1、初中数学九大几何模型 一、 手拉手模型 -旋转型全等 （ 1） 等边三角形 【 条件 】 ： OAB和 OCD均为等边三角形； 【 结论】： OAC OBD； AEB=60； OE平分 AED （ 2） 等腰直角三角形 【 条件 】 ： OAB和 OCD均为等腰直角三角形； 【 结论】： OAC OBD； AEB=90； OE平分 AED （ 3） 顶角相等的两任意等腰三角形 【 条件 】 ： OAB和 OCD均为等腰三角形； 且 COD= AOB 【结论】： OAC OBD； AEB= AOB； OE平分 AED OA BCDE图 1 OA BCDE图 2 OA BCDE图 1OA BCDE
2、图 2OA BCDEOA BCDE图 1 图 2二、 模型二： 手拉手模型 -旋转型相似 （ 1） 一般情况 【 条件 】 ： CD AB， 将 OCD旋转至右图的位置 【 结论】：右图中 OCD OAB OAC OBD； 延长 AC交 BD于点 E，必有 BEC= BOA （ 2） 特殊情况 【 条件 】 ： CD AB， AOB=90 将 OCD旋转至右图的位置 【结论】：右图中 OCD OAB OAC OBD； 延长 AC交 BD于点 E，必有 BEC= BOA； OAOBOCODACBDtan OCD； BD AC； 连接 AD、 BC，必有 2222 CDABBCAD ； BDAC2
3、1S BCD 三、 模型三、对角互补模型 （ 1） 全等型 -90 【 条件 】 ： AOB= DCE=90； OC 平分 AOB 【结论】： CD=CE； OD+OE= 2 OC； 2O C EO C DD C E OC21SSS 证明提示： 作垂直，如图 2，证明 CDM CEN 过点 C作 CF OC，如图 3，证明 ODC FEC 当 DCE的一边交 AO 的延长线于 D时（如图 4）： 以上三个结论： CD=CE； OE-OD= 2 OC； 2O CDO CE OC21SS OA BCDOA BC DEOA BC DEOA BCDAO BCDE图 1 AO BCDEMN图 2AO B
4、CDE F图 3AO BCDEMN图 4（ 2） 全等型 -120 【条件】： AOB=2 DCE=120； OC平分 AOB 【结论】： CD=CE； OD+OE=OC； 2O C EO C DD C E OC43SSS 证明提示：可参考“全等型 -90”证法一； 如右下图：在 OB上取一点 F，使 OF=OC，证明 OCF 为等边三角形。 （ 3） 全等型 -任意角 【条件】： AOB=2， DCE=180-2； CD=CE；【结论】： OC平分 AOB； OD+OE=2OC cos； c o ss inOCSSS 2O C EO C DD C E 当 DCE的一边交 AO 的延长线于 D
5、时（如右下图）： 原结论变成： ； ； 。 可参考上述第种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 AO BCEFAO BCEFFAO BEDCAOB ECD对角互补模型总结： 常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线； 初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； 注意 OC平分 AOB时， CDE= CED= COA= COB如何引导？ 四、 模型四：角含半角模型 90 （ 1） 角含半角模型 90 -1 【条件】：正方形 ABCD； EAF=45；【结论】： EF=DF+BE； CEF的周长为正方形 ABCD周长的一半； 也可以这样： 【条件】：正方形
6、ABCD； EF=DF+BE；【结论】： EAF=45； （ 2） 角含半角模型 90 -2 【条件】：正方形 ABCD； EAF=45；【结论】： EF=DF-BE； AO BCDEAB CDEFAB CDEFGABCDEFABCDEFABCDEF（ 3） 角含半角模型 90 -3 【条件】： Rt ABC； DAE=45；【结论】： 222 DECEBD （如图 1） 若 DAE旋转到 ABC 外部时，结论 222 DECEBD 仍然成立（如图 2） （ 4） 角含半角模型 90变形 【条件】：正方形 ABCD； EAF=45；【结论】： AHE为等腰直角三角形； 证明：连接 AC（方法不
7、唯一） DAC= EAF=45， DAH= CAE，又 ACB= ADB=45； DAH CAE，AEACAHDA AHE ADC， AHE为等腰直角三角形 模型五：倍长中线类模型 （ 1） 倍长中线类模型 -1 【条件】： 矩形 ABCD； BD=BE； DF=EF； 【结论】： AF CF AB CD EAB CD EFAB CD EAB CD EFAB CDGHFEAB CDGHFEAB C EFDHAB EFDH模型提取：有平行线 AD BE；平行线间线段有中点 DF=EF； 可以构造“ 8”字全等 ADF HEF。 （ 2） 倍长中线类模型 -2 【条件】： 平行四边形 ABCD；
8、BC=2AB； AM=DM； CE AB； 【结论】： EMD=3 MEA 辅助线：有平行 AB CD，有中点 AM=DM，延长 EM，构造 AME DMF，连接 CM构造 等腰 EMC，等腰 MCF。（通过构造 8字全等线段数量及位置关系，角的大小转化） 模型六：相似三角形 360旋转模型 （ 1）相似三角形（等腰直角） 360旋转模型 -倍长中线法 【条件】： ADE、 ABC均为等腰直角三角形； EF=CF； 【结论】： DF=BF； DF BF 辅助线：延长 DF到点 G，使 FG=DF，连接 CG、 BG、 BD，证明 BDG为等腰直角三角形； 突破点： ABD CBG； 难点：证明
