1、经 典模型系 列手册 温故而知新 1 熟能生巧 模型一： 手拉手模 型 全等 等边三角形 条件： OAB , OCD 均为等边三角形 结论： OAC OBD ; 60 AEB OE 平分 AED （ 易忘） E O D C B A A B C D O E O A B E A B C D O E 滴水穿石 2 锲而不舍 等腰 RT 条件： OAB , OCD 均为等腰直角三角形 结论： OAC OBD ; 90 AEB OE 平分 AED （ 易忘） O A B E C D D C E B A O A B E O 导角核心 图形经 典模型系 列手册 温故而知新 3 熟能生巧 任意等腰三角形 条件
2、： OAB , OCD 均为等腰三角形 且 AOB COD 结论： OAC OBD ; AEB AOB OE 平分 AED （易忘） 模型总结：核心图 形 如右图，核 心条件如 下： OA OB ，OC OD AOB COD O A B C D E O A B C D 滴水穿石 4 锲而不舍 模型二： 手拉手模 型 相似 条件：CD AB ，将 OCD 旋转至右图位置 结论：右图 OCD OAB OAC OBD 且延长 AC 交 BD 与点 E 必有 BEC BOA 非常重要的结论， 必须会熟练证 明 O A B C D O A B C D经 典模型系 列手册 温故而知新 5 熟能生巧 手拉手
3、相似（特殊 情况） 当 90 AOB 时， 除 OCD OAB OAC OBD 之外 还会隐藏 tan BD OD OB OCD AC OC OA 满足 BD AC ,若连结 AD 、 BC ,则必有 2 2 2 2 AD BC AB CD 1 2 ABCD S AC BD （ 对角 线 互相垂直 四边形） E O C A B D O C A B D 滴水穿石 6 锲而不舍 模型三：对角互补 模型 （全等型90 ） 条件： 90 AOB DCE OC 平分 AOB 结论：CD CE ； 2 OD OE OC 2 1 2 ODCE OCD OCE S S S OC 辅助线之一：作垂 直，证明 C
4、DM CEN E D C B O A N M A O B C D E经 典模型系 列手册 温故而知新 7 熟能生巧 条件： 90 AOB DCE OC 平分 AOB 结论：CD CE ； 2 OD OE OC 2 1 2 ODCE OCD OCE S S S OC 辅助线之二：过点C 作CF OC 证明 ODC FEC F A O B C D E 滴水穿石 8 锲而不舍 当 DCE 一边交AO 延长线上于点D 时， 如图 以上三个结论： （辅 助线之一） CD CE 不变 2 OE OD OC （重点） 2 1 2 OCE OCD S S OC （难点） 请独立完成以上证 明 ，必须非常 熟练
5、掌握 M N E D C B O A经 典模型系 列手册 温故而知新 9 熟能生巧 当 DCE 一边交AO 延长线上于点D 时， 如图 以上三个结论： （辅 助线之二） CD CE 不变 2 OE OD OC （重点） 2 1 2 OCE OCD S S OC （难点） 请独立完成以上证 明 ，必须非常 熟练掌握 F A O B C D E 滴水穿石 10 锲而不舍 细节变化： 若将 条件 “OC 平分 AOB ” 与结 论“CD CE ”互换 条件： 90 AOB DCE CD CE 结论：OC 平分 AOB ； 2 OD OE OC 2 1 2 ODCE OCD OCE S S S OC
6、E D C B O A经 典模型系 列手册 温故而知新 11 熟能生巧 （全等型 120 ） 条件： 2 120 AOB DCE OC 平分 AOB 结论：CD CE ；OD OE OC 2 3 4 ODCE OCD OCE S S S OC 请模仿（全等形 90 ）辅助线 之一 完成 证明 O D A C E B 滴水穿石 12 锲而不舍 辅助线之二： 在OB 上取一点 F ，使 OF OC 证明 OCF 为等边三角形 （重要） 结论：CD CE ；OD OE OC 2 3 4 ODCE OCD OCE S S S OC 必须熟练，自己独 立 完成证明 F B E C A D O经 典模型系
