1、关于实数完备性的6个基本定理,1. 确界原理(定理1.1);,2. 单调有界定理(定理2.9);,3. 区间套定理(定理7.1);,4. 有限覆盖定理(定理7.3),5. 聚点定理(定理7.2),6. 柯西收敛准则(定理2.10);,在实数系中这六个命题是相互等价的 。,第七章,在有理数系中这六个命题不成立 。,1. 确界原理,在实数系中,任意非空有上(下)界的数集必有上(下)确界。,2. 单调有界定理;,在实数系中,单调有界数列必有极限。,即数列的单调有界定理在有理数域不成立。,3. 区间套定理,若 是一个区间套,则在实数系中存在唯一的点,所以区间套定理在有理数系不成立。,反例:,4. 有限
2、覆盖定理,在实数系中,闭区间a, b的任一开覆盖H,必可从H中选出有限个开区间覆盖a, b。,反例:,5. 聚点定理,实数系中的任意有界无限点集至少有一个聚点。,反例:,S是有界的无限有理点集,在实数域内的聚点为e,因而在有理数域没有聚点。,5.1 致密性定理:,在实数系中,有界数列必含有收敛子列。,反例:,其极限为无理数e,从而任一子列均收敛于e。,故xn在有理数域内没有收敛的子列。,6. 柯西收敛准则,反例:,即柯西收敛准则在有理数域不成立。,几个概念:,区间套(闭区间套),,聚点(3个等价定义及其等价性的证明),,开覆盖(有限开覆盖)。,举例说明闭区间套定理中将闭区间换成开区间结论不成立
3、。,但不存在属于所有开区间的公共点。,举例说明有限覆盖定理中将闭区间换成开区间结论不成立。,但不能从中选出有限个开区间盖住(0, 1)。,因为右端点始终为1,左端点有限个中必有一个最小者,,构成了开区间(0, 1)的一个开覆盖 ,,积分法,原 函 数,选 择 u 有 效 方 法,基 本 积 分 表,第一换元法 第二换元法,直接 积分法,分部 积分法,不 定 积 分,几种特殊类型 函数的积分,第八章不定积分,一、主要内容,1、原函数与不定积分的概念。,2、不定积分: (1)存在性;(2)唯一性;(3)如何求?,3、不定积分运算与微分运算的互逆关系。,4、积分表。,5、不定积分的计算: (1)基本
4、思想化归为积分表中的积分;,(2)常用积分方法:,1)恒等变形(加一项减一项、乘一项除一项、三角恒等变形);,2)线性运算;,3)换元法:第一类(凑分法)不需要变换式可逆;第二类变换式必须可逆;,4)分部积分法常可用于两个不同类型函数乘积的积分; “对反幂三指,前者设为u”,5)三种特殊类型函数 “程序化”的积分法。,注:检验积分结果正确与否的基本方法。,(3)求积分比求微分困难1)没有万能的积分法;2)有的初等函数的积分不是初等函数,从而“积不出来”,如,另外:每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.,6、基本积分表,是常数),7、凑微分常见类型:,凑微分时常用到:,凑微分法就是设法把,一
5、般没有规律可循,只有掌握典型例题,多做多总结。,三角代换去掉如下二次根式:,可令,可令,可令,8、常用代换:,当被积函数含有两种或两种以上的根式 时,可采用令x=tn, (其中n为各根指数的最小公倍数),当分母的阶分子的阶时, 可考虑试用倒代换:,一、主要内容,1、定积分的定义,第九章 定积分,定积分是个数,与被积函数在有限个点处的定义无关;,与积分变量记号的选择无关。,(2) 利用牛顿-莱布尼兹公式。,2、定积分的计算,在已知定积分存在的前提下,可用下面两种方法求出其值:,3、定积分的几何意义,面积的代数和。,4、定积分的性质,线性、,关于积分区间的可加性、,估值不等式、,积分第一、第二中值
6、定理。,5、定积分与不定积分的联系,(1)变上限积分的导数公式;,保号性、,(2)牛-莱公式。,(3)可积函数不一定有原函数,有原函数的函数不一定可积。,因为“含有第一类间断点的函数”都没有原函数,,而“含有有限个第一类间断点的函数”都可积。,所以可积函数不一定有原函数。,即说明有原函数的函数不一定可积。,6、可积条件,必要条件 若函数f在a,b上可积,则f在a,b上必定有界。,充要条件(1) 函数f在a,b可积当且仅当:,使得属于T的所有小区间中,,充要条件(2) 函数f在a,b可积当且仅当:,对应于振幅 的那些小区间 的总长,7、可积函数类,1、在a,b上连续的函数在a,b可积。,2、在a
7、,b上只有有限个间断点的有界函数在 a,b上可积。,3、在 a,b上单调的有界函数在a,b上可积。(允许有无限多个间断点),但并非可积函数只有这3类。如:黎曼函数不属于这3类的任何一类,但它是可积的。,在a,b上函数的间断点形成收敛的数列,则函数在a,b可积。,8、利用不定积分计算定积分,(1)线性;,恒等变形;,换元;,分部积分;,一些特殊类型函数的积分。,(2)与不定积分法的差别,(3)利用对称性、周期性及几何意义。,牛-莱公式,积分限的确定,换元要换积分限,原函数求出后不需回代。,(4) 开偶次方时,要带绝对值。,9、杂记,(1)定积分可用于计算某类特殊数列的极限。,(2) 对D(x)和
