1、1 初中 数学 几何模型 【模型 1】倍长 1、 倍长中线； 2、倍长类中线； 3、中点遇平行延长相交 EDAB CFDAB CE- 【模型 2】遇多个中点，构造中位线 1、 直接连接中点； 2、连对角线取中点再相连 【例 1】 在菱形 ABCD和正三角形 BEF中， ABC=60， G是 DF的中点，连接 GC、 GE （ 1）如图 1，当点 E在 BC边上时，若 AB=10， BF=4，求 GE的长； （ 2）如图 2，当点 F在 AB的延长线上时，线段 GC、 GE有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想；并给予证明 ； （ 3）如图 3，当点 F在 CB的延长线上时， (2)问中关系还成立
2、吗？写出你的猜想，并给予证明 . 图 3图 2图 1GFDCGFDCGFDCA BEEBAEBA中点模型 2 【 例 2】 如图，在菱形 ABCD中，点 E、 F分别是 BC、 CD上一点，连接 DE、 EF，且 AE=AF，BAFDAE (1)求证： CE=CF； (2)若 120ABC ，点 G是线段 AF的中点，连接 DG， EG求证： DG上 GE 【例 3】 如图，在四边形 ABCD中， AB=CD， E、 F分别为 BC、 AD中点， BA交 EF延长线于 G， CD交 EF于 H求证： BGE= CHE HGEFABDC【模型 1】构造轴对称 【模型 2】角平分线遇平行构造等腰三
3、角形 - 角平分线模型 3 EA BCODEA BCODBOAC【例 4】 如图，平行四边形 ABCD中， AE平分 BAD交 BC边于 E， EF AE交 CD边于 F，交 AD边于 H，延长 BA到点 G，使 AG=CF，连接 GF若 BC=7， DF=3， EH=3AE，则 GF的长为 . HGFEA DBC【条件】 O A O B O C O D A O B C O D ， ， 【结论】 OAC OBD ； A E B O A B C O D （ 即 都 是 旋 转 角 ） ；O E AED平 分 ； - 【例 5】 如图，正方形 ABCD的边长为 6，点 O是对角线 AC、 BD的交
4、点，点 E在 CD上，且 DE=2CE，过点 C作 CF BE，垂足为 F，连接 OF，则 OF的长为 . 导角核心图形：八字形 手拉手 模型 4 FEBDAC【例 6】 如图， ABC 中， 90BAC ， AB=AC， AD BC于点 D，点 E在 AC边上，连结 BE， AG BE于 F，交 BC于点 G，求 DFG GFDCBAE【例 7】 如图，在边长为 62的正方形 ABCD中， E是 AB边上一点， G是 AD延长线上一点， BE DG，连接 EG， CF EG 于点 H，交 AD 于点 F，连接 CE、 BH。若 BH 8，则FG . 18 题图HGFEDCBA16 题图OCB
5、A【 模型 1】 【条件】如图，四边形 ABCD中， AB=AD， 180B A D B C D A B C A D C 【结论】 AC平分 BCD EBDAC邻边相等对角互补模型 5 C DABEFECDBAFEG CDA BGFECDBA【模型 2】 【条件】如图，四边形 ABCD中， AB=AD， 90B A D B C D 【结论】 4 5 2A C B A C D B C C D A C - 【例 8】 如图，矩形 ABCD中， AB=6， AD=5， G为 CD中点， DE=DG， FG BE于 F，则DF为 . 【例 9】 如图，正方形 ABCD 的边长为 3，延长 CB 至点
6、M，使 BM=1，连接 AM，过点 B作 BN AM ，垂足为 N， O是对角线 AC、 BD的交点，连接 ON，则 ON的长为 . 【例 10】 如图，正方形 ABCD的面积为 64， BCE 是等边三角形， F是 CE的中点， AE、BF交于点 G，则 DG的长为 . OND CABM6 HNMEFB CA DFEDBAC【 模型 1】 【条件】如图，四边形 ABCD中， AB=AD， 180B A D B C D A B C A D C ， 12E A F B A D E B C F C D ， 点 在 直 线 上 , 点 在 直 线 上 【结论】 B E D F E F、 、 满 足
7、截 长 补 短 关 系 【 模型 2】 【条件】在正方形 ABCD中，已知 E、 F分别是边 BC、 CD上的点，且满足 EAF=45， AE、AF分别与对角线 BD交于点 M、 N. 【结论】 (1) BE+DF=EF； (2) SABE+SADF=SAEF； (3) AH=AB； (4) CECF=2AB； (5) BM2+DN2=MN2； (6) ANM DNF BEM AEF BNA DAM； (由 AO： AH=AO： AB=1： 2 可得到 ANM和 AEF的相似比为 1： 2 )； (7) SAMN=S 四边形 MNFE； (8) AOM ADF， AON ABE； (9) AE
8、N为等腰直角三角形， AEN=45； AFM为等腰直角三角形， AFM=45. (1. EAF=45； 2.AE： AN=1： 2 )； (10)A、 M、 F、 D四点共圆 ， A、 B、 E、 N四点共圆 ， M、 N、 F、 C、 E五点共圆 . 半角模型 7 FEBCDAFEBCDAHGFCBDA E【 模型 2 变型 】 【条件】在正方形 ABCD中，已知 E、 F分别是边 CB、 DC延长线上的点，且满足 EAF=45 【结论】 BE+EF=DF 【 模型 2 变型 】 【条件】在正方形 ABCD中，已知 E、 F分别是边 CB、 DC延长线 上的点，且满足 EAF=45 【结论】