9、 BAO= BCG （ 2）相似三角形（等腰直角） 360旋转模型 -补全法 【条件】： ADE、 ABC均为等腰直角三角形； EF=CF； 【结论】： DF=BF； DF BF 辅助线：构造等腰直角 AEG、 AHC； 辅助线思路：将 DF与 BF转化到 CG与 EF。 AB CDMEAB CDMEFAEBDFCAEBDFCHGAEBDFCABDFCG（ 3） 任意相似直角三角形 360旋转模型 -补全法 【条件】： OAB ODC； OAB= ODC=90； BE=CE； 【结论】： AE=DE； AED=2 ABO 辅助线：延长 BA到 G，使 AG=AB，延长 CD到点 H 使 DH=
10、CD，补全 OGB、 OCH 构造旋转模型。转化 AE 与 DE到 CG与 BH，难点在转化 AED。 （ 4） 任意相似直角三角形 360旋转模型 -倍长法 【条件】： OAB ODC； OAB= ODC=90； BE=CE； 【结论】： AE=DE； AED=2 ABO 辅助线：延长 DE 至 M，使 ME=DE，将结论的两个条件转化为证明 AMD ABO，此为难点， 将 AMD ABC 继续转化为证明 ABM AOD，使用两边成比例且夹角相等，此处难点在证明 ABM= AOD 模型七：最短路程模型 （ 1） 最短路程模型一（将军饮马类） 总结：右四图为常见的轴对称类最短路程问题， 最后都
11、转化到：“两点之间，线段最短：解决； 特点：动点在直线上；起点，终点固定 OABDCEOABDCEGHOABDCEOABDCEMABBPlP A + P B（ 2） 最短路程模型二（点到直线类 1） 【条件】： OC平分 AOB； M为 OB 上一定点； P为 OC 上一动点； Q为 OB 上一动点； 【问题】：求 MP+PQ最小时， P、 Q的位置？ 辅助线：将作 Q关于 OC对称点 Q ，转化 PQ =PQ，过点 M作 MH OA， 则 MP+PQ=MP+PQ MH(垂线段最短） （ 3） 最短路程模型二（点到直线类 2） 【条件】： A(0,4),B(-2,0),P(0,n） 【问题】：
12、 n为何值时， PA55PB 最小？ 求解方法： x 轴上取 C(2,0),使 sin OAC=55 ；过 B 作 BD AC，交 y 轴于点 E，即为所求； tan EBO=tan OAC=21，即 E（ 0， 1） AAPQBBl 2l 1P A + P Q + B QA AP QBBlAAPQBl 1l 2P A + P Q + B QP A + P Q + B QAP O Q M BQHPAxyOBPAxyOBPACDE（ 4） 最短路程模型三（旋转类最值模型） 【条件】： 线段 OA=4， OB=2； OB绕点 O在平面内 360旋转； 【问题】： AB 的最大值，最小值分别为多少？
13、 【结论】：以点 O为圆心， OB为半径作圆，如图所示，将问题转化为 “ 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”。 最大值： OA+OB；最小值： OA-OB 【条件】： 线段 OA=4， OB=2； 以点 O为圆心， OB， OC为半径作圆 ； 点 P是两圆所组成圆环内部（含边界）一点； 【结论】：若 PA的最大值为 10，则 OC= 6 ；若 PA的最小值为 1，则 OC= 3 ； 若 PA 的最小值为 2，则 PC的取值范围是 0PC2 【条件】： Rt OBC， OBC=30； OC=2； OA=1；点 P为 BC上动点（可与端点重合）； OBC绕点 O旋转 【结论】： PA
14、最大值为 OA+OB= 321 ； PA的最小值为 13OAOB21 如下图，圆的最小半径为 O到 BC 垂线段长。 OAB最 小 值 位 置 最 大 值 位 置BCA OPA O BPCA OPBC模型八：二倍角模型 【条件】：在 ABC中， B=2 C； 辅助线：以 BC的垂直平分线为对称轴，作点 A的对称点 A ，连接 AA 、 BA 、 CA 、 则 BA=AA =CA (注意这个结论） 此种辅助线作法是二倍角三角形常见的辅助线作法之一，不是唯一作法。 模型九：相似三角形模型 （ 1） 相似三角形模型 -基本型 平行类： DE BC； A字型 8字型 A字型 结论：BCDEACAEAB
15、AD (注意对应边要对应） （ 2） 相似三角形模型 -斜交型 【条件】：如右图， AED= ACB=90； 【结论】： AE AB=AC AD 【条件】：如右图， ACE= ABC； 【结论】： AC2=AE AB AB CAB CAAB CD EADEB CAD EB CABCDEAB CDE斜 交 型 斜 交 型AB CEAB CE斜 交 型 双 垂 型第四个图还存在射影定理： AE EC=BC AC； BC2=BE BA； CE2=AE BE； （ 3） 相似三角形模型 -一线三等角型 【条件】：（ 1）图： ABC= ACE= CDE=90； （ 2）图： ABC= ACE= CDE=60； （ 3）图： ABC= ACE= CDE=45； 【结论】： ABC CDE； AB DE=BC CD； 一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系。 （ 4） 相似三角形模型 -圆幂定理型 【条件】：（ 2）图： PA 为圆的切线； 【结论】：（ 1）图： PA PB=PC PD； （ 2）图： PA2=PC PB; （ 3）图： PA PB=PC PD； 以上结论均可以通过相似三角形进行证明。 AB C DE图 （ 1 ）AB C DE图 （ 2 ）AB C DE图 （ 3 ）ABCDP图 （ 1 ）APCB图 （ 2 ）PABCD图 （ 3 ）
