1、1 初中数学几何模型 【模型 1】倍长 1、 倍长中线； 2、倍长类中线； 3、中点遇平行延长相交 EDAB CFDAB CE- 【模型 2】遇多个中点，构造中位线 1、 直接连接中点； 2、连对角线取中点再相连 【例 1】 在菱形 ABCD和正三角形 BEF中， ABC=60， G是 DF的中点，连接 GC、 GE （ 1）如图 1，当点 E在 BC边上时，若 AB=10， BF=4，求 GE的长； （ 2）如图 2，当点 F在 AB的延长线上时，线段 GC、 GE有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想；并给予证明； （ 3）如图 3，当点 F在 CB的延长线上时， (2)问中关系还成立吗？写
2、出你的猜想，并给予证明 . 图 3图 2图 1GFDCGFDCGFDCA BEEBAEBA【例 2】 如图，在菱形 ABCD中，点 E、 F分别是 BC、 CD上一点，连接 DE、 EF，且 AE=AF，中点模型 2 BAFDAE (1)求证： CE=CF； (2)若 120ABC ，点 G是线段 AF的中点，连接 DG， EG求证： DG上 GE 【例 3】 如图，在四边形 ABCD中， AB=CD， E、 F分别为 BC、 AD中点， BA交 EF延长线于 G， CD交 EF于 H求证： BGE= CHE HGEFABDC【模型 1】构造轴对称 【模型 2】角平分线遇平行构造等腰三角形 -
3、 【例 4】 如图，平行四边形 ABCD中， AE平分 BAD交 BC边于 E， EF AE交 CD边于 F，交 AD边于 H，延长 BA到点 G，使 AG=CF，连接 GF若 BC=7， DF=3， EH=3AE，则 GF的长为 . 角平分线模型 3 EA BCODEA BCODBOACHGFEA DBC【条件】 O A O B O C O D A O B C O D ， ， 【结论】 OAC OBD ； A E B O A B C O D （ 即 都 是 旋 转 角 ） ；O E AED平 分 ； - 【例 5】 如图，正方形 ABCD的边长为 6，点 O是对角线 AC、 BD的交点，点
4、E在 CD上，且 DE=2CE，过点 C作 CF BE，垂足为 F，连接 OF，则 OF的长为 . 【例 6】 如图， ABC 中， 90BAC ， AB=AC， AD BC于点 D，点 E在 AC边上，连结 BE， AG BE于 F，交 BC于点 G，求 DFG 导角核心图形：八字形 手拉手模型 4 C DABEFECDBAFEBDACGFDCBAE【例 7】 如图，在边长为 62的正方形 ABCD中， E是 AB边上一点， G是 AD延长线上一点， BE DG，连接 EG， CF EG 于点 H，交 AD 于点 F，连接 CE、 BH。若 BH 8，则FG 18 题图HGFEDCBA16
5、题图OCBA【模型 1】 【条件】如图，四边形 ABCD中， AB=AD， 180B A D B C D A B C A D C 【结论】 AC平分 BCD EBDAC【模型 2】 【条件】如图，四边形 ABCD中， AB=AD， 90B A D B C D 【结论】 4 5 2A C B A C D B C C D A C 邻边相等对角互补模型 5 FEG CDA BGFECDBAFEDBAC- 【例 8】 如图，矩形 ABCD中， AB=6， AD=5， G为 CD中点， DE=DG， FG BE于 F，则DF为 . 【例 9】 如图，正方形 ABCD的边长为 3，延长 CB至点 M，使
6、BM=1，连接 AM，过点 B作 BN AM ，垂足为 N， O是对角线 AC、 BD的交点，连接 ON，则 ON的长为 . 【例 10】 如图，正方形 ABCD的面积为 64， BCE 是等边三角形， F是 CE的中点， AE、BF交于点 G，则 DG的长为 . 【模型 1】 【条件】如图，四边形 ABCD中， AB=AD， 180B A D B C D A B C A D C ， 12E A F B A D E B C F C D ， 点 在 直 线 上 , 点 在 直 线 上 【结论】 B E D F E F、 、 满 足 截 长 补 短 关 系 OND CABM半角模型 6 FEBCD
7、A HNMEFB CA DFEBCDA【模型 2】 【条件】在正方形 ABCD中，已知 E、 F分别是边 BC、 CD上的点，且满足 EAF=45， AE、AF分别与对角线 BD交于点 M、 N. 【结论】 (1) BE+DF=EF； (2) SABE+SADF=SAEF； (3) AH=AB； (4) CECF=2AB； (5) BM2+DN2=MN2； (6) ANM DNF BEM AEF BNA DAM； (由 AO： AH=AO： AB=1： 2 可得到 ANM和 AEF的相似比为 1： 2 )； (7) SAMN=S 四边形 MNFE； (8) AOM ADF， AON ABE；