8、R(x) 的可积问题多一些关注。,1、微元法的理论依据,第10章,2、名称释译,3、所求量的特点,4、解题步骤,平面图形的面积,直角坐标,参数方程,极坐标,弧微分,弧长,旋转体体积,旋转体侧面积,?,5、定积分应用的常用公式,(1) 平面图形的面积,直角坐标情形,上曲线减下曲线对x积分。,A,x=f(y),(图5),x=g(y),右曲线减左曲线对y积分。,一般解题步骤:,(1)画草图,定结构;,(2)解必要的交点,定积分限;,(3)选择适当公式,求出面积(定积分)。,注意:答案永远为正。,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,参数方程所表示的函数,极坐标情形,(2) 体积,平行截面面积
9、为已知的立体的体积,(3) 平面曲线的弧长,弧长,A曲线弧为,弧长,B曲线弧为,C曲线弧为,弧长,(4) 旋转体的侧面积,(5) 变力所作的功,(6) 液体压力,(7) 引力,(8) 函数的平均值,第11章,一、两类反常积分的概念,a为任意常数,如果a,b都是瑕点,则定义,c为(a,b)内任一实数。,当且仅当右端两个积分都收敛时,才称左端瑕积分收敛。,二、计算方法求正常积分+求极限;,三、两类反常积分的判敛方法,1、Cauchy准则,2、比较法则,通常取p-积分为比较对象,且常用极限形式。,3、Dirichelet判别法和Abel判别法,用于判别两个函数相乘时的反常积分的敛散性。,四、绝对收敛
10、与条件收敛,定积分:,无穷积分:,瑕积分:,第12章,数项级数,正项级数,交错级数,一般项级数,收敛级数的基本性质:,3. 级数的敛散性与级数的有限项无关,但收敛的和一般会有影响。,4 . 收敛级数加括号后仍收敛,且和不变(即有结合律);,5. 绝对收敛级数的任意重排级数仍绝对收敛,且和不变(即有交换律)。,6. 收敛级数与发散级数的和必为发散级数。,正项级数审敛法,1、比较法(un为有理表达式时);,2、比式法(un含n!时);,3、根式法(un含n次方时);,4、积分法 ( );,5、拉贝法( );,交错级数审敛法,这是Dirichelet判别法的特殊情形。,一般项级数审敛法,1、Abel
11、判别法,,2、Dirichelet判别法。,用比值或根值判别法判定的非绝对收敛级数一定发散。,则它们的乘积按任意顺序所得的级数也绝对收敛于AB.,绝对收敛级数的性质,条件收敛的级数,可以适当重排,使其按任意预定的方式收敛或发散。,第13章,等价于下列3条之一:,好用!,典型例题:,I,的常用判定法:,等价于下列3条之一:,典型例题:,(1)优级数判别法,(2)Abel判别法,(3)Dirichelet判别法,的常用判定法:,一致收敛函数列的性质:,(1),(2),(3),一致收敛函数项级数的性质,(1),(2),(3),第14章,一、幂级数及其收敛半径、收敛区间、收敛域,说明幂级数存在收敛半径
12、。,收敛半径的求法:,(1)根式法,,(2)比式法,,这个方法不适合求缺项级数的收敛半径。,幂级数在收敛区间端点的收敛情况,转化成数项级数的判敛问题。,二、幂级数的性质,(1)在收敛区间内闭一致收敛,,(2)和函数在收敛区间连续,,(3)在收敛区间可以逐项求导、逐项求积,且所得幂级数收敛半径不变。,三、幂级数的求和,通常采用逐项求导、逐项求积,并利用一些已知级数的和函数。,注意这个级数的各种变异。,记住下列幂级数的和函数:,四、函数展开成幂级数,如果f(x) 能展成幂级数,则这个幂级数是唯一的,就是f(x)的泰勒级数。,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,2.间接法,根据唯一性, 利用常见展开式
13、, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式.,记住几个特殊函数的展开式:,注意收敛范围。,本章讨论了下面三类问题:,1、幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域。,2、幂级数的一致收敛性,及和函数的性质。,3、函数展开成幂级数的条件及方法。,请同学体会求幂级数和函数的方法,并注意在逐项求积时,收敛域可能扩大,只要幂级数在端点收敛,而和函数在相应点有定义,那么和函数成立的区间就可以包含这个端点。(这是P51.3的结果),逐项求导时,一般收敛域会减少。,如,它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是,第十五章,傅里叶级数的理论基础:,三角函数系的正交性,(1)它们的最小公共周期为,(2)任何两个不同的函数相乘在 上积分为0,,(3)任何一个函数的平方在 上积分不为0,,本章重点研究函数展成三角级数的方法。,如果f(x)能展成一致收敛的三角级数,则这个三角级数必是f(x) 的傅里叶级数。,f(x)的傅里叶系数,f(x)的傅里叶级数,f(x)的傅里叶系数,f(x)的傅里叶级数,收敛定理,1、,2、,本章常见题型:,对f(x)作周期延拓,使之成为周期为2 (2l)的函数。,此时答案不唯一。,上述2、3类问题,均不需把延拓结果写出。,