7、 列手册 温故而知新 13 熟能生巧 当 DCE 一边交AO 延长线上于 点D 时， 如图 以上三个结论： （辅 助线之二） _ _ （重 点） _ （ 难点） 请独立完成以上证 明 ，必须非常 熟练掌握 O D A C E B F 滴水穿石 14 锲而不舍 （全等型 任意角 ） 条件： 2 AOB , 180 2 DCE CD CE 结论：OC 平分 AOB ； 2 cos OD OE OC 2 sin cos ODCE OCD OCE S S S OC 难度较大，记得经 常复习 O B E C D A经 典模型系 列手册 温故而知新 15 熟能生巧 当 DCE 一边交AO 延长线上于点D
8、时， 如图 以上三个结论： （辅 助线之二） _ _ （重 点） _ （ 难点） 请独立完成以上证 明 ，必须 非常 熟练掌握 请思考初始条件的 变化，对模型 的影响 O B E C D A 滴水穿石 16 锲而不舍 （对角互补模型- 相似型） 如图，若将条件“OC 平分 AOB ”去掉 条件： 90 AOB DCE 不变， COE ，结论中三个条件 又该如何变化 ？ 结论： tan CE CD ； ( tan )cos OD OE OC 22 1 tan tan 2 OCD OCE S S OC O A D C E B M N B E C D A O经 典模型系 列手册 温故而知新 17 熟
9、能生巧 证明：过点C 作CF OC ，交OB 于点 F 90 DCE OCF DCO ECF 180 AOB DCE 180 CDO CEO CDO CEF CDO CEF tan EF CE CF DO CD CO （关键步） F O A D C E B 滴水穿石 18 锲而不舍 结论得证 tan EF OD ( ) cos OE EF OC 结论得证 22 ( ) tan CEF CDO S CF S CO 2 tan CEF CDO SS OCE CEF OCF S S S 且 2 1 tan 2 OCF S OC 结论得证 难度非常大，请仔 细认真复习 经 典模型系 列手册 温故而知新
10、 19 熟能生巧 对角互补模型总结 ： 常见初始条件： 四边形对角互 补 两点注意：四点共 圆和直角三角 形斜边中 线 初始条件：角平 分线与两边相 等的区别 常见两种辅助线 的作法 注意下图中“OC 平分 AOB ” CDE CED COA COB 相等是如 何推导 E D C B O A 滴水穿石 20 锲而不舍 角含半角模型(90 ) 条件：正方形 ABCD ； 45 EAF 结论： EF DF BE CEF 周长为正方形 ABCD 周长一半 也可以这样： 条件：正方形 ABCD ； EF DF BE 结论： 45 EAF 口诀：角含半角要 旋转 F E D C B A G A B C
11、D E F经 典模型系 列手册 温故而知新 21 熟能生巧 角含半角模型(90) 条件：正方形 ABCD ； 45 EAF 结论： EF DF BE 辅助线： A B C D E F A B C D E F F E D C B A 滴水穿石 22 锲而不舍 角含半角模型(90 ) 条件：等腰直角 ABC ； 45 DAE 结论： 2 2 2 BD CE DE 若 DAE 旋转到 ABC 外部时 结论： 2 2 2 BD CE DE 仍然成立 E D C B A F A B C D E F E D C B A A B C D E经 典模型系 列手册 温故而知新 23 熟能生巧 角含半角模型(90
12、 ) 变形 条件： 45 EAF ; 结论： AHE 为等腰直角三角形（重点/ 难点） 证明：连接 AC （方法不唯一） 45 DAC EAF , DAH CAE 45 ADH ACE , ADH ACE DA AC AH AE AHE ADC H G A B C D E F H G A B C D E F 滴水穿石 24 锲而不舍 倍长中线类模型 条件：矩形 ABCD ；BD BE DF EF 结论： AF CF 模型提取： 有平行线 AD BE 平行线间线段有 中点 DF EF 可以构造 8 字全等 ADF HEF H H B E F D A F E D C B A经 典模型系 列手册 温
13、故而知新 25 熟能生巧 倍长中线类模型 条 件 ： 平 行 四 边 形 ； ABCD 2 BC AB ； AM DM ； CE AD 结论： 3 EMD MEA 辅助线: 有平 行 AB CD ，有中点 AM DM 延长 EM ， 构造 AME DMF ， 连接CM 构 造等腰 EMC , MCF 通过构造 8 字全等线段 数量及位 置关系， 角的 大 小 转化 F A B C D E M M E D C B A 滴水穿石 26 锲而不舍 相似三角形 360 度旋转模型（ 倍 长中线法 ） 条件： ADE 、 ABC 均为等腰直角 EF CF 结论： DF BF ；DF BF 辅助线：延长