9、 DF+EF=BE 【 例 11】 如图， ABC 和 DEF 是两个全等的等腰直角三角形， 90ED FBAC ，DEF 的顶点 E 与 ABC 的斜边 BC 的中点重合将 DEF 绕点 E 旋转，旋转过程中，线段 DE与线段 AB相交于点 P，射线 EF与线段 AB相交于点 G，与射线 CA相交于点 Q若AQ=12， BP=3，则 PG=. 来源 :学科网 【例 12】 如图，在菱形 ABCD 中， AB=BD，点 E、 F 分别在 AB、 AD 上，且 AE=DF.连接BF与 DE交于点 G，连接 CG与 BD交于点 H，若 CG=1，则BCDGS 四 边 形. 源 :学 8 【条件】
10、E D F B C D E D F ， 且 【结论】 BDE CFD EFB CAD- 【例 13】 如图，正方形 ABCD中，点 E、 F、 G分别为 AB、 BC、 CD边上的点， EB=3， GC=4，连接 EF、 FG、 GE恰好构成一个等边三角形，则正方形的边长为 . 源 :学 EDACB FG一线三等角模型 9 【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段 【结论】新构成了同心的正方形 FHEGJKLGHEIDAFDACBB C- 【例 14】 如图，点 E为正方形 ABCD边 AB 上一点，点 F在 DE的延长线上， AF=AB， AC与 FD交于点 G， FAB的平分线交 FG于点
11、H，过点 D作 HA的垂线交 HA的延长线于点 I .若 3AH AI ， 22FH ，则 DG=. 【例 15】 如图， ABC 中， 90BAC ， AB=AC， AD BC 于点 D，点 E 是 AC 重点 ，连结 BE， 作 AG BE于 F，交 BC于点 G，连接 EG，求证： AG+EG=BE. FGDCBAEEGIHBCA DF弦图模型 10 【两点之间线段最短】 1、将军饮马 PQAC DABCBPPPBABPABP QAB2、费马点 【垂线段最短】 CAbPPAB【两边之差小于第三边】 最短路径模型 11 HGFB CA DE【例 16】 如图，矩形 ABCD 是一个长为 1
12、000 米，宽为 600 米的货场， A 、 D 是入口现拟在货场内建一个收费站 P ，在铁路线 BC 段上建一个发货站台 H ，设铺设公路 AP 、 DP 以及 PH 之长度和为 l 求 l 的最小值 600m1000mHPDCBA【例 17】 如图， E、 F是正方形 ABCD的边 AD上两个动点，满足 AE=DF，连接 CF 交 BD于 G，连接 BE交 AG于点 H，若正方形的边长为 2，则线段 DH长度的最小值是 . 【例 18】 如图所示，在矩形 ABCD 中， 4 , 4 2A B A D， E 是线段 AB 的中点， F 是线段 BC 上的动点， BEF 沿直线 EF翻折到 B
13、EF ，连接 DB ， DB最短为 . BEAB CDF12 【例 19】 如图 1， ABCD中， AE BC于 E， AE=AD， EG AB于 G，延长 GE、 DC交于点 F，连接 AF (1)若 BE=2EC， AB = 13 ，求 AD的长； (2)求证： EG=BG+FC； (3)如图 2，若 AF= 25 ， EF=2，点 M 是线段 AG上的一个动点，连接 ME ，将 GME 沿ME 翻折得 MEG ，连接 DG ，试求当 DG 取得最小值时 GM 的长 13 EODC BA图 3图 2图 1AEBFCDAEBFCGDAEB F CGD课后练习题 【练习 1】 如图，以正方形
14、的边 AB 为斜边在正方形内作直角三角形 ABE ， 90AEB ， AC 、BD 交于 O 。已知 AE 、 BE 的长分别为 3cm、 5cm，求三角形 OBE 的面积 【练习 2】 问题 1：如图 1，在等腰梯形 ABCD 中， AD BC， AB=BC=CD，点 M， N 分别 在 AD， CD上， MBN=12 ABC，试探究线段 MN， AM， CN 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想； 问题 2：如图 2，在四边形 ABCD中， AB=BC， ABC+ ADC=180，点 M， N分别在 DA，CD的延长线上，若 MBN=12 ABC 仍然成立，请你进一步探究线段 MN， AM， CN 又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明 . 【练习 3】 已知：如图 1，正方形 ABCD中， E为对角线 BD上 一点，过 E点作 EF BD交BC于 F，连接 DF， G为 DF中点，连接 EG， CG 求证： EG=CG且 EG CG； 将图 1 中 BEF绕 B点逆时针旋转 45，如图 2 所示，取 DF 中点 G，连接 EG， CG问 中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 将图 1 中 BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图 3 所示，再连接相应的线段，问 (1)中的结论是否仍然成立？ 14 附录
