初中数学九大几何模型.doc
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1、初中数学九大几何模型 一、 手拉手模型 -旋转型全等 ( 1) 等边三角形 【 条件 】 : OAB和 OCD均为等边三角形; 【 结论】: OAC OBD; AEB=60; OE平分 AED ( 2) 等腰直角三角形 【 条件 】 : OAB和 OCD均为等腰直角三角形; 【 结论】: OAC OBD; AEB=90; OE平分 AED ( 3) 顶角相等的两任意等腰三角形 【 条件 】 : OAB和 OCD均为等腰三角形; 且 COD= AOB 【结论】: OAC OBD; AEB= AOB; OE平分 AED OA BCDE图 1 OA BCDE图 2 OA BCDE图 1OA BCDE
2、图 2OA BCDEOA BCDE图 1 图 2二、 模型二: 手拉手模型 -旋转型相似 ( 1) 一般情况 【 条件 】 : CD AB, 将 OCD旋转至右图的位置 【 结论】:右图中 OCD OAB OAC OBD; 延长 AC交 BD于点 E,必有 BEC= BOA ( 2) 特殊情况 【 条件 】 : CD AB, AOB=90 将 OCD旋转至右图的位置 【结论】:右图中 OCD OAB OAC OBD; 延长 AC交 BD于点 E,必有 BEC= BOA; OAOBOCODACBDtan OCD; BD AC; 连接 AD、 BC,必有 2222 CDABBCAD ; BDAC2
3、1S BCD 三、 模型三、对角互补模型 ( 1) 全等型 -90 【 条件 】 : AOB= DCE=90; OC 平分 AOB 【结论】: CD=CE; OD+OE= 2 OC; 2O C EO C DD C E OC21SSS 证明提示: 作垂直,如图 2,证明 CDM CEN 过点 C作 CF OC,如图 3,证明 ODC FEC 当 DCE的一边交 AO 的延长线于 D时(如图 4): 以上三个结论: CD=CE; OE-OD= 2 OC; 2O CDO CE OC21SS OA BCDOA BC DEOA BC DEOA BCDAO BCDE图 1 AO BCDEMN图 2AO B
4、CDE F图 3AO BCDEMN图 4( 2) 全等型 -120 【条件】: AOB=2 DCE=120; OC平分 AOB 【结论】: CD=CE; OD+OE=OC; 2O C EO C DD C E OC43SSS 证明提示:可参考“全等型 -90”证法一; 如右下图:在 OB上取一点 F,使 OF=OC,证明 OCF 为等边三角形。 ( 3) 全等型 -任意角 【条件】: AOB=2, DCE=180-2; CD=CE;【结论】: OC平分 AOB; OD+OE=2OC cos; c o ss inOCSSS 2O C EO C DD C E 当 DCE的一边交 AO 的延长线于 D
5、时(如右下图): 原结论变成: ; ; 。 可参考上述第种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 AO BCEFAO BCEFFAO BEDCAOB ECD对角互补模型总结: 常见初始条件:四边形对角互补,注意两点:四点共圆有直角三角形斜边中线; 初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别; 注意 OC平分 AOB时, CDE= CED= COA= COB如何引导? 四、 模型四:角含半角模型 90 ( 1) 角含半角模型 90 -1 【条件】:正方形 ABCD; EAF=45;【结论】: EF=DF+BE; CEF的周长为正方形 ABCD周长的一半; 也可以这样: 【条件】:正方形
6、ABCD; EF=DF+BE;【结论】: EAF=45; ( 2) 角含半角模型 90 -2 【条件】:正方形 ABCD; EAF=45;【结论】: EF=DF-BE; AO BCDEAB CDEFAB CDEFGABCDEFABCDEFABCDEF( 3) 角含半角模型 90 -3 【条件】: Rt ABC; DAE=45;【结论】: 222 DECEBD (如图 1) 若 DAE旋转到 ABC 外部时,结论 222 DECEBD 仍然成立(如图 2) ( 4) 角含半角模型 90变形 【条件】:正方形 ABCD; EAF=45;【结论】: AHE为等腰直角三角形; 证明:连接 AC(方法不
7、唯一) DAC= EAF=45, DAH= CAE,又 ACB= ADB=45; DAH CAE,AEACAHDA AHE ADC, AHE为等腰直角三角形 模型五:倍长中线类模型 ( 1) 倍长中线类模型 -1 【条件】: 矩形 ABCD; BD=BE; DF=EF; 【结论】: AF CF AB CD EAB CD EFAB CD EAB CD EFAB CDGHFEAB CDGHFEAB C EFDHAB EFDH模型提取:有平行线 AD BE;平行线间线段有中点 DF=EF; 可以构造“ 8”字全等 ADF HEF。 ( 2) 倍长中线类模型 -2 【条件】: 平行四边形 ABCD;
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