14、DF 到点G ，使FG DF ，连 接CG 、 BG 、 BD 证明 BDG 为等腰直角 突破点： ABD CBG 难点：证明 BAD BCG G A B C D E F F E D C B A经 典模型系 列手册 温故而知新 27 熟能生巧 相似三角形 360 度旋转模型（ 补 全法 ） 条件： ADE 、 ABC 均为等腰直角 EF CF 结论： DF BF ；DF BF 辅助线：构造等腰 直角 AEG 、 AHC 辅助线思路： 将 DF 与 BF 转化到CG 与 EH H G F E D C B A A B C D E F 滴水穿石 28 锲而不舍 任意相似 直角三角形 360 度旋转
15、模型 （补全法） 条件： OAB ODC 90 OAB ODC ； BE CE 结论： AE DE ； 2 AED ABO 辅助线： 延长 BA 到点G ，使 AG AB ， 延长 CD 到点H 使 DH CD ， 补全 OGB 、 OCH 构造旋转模型，转化 AE 与 DE 到CG 与 BH ，难点 在 转化 AED O H G A B E C D E D C B A O经 典模型系 列手册 温故而知新 29 熟能生巧 任意相似直角三角形 360 度旋转 模型 （倍 长法） 条件： OAB ODC 90 OAB ODC ； BE CE 结论： AE DE ； 2 AED ABO 辅助线： 延
16、长 DE 至M ，使 ME DE ， 将结 论的 两 个条 件 转化 为 证明 AMD ABO ，此 为难点，将 AMD ABO 继续转化为证明 ABM AOD ,使用两边成比且夹 角等 此处难点在证明 ABM AOD M A B E C D O A B E C D O 滴水穿石 30 锲而不舍 最短路程模型 之一 （ 将军饮马类 ） 总结： 以上四图为常 见的轴对称类 最短路程 问题， 最后都转化到： “ 两 点之间，线段 最短”解决 特点：动点在直 线上 ；起点 ，终点固定 PA+PQ+BQ PA+PB l 2 l 1 B A Q P B A P l B B A AP+PQ+QB AP+P
17、Q+QB l 1 l 2 A Q P B A l A Q P B B A经 典模型系 列手册 温故而知新 31 熟能生巧 最短路程模型之二 （点到直线类 ） 条件：如右图OC 平分 AOB M 为OB 上一定点 P 为OC 上动点 Q 为OB 上动点 求：MP PQ 最小时， P 、Q 的位置 辅 助 线 ： 将 作 Q 关于OC 对称点 Q ， 转 化 PQ PQ ，过点 M 作MH OA MP PA MP PQ MH （垂线段最短） H Q Q P M C B O A P A 滴水穿石 32 锲而不舍 最短路程模型之二 （点到直线类 ） 条件：如图，点 A 、 B 为定点， P 为动点 问
18、题：点 P 在何处， 1 2 BP AP 最短 结论： 以 A 为顶点作 30 PAC ， 过点 P 作 PQ AC ，转化 1 2 PQ AP , 过点B 作 AC 的垂线与 AP 的交点为所求（ 垂线段 最短 ） C Q A B P l l P B A经 典模型系 列手册 温故而知新 33 熟能生巧 最短路程模型之二 （点到直线类 ） 条件：如图，点 A 、 B 为定点， P 为动点 问题：点 P 在何处， 2 2 BP AP 最短 结论： 以 A 为顶点作 45 PAC ， 过点 P 作 PQ AC ，转化 1 2 PQ AP , 过点B 作 AC 的垂线与 AP 的交点为所求 C Q
19、A B P l l P B A 滴水穿石 34 锲而不舍 最短路程模型之二 （点到直线类 ） 条件： (0,4) A 、 ( 2,0) B ， (0, ) Pn 问题： n 为何值时， 5 5 PB PA 值最小 结论： x 上取点 (2,0) C ，使 5 sin 5 OAC 过点 B 作BD AC ，交 y 轴于点 E 为所求 1 tan tan 2 EBO OAC ，即 (0,1) E E D C A B x y O P P O y x B A经 典模型系 列手册 温故而知新 35 熟能生巧 最短路程模型之三 （旋转类最值 模型） 条件：线段 4 OA , 2 OB () OA OB O
