1、中点模型的构造及应用 一、遇到以下情况考虑中点模型： 任意三角形或四边形中点或与中点有关的线段 出现两个或三个中点考虑三角形中线定理 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线 已知等边、等腰三角形底边中点，可以考虑与顶角连接用“三线合一” 有些题目不直接给出中点，我们可以挖掘其中隐含中点，比如等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边形、圆中圆心是直径中点等可以出现中点的图形通常考虑用中点模型 三角形中线的交点称为重心，它把中线分的线段比为 2:1 二、中点模型辅助线构造方法分类 （ 一 ） 倍长中线法（构造 全等三角形，八字全等） 当已知条件中出现中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形
2、解决问题。 如图，在 ABC 中， D 为 BC 中点，延长 AD 到 E 使 AD=DE，连接 BE，则有： ADC EDB。作用：转移线段和角。 （二） 倍长类中线法（与中点有关线段，构造全等三角形，八字全等） 当已知条件中出现类中线时，常常将此类中线倍长构造全等三角形解决 问题。 如图，在 ABC 中， D 为 BC 中点，延长 ED 到 F 使 ED=DF，连接 CF，则有： BED CFD。作用：转移线段和角。 （ 三 ） 直角三角形斜边中线法 当已知条件中同时出现直角三角形和中点时，常构造直角三角形斜边中线，然后再利用直角三角形斜边的中线性质解决问题。 如 下 图，在 Rt ABC
3、 中， ACB 90 ， D 为 AB 中点，则有：12C D A D B D A B （ 四 ） 等腰三角形三线合一 当出现等腰三角形时，常隐含有底边中点，将其与顶角连接，可构成三线合一。 在 中 :（ 1） AC= ；（ 2） CD 平分 ACB ；（ 3） AD= ，（ 4） CD AB “知二得二”：比 如由（ 2）（ 3）可得出（ 1）（ 4） .也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出剩下两条。 （ 五 ） 中位线法 当已知条件中同时出现两个及以上中点时，常考虑构造中位线；或出现一个中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线。 如图，在 ABC 中，
4、D， E 分别是 AB、 AC 边中点，则有 DE BC ， 1DE BC2=。 三 、 练习 （一） 倍长中线法 1.（ 2014 秋津南区校级期中） 已知：在 ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， E 是AD 上一点，且 BE AC，延长 BE 交 AC 于 F，求证： AF EF 2. （ 2017湘潭） 如图，在 ABCD 中， DE CE，连接 AE 并延长交 BC 的延长线于点 F （ 1）求证： ADE FCE； （ 2）若 AB 2BC， F 36求 B 的度数 3.（ 2017 江西萍乡， 15） 如图，在 ABC 中， CD 是 AB 边上的中线， E 是 CD 的中
5、点，过点 C 作 AB 的平行线交 AE 的延长线于点 F，连接 BF （ 1）求证： CF AD； （ 2）若 CA CB，试判断四边形 CDBF 的形状，并说明理由 4.（ 2014鄂尔多斯） 如图 1，在 ABCD 中，点 E 是 BC 边的中点，连接 AE 并延长，交 DC 的延长线于点 F且 AEC 2 ABE连接 BF、 AC （ 1）求证：四边形 ABFC 的是矩形； （ 2）在图 1 中，若点 M 是 BF 上一点，沿 AM 折叠 ABM，使点 B 恰好落在线段 DF 上的点 B处（如图 2）， AB 13， AC 12，求 MF 的长 5.（ 2017贵阳 ,24） （ 1）
6、阅读理解：如图 ，在四边形 ABCD 中， AB DC， E 是BC 的中点，若 AE 是 BAD 的平分线，试判断 AB， AD， DC 之间的等量关系 解决此问题可以用如下方法：延长 AE 交 DC 的延长线于点 F，易证 AEB FEC，得到 AB FC，从而把 AB， AD， DC 转化在一个三角形中即可判断 AB、 AD、 DC 之间的等量关系为 _； （ 2）问题探究：如图，在四边形 ABCD 中， AB DC， AF 与 DC 的延长线交于点 F， E 是 BC 的中点，若 AE 是 BAF 的平分线，试探究 AB， AF， CF 之间的等量关系，并证明你的结论 （ 3） 问题解
7、决：如图， AB CF， AE 与 BC 交于点 E， BE： EC 2： 3，点 D 在线段 AE 上，且 EDF BAE，试判断 AB、 DF、 CF 之间的数量关系，并证明你的结论 （二） 倍长类中线法 1.（ 2016 秋江都区期中） 已知：如图， E 是 BC 的中点，点 A 在 DE 上，且 BAE CDE 求证： AB CD 2.（ 2017重庆， 24） 在 ABM 中， ABM 45， AM BM，垂足为 M，点 C是 BM 延长线上一点，连接 AC （ 1）如图 1，若 AB 3 2 ， BC 5，求 AC 的长； （ 2）如图 2，点 D 是线段 AM 上一点， MD M
8、C，点 E 是 ABC 外一点， ECAC，连接 ED 并延长交 BC 于点 F，且点 F 是线段 BC 的中点，求证： BDFCEF 3.（ 2017山西 ， 17） 已知：如图，在 ABCD 中，延长 AB 至点 E，延长 CD 至点 F，使得 BE DF连接 EF，与对角线 AC 交于点 O 求证： OE OF （三） 直角三角形斜边中线法 1.（ 2016乌鲁木齐， 9） 如 上 图 ，在 Rt ABC 中，点 E 在 AB 上，把这个直角三角形沿 CE 折叠后，使点 B 恰好落到斜边 AC 的中点 O 处，若 BC 3，则折痕 CE的长为（ ） A. 3 B. 23 C. 33 D.
