函数，不符合题意； 当 时， 的对称轴方程为 ，由于 在 上是单调增函数，不符合题意； 当 时，函数 在 上是单调减函数，则 ，解得 综上， 的取值范围是 4分 （ 2）把方程 整理为 ， 即为方程 ， 5分 设 ，原方程在区间 内有且只有两个不相等的实数根，即为函数 在区间 内有且只有两个零点 6分 ， 令 ， ，解得 或 （舍）， 当 时， ， 是减函数， 当 时， ， 是增函数 10分 在 内有且只有两个不相等的零点，只需 11分 即 解得 ，所以 的取值范围是 考点：（ 1）单调减函数的判定；（ 2）方程根的个数的判定