20、B 绕点O 在平面内 360 旋转 问题： AB 的最大值，最小值分别为 多少？ 结论 ：以 点O 为圆心 ，OB 为半径 作圆 ，如图 所示， 将问题 转化为 “三角形两边 之和大于 第三 边，两边之差小于 第 三边” 最大值：OA OB ；最小值：OA OB B O A 滴水穿石 36 锲而不舍 最短路程模型之三 （旋转类最值 模型） 条件：线段 4 OA , 2 OB 以点O 为圆心，OB ，OC 为半径作圆 点 P 是两圆所组成 圆环内部（含 边界）一 点 问题： 若 PA 的最大值为10 ，则 6 OC 若 PA 的最小值为1 ，则 3 OC 若 PA 的最小值为 2 ，则 PC 的
21、取值范围是 02 PC P C A O B经 典模型系 列手册 温故而知新 37 熟能生巧 最短路程模型之三 （旋转类最值 模型） 条件： Rt OBC ， 30 OBC 2 OC ; 1 OA ； 点 P 为 BC 上动点 （ 可与端点 重合） ； OBC 绕点O 旋转 结论 ： PA 最大值为 1 2 3 OA OB PA 最小值 为 1 31 2 OB OA 如 右图, 圆的 最小半径 为O 到 BC 垂线段长 P O C B A A B C O P 滴水穿石 38 锲而不舍 最短路程模型之 四 （动点 在 圆上 ） 条件： 以点O 为圆心三个圆 ，OA 、OD 固定 OP 绕点O 旋转
22、 问题：点Q 在 什么位置时， EP MB 最小 辅助线： 连接 DQ 、QC ， 当Q 、D 、C 三 点共线时， EP MB DQ QC DC 最小 O A B C D P Q M E F经 典模型系 列手册 温故而知新 39 熟能生巧 最短路程模型之 四 （ 动点在圆上 ） 条件 ：正方形 ABCD 且 边长 为 4 ； B 的半径 为 2 ； P 为 B 上动点 问题 ：求 ( / 2) PD PC 最小值 辅助线: 过点 E 作 EM PC ， 取 BE 中点 N 转化 思路： 将 /2 PC 转 化 ME ， 将 ME 转化 为 MN ， 因此 MD MN 的最 小值为 DN 长度
23、 总结 ： /2 PC 的比值不是 随意 给出的， 而是 圆 的 半径 / r BC E N M A B C D P P D C B A 滴水穿石 40 锲而不舍 二倍角模型 条件： ABC 中 ， 2 BC 辅助线： 以 BC 的 垂直平 分 线 为 对 称 轴 ， 作 点 A 的对称点 A ，连接 AA 、 BA 、 CA 则 BA 为 ABC 的 角平分线， 那么 BA AA CA （注意这个结论 ） 此种 辅 助 线 的 作法 是 二倍 角 三 角 形 常见 的 辅助 线作法之一，但 并 不是唯一作法 A C B A C B A经 典模型系 列手册 温故而知新 41 熟能生巧 相似三角
24、形模型 （基本 型 ） 平行 类： DE BC 结论 ： AD AE DE AB AC BC ( 注意 对应边要对应) 模型 应用： 经常在 选择 ， 填空 中 直接考查， 在 第 20 题的第 二 问 也 经常 会考查 “ A 字型” “ 8 字 型 ”相似， 建立方程 。 A 8 A A D B C E E D C B A E D C B A 滴水穿石 42 锲而不舍 相似三角形模型 （ 斜交型） 条件：如左面两个 图 90 AED ACB 结论： AE AB AC AD 条件：如右面两个 图 ACE ABC 结论： 2 AC AE AB 第四个图还存在 AB EC BC AC 2 BC
25、BE BA , 2 CE BE AE A E B C D A B C E E C B A A D B C E经 典模型系 列手册 温故而知新 43 熟能生巧 相似三角形模型 （ 一线 三角 型 ） 条件 ：左图 ： 90 ABC ACE CDE 中图 ： 60 ABC ACE CDE 右图 ： 45 ABC ACE CDE 结论 ：所有 图形都 存在 的结论 ABC CDE ； AB DE BC CD 一线 三 等 角 模型 也经常用来 建立 方程 或 函数 关 系 A B C D E A B C D E E D C B A 滴水穿石 44 锲而不舍 相似三角形模型 （ 圆幂定理型） 条件：中图， PA 为 圆的 切线 结论：左图： PA PB PC PD 中图： 2 PA PC PB 右 图： PA PB PC PD 以上结论均可以通过 相似三角形 进行证明 D C P D A B P A B C C B A P