9、6 2. （ 2015乌鲁木齐 ， 9） 如图，将斜边长为 4 的直角三角板放在直角坐标系 xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合， P 为斜边的中点现将此三角板绕 点 O 顺时针旋转 120后点 P 的对应点的坐标是（ ） A 31（ ， ） B. 3（ 1， - ） C. 32（ 2 ， ） D. 3（ 2， -2 ） 3.（ 2017新疆， 22） 如图， AC 为 O 的直径， B 为 O 上一点， ACB 30，延长 CB 至点 D，使得 CB BD，过点 D 作 DE AC，垂足 E 在 CA 的延长线上，连接 BE （ 1）求证： BE 是 O 的切线； （ 2）当 BE 3 时，
10、求图中阴影部分的面积 4. （ 2017北京 ， 22） 如图，在四边形 ABCD 中， BD 为一条对角线， AD BC，AD 2BC， ABD 90， E 为 AD 的中点，连接 BE （ 1）求证：四边形 BCDE 为菱形； （ 2）连接 AC，若 AC 平分 BAD， BC 1，求 AC 的长 5. （ 2015 北京东城， 23） 如图， ABC 中， BCA 90， CD 是边 AB 上的中线，分别过点 C， D 作 BA， BC 的平行线交于点 E，且 DE 交 AC 于点 O，连接 AE （ 1）求证：四边形 ADCE 是菱形； （ 2）若 AC 2DE，求 sin CDB 的
11、值 （四） 等腰三角形三线合一 1.（ 2017荆州） 如图，在 ABC 中， AB AC， A 30， AB 的垂直平分线 l交 AC 于点 D，则 CBD 的度数为（ ） A.30 B.45 C.50 D.75 2.（ 2017陕西， 9） 如图， ABC 是 O 的内接三角形， C 30， O 的半径为 5，若点 P 是 O 上的一点，在 ABP 中， PB AB，则 PA 的长为（ ） A.5 B. 532C. 52 D. 53 3.（ 2017呼和浩特， 18） 如图，等腰三角形 ABC 中， BD， CE 分别是两腰上的中线 （ 1）求证： BD CE； （ 2）设 BD 与 CE
12、 相交于点 O，点 M， N 分别为线段 BO 和 CO 的中点，当 ABC的重心到顶点 A 的距离与底边长相等时，判断四边形 DEMN 的形状，无需说 明理由 （ 五 ） 中位线法 1.（ 2015郑州） 如图， D 是 ABC 内一点， BD CD， AD 12， BD 8， CD 6，E、 F、 G、 H 分别是 AB、 AC、 CD、 BD 的中点，则四边形 EFGH 的周长是（ ） A.14 B.18 C.20 D.22 2.（ 2013乌鲁木齐 ， 15） 如图， ABC 中， AD 是中线， AE 是角平分线， CF AE于 F， AB 5， AC 2，则 DF 的长为 _ 3.
13、（ 2017遵义） 如图， ABC 的面积是 12，点 D、 E、 F、 G 分别是 BC、 AD、 BE、CE 的中点，则 AFG 的面积是（ ） A.4.5 B.5 C.5.5 D.6 4.（ 2017天津， 17） 如图，正方形 ABCD 和正方形 EFCG 的边长分别为 3 和 1，点 F， G 分别在边 BC， CD 上， P 为 AE 的中点，连接 PG，则 PG 的长为 _ 5.（ 2014 春硚口区期末） 如图，已知 ABC 的中线 BD、 CE 相交于点 O、 M、 N分别为 OB、 OC 的中点 （ 1）求证： MD 和 NE 互相平分； （ 2）若 BD AC， EM 2
14、2， OD CD 7，求 OCB 的面积 6.（ 2017云南 ， 20） 如图， ABC 是以 BC 为底的等腰三角形， AD 是边 BC 上的高，点 E、 F 分别是 AB、 AC 的中点 （ 1）求证：四边形 AEDF 是菱形； （ 2）如果四边形 AEDF 的周长为 12，两条对角线的和等于 7，求四边形 AEDF 的面积 S 7.（ 2017长春） 【再现】如图，在 ABC 中，点 D， E 分别是 AB， AC 的中点，可以得到： DE BC，且 1DE BC2（不需要证明） 【探究】如图，在四边形 ABCD 中，点 E， F， G， H 分别是 AB， BC， CD，DA 的中点
15、，判断四边形 EFGH 的形状，并加以证明 【应用】在（ 1）【探究】的条件下，四边形 ABCD 中，满足什么条件时，四边形 EFGH 是菱形？你添加的条件是： _（只添加一个条件） （ 2）如图，在四边形 ABCD 中，点 E， F， G， H 分别是 AB， BC， CD， DA 的中点，对角线 AC， BD 相交于点 O若 AO OC，四边形 ABCD 面积为 5，则阴影部分图形的面积和为 _. 8.（ 2015巴东县模拟） 如图，在四边形 ABCD 中， AB DC， E、 F 分别是 AD、 BC的中点， G、 H 分别是对角线 BD、 AC 的中点 （ 1）求证：四边形 EGFH 是菱形； （ 2）若 AB 54，则当 ABC DCB 90时，求四边形 EGFH 的面积