8、(9) AEN为等腰直角三角形， AEN=45； AFM为等腰直角三角形， AFM=45. (1. EAF=45； 2.AE： AN=1： 2 )； (10)A、 M、 F、 D四点共圆， A、 B、 E、 N四点共圆， M、 N、 F、 C、 E五点共圆 . 【模型 2 变型】 【条件】在正方形 ABCD中，已知 E、 F分别是边 CB、 DC延长线上的点，且满足 EAF=45 【结论】 BE+EF=DF 【模型 2 变型】 【条件】在正方形 ABCD中，已知 E、 F分别是边 CB、 DC延长线 上的点，且满足 EAF=45 【结论】 DF+EF=BE 【例 11】 如图， ABC 和 D
9、EF 是两个全等的等腰直角三角形， 90ED FBAC ，DEF 的顶点 E 与 ABC 的斜边 BC 的中点重合将 DEF 绕点 E 旋转，旋转过程中，线段 DE与线段 AB相交于点 P，射线 EF与线段 AB相交于点 G，与射线 CA相交于点 Q若AQ=12， BP=3，则 PG=. 7 HGFCBDA E来源 :学科网 【例 12】 如图，在菱形 ABCD 中， AB=BD，点 E、 F 分 别在 AB、 AD 上，且 AE=DF.连接BF与 DE交于点 G，连接 CG与 BD交于点 H，若 CG=1，则BCDGS 四 边 形. 源 :学 【条件】 E D F B C D E D F ，
10、 且 【结论】 BDE CFD EFB CAD- 【例 13】 如图，正方形 ABCD中，点 E、 F、 G分别为 AB、 BC、 CD边上的点， EB=3， GC=4，连接 EF、 FG、 GE恰好构成一个等边三角形，则正方形的边长为 . EDACB FG一线三等角模型 8 【两点之间线段最短】 1、将军饮马 PQAC DABCBPPPBABPABP QAB2、费马点 【垂线段最短】 CAbPPAB【两边之差小于第三边】 最短路径模型 9 HGFB CA DE【例 16】 如图，矩形 ABCD 是一个长为 1000 米，宽为 600 米的货场， A 、 D 是入口现拟在货场内建一个收费站 P
11、 ，在铁路线 BC 段上建一个发货站台 H ，设铺设公路 AP 、 DP 以及 PH 之长度和为 l 求 l 的最小值 600m1000mHPDCBA【例 17】 如图， E、 F是正方形 ABCD的边 AD上两个动点，满足 AE=DF，连接 CF交 BD于 G，连接 BE交 AG于点 H，若正方形的边长为 2，则线段 DH长度的最小值是 . 【例 18】 如图所示，在矩形 ABCD 中， 4 , 4 2A B A D， E 是线段 AB 的中点， F 是线段 BC 上的动点， BEF 沿直线 EF翻折到 BEF ，连接 DB ， DB最短为 . BEAB CDF10 三垂直模型 11 12
12、EODC BA图 3图 2图 1AEBFCDAEBFCGDAEB F CGD课后练习题 【练习 1】 如图，以正方形的边 AB 为斜边在正方形内作直角三角形 ABE ， 90AEB ， AC 、BD 交于 O 。已知 AE 、 BE 的长分别为 3cm、 5cm，求三角形 OBE 的面积 【练习 2】 问题 1：如图 1，在等腰梯形 ABCD 中， AD BC， AB=BC=CD，点 M， N 分别在 AD， CD上， MBN=12 ABC，试探究线段 MN， AM， CN 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想； 问题 2：如图 2，在四边形 ABCD中， AB=BC， ABC+ ADC=18
13、0，点 M， N分别在 DA，CD的延长线上，若 MBN=12 ABC仍然成立，请你进一步探究线段 MN， AM， CN又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明 . 【练习 3】 已知：如图 1，正方形 ABCD中， E为对角线 BD上一点，过 E点作 EF BD交BC于 F，连接 DF， G为 DF中点，连接 EG， CG 求证： EG=CG且 EG CG； 将图 1 中 BEF绕 B点逆时针旋转 45，如图 2 所示，取 DF 中点 G，连接 EG， CG问 中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 将图 1 中 BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图 3 所示，再连接相应的线段，问 (1)中的结论是否仍然成立？
