1、趣味数学 关键字： 教学内容的定位，教学过程中遵循的原则，可行性原则，价值性原则，实用性原则，综合性原则，趣味性原则，教学目标与教学内容 摘要： 随着社会的进步 , 学校教学改革的深入 , 新的教学目标的贯彻 , 许多学校在教学模式 , 教学方法上不断创新发展 , 新的教学理念、教学技术、教学方法如雨后春笋般不断涌现。为实现中职教育中基础课为专业课服务和学以致用的目标 , 学校在新的一轮选修课中开设了“趣味数学”这一课程。 趣味数学从广义上来讲 , 内容包含小学、中学、大学等所有年龄阶段的数学问题 , 但它又以新颖的问题 , 别具一格的解题技巧和启发性的思维方式给人以深刻的印象。在解决问题 ,
2、 学习知识的同时 , 特别突出了其中的“趣味”性。但由于趣味数学的内容宽泛 , 思维独特 , 技巧灵活多变 , 并且要求有相应的数学知识作基础 , 也使得它很难象传统课堂教学中的数学一样 , 能够系统连贯地进行教学。以下就自己在“趣味数学”教学过程中的点滴体会做一点粗浅的探讨。 一、教学内容的定位 基于趣味数学在数学中的特殊性 , 从中职学生的自身实际情况出发 ,“趣味数学”课程的教学内容应介于传统基本的课堂数学和以选拔优秀人才为目标的竞赛数学之间 , 介 于学校的课本数学和实际生活、工作中的应用数学之间 , 介于学生的学习性数学和数学工作者的研究性数学之间。让学生通过有限的基础数学知识 ,
3、运用恰当的数学解题思维 , 以简短精悍扼要的解题过程来解决生活中一些看似“简单”、“平凡”的问题 , 并能从中领悟一些华丽的思维技巧。 二、教学过程中遵循的原则 (一 ) 可行性原则 : 数学知识体系历来以它特有的“链”式而著称。它要求循序渐进 , 没有小学的数学基础 , 就无法学习初中的数学知识。因此 , 选题首先要考虑到学生的知识结构体系 , 根据学生掌握的已有的知识来选择教学内容。其 次 , 考虑到中职学生自身的思维解题能力 , 应选取一些比较基础性且易于理解的问题 , 而不是问题过难 , 思维过于复杂 , 解答过程过于冗长的问题。并在教学过程中适时地给予提点和帮助 ,使学生通过自己的努
4、力能够顺利完成解答。 例 1: 1 50 号 50 名运动员按顺序排成一排 , 教练下令 :“奇数运动员出列 ! ”剩下的 25 名运动员重新按 1 25 号编号 , 教练又下令 :“奇数运动员出列 ! ”如此重复下去 , 最后只剩下一个人 , 他是最初 1 50 号中的几号 ?学生通过各自对问题的研究 , 大部分人都能给出 这个问题的 答案 32。但是当这个问题改成有 500 名甚至更多名运动员时 , 能再给出正确答案的学生就寥寥无几了。归其原因 , 起先 50 人时 , 许多学生通过 1 50 个数字一一划去 , 剩下那个就是最后的答案 ,用这样的方法得到。而只有极少数学生能分析出问题 的
5、本质 : 第一次出列后剩下的运动员编号都是 2 的倍数 , 第二次出列后剩下的运动员编号都是 4 的倍数 ,然后依次是 8 的倍数 , 16 的倍数分析到这时 , 问题的趣味性就出来了 , 学生恍然大悟。 (二 ) 价值性原则 : 作为一门选修课 ,“趣味数学”本身就是为了 让学生能够从另一个角度去认识数学 ,能看到数学的实用价值 , 而不再是和单纯的数学符号打交道。要体现价值就要选择一些贴近生活 , 能指导生活实践和学习活动的内容 , 并通过研究和解决有代表性的、比较普通的社会问题和现象 , 使学生进一步地了解认识数学。 例 2: 某市发行福利彩票 , 为即开即中奖型。问买彩票时 , 先买的
6、人和后买的人中奖概率各是多少 ? 他们中奖的概率相同吗 ?对于这个生活中常见的问题 , 学生都很感兴趣 ,思考积极性很高 , 对问题议论纷纷 , 但对于问题的答案 , 却莫衷一是 , 各不相同 , 而且各自对于自己的答案 又仅仅只能凭直觉和生活经验来判断 , 不能给出令人信服的理由。建立简单数学模型 : n 个人依次摸一张彩票 , 且只能有一个人能中奖。分析 : 第一个人摸彩票时中奖概率自然是 , 但第二个人是否中奖却依赖于第一个人的结果 , 因此可分两种情况 : 第一种 , 第一个人中奖了 , 第二个人中奖概率自然是 0; 第二种 , 在第一个人没中奖的前提下 ( 第一个人没中奖的概率为 )
7、 , 第二个人中奖的概率为 。根据分类计数原理和分步计数原理可知第二个人中奖的概率为 : 。同理 ,依次可得其余每一个人中奖的概率都是 。所以该问题与先后顺序 无关 , 大家的中奖概率相同。 (三 ) 实用性原则 : 数学是一门纯理论的学科 , 因此在许多学生眼中也成为一门比较枯燥 , 没有太多实用价值的学科。但事实上 , 数学是从实际问题中抽象出来的 , 并能用最终的相关理论去指导实践。在职业学校的许多理工类专业中 , 许多专业课中的内容 , 都涉及到数学。因此数学是问题的起点 , 以问题为中心 ,组织教学 , 能使学生在不同的情境下发展自己的思维能力和创新能力。 n1n11- =n- 1n
8、n- 110+n- 1n.n- 11=n1n1 教材教法是多少 ? 解 :( 略 ) 提示 : 设想甲、 乙两河都缩成一条线 ( 四 ) 启发性原则 : 好的趣味数学问题往往是问题涉及的内容简单通俗 , 思考解决问题的过程却又艰难曲折 , 而且问题中所包含的思维角度和技巧又有一定的隐蔽性 , 需要我们抽丝拨茧 , 层层深入才能发掘出来。这也正是其自身的魅力所在 , 选择恰当的有启发性的问题 , 能够培养学生对问题的分析能力 , 概括能力和抽象能力 , 能培养学生掌握看问题从特殊到一般的转化能力 , 从而实现对数学课堂教学的补充和扩展。 例 4: 商店卖汽水 , 规定每两个汽水空瓶 , 可以换一
9、 瓶汽水 , 某人买了 n 瓶汽水 , 问不再另外加钱 , 此人最多能喝到几瓶汽水 ?分析 : 如果仅仅一般去“累加” , 那显然是行不通的 , 特别是在瓶的情形下。因此 , 这时候需要我们去思考一个更好更一般化的方法 找等量关系 : 一个空瓶 = 喝到一瓶汽水 !( 为什么 ? ) 此时 , 大家发现这个问题才真正解决了。并且 , 类似地 , 题目条件还可以改成 3 个空瓶换一瓶汽水 , 则 (四 ) 综合性原则 : 趣味数学的知识的广泛性可以涉及到数学的各个领域。其中数学史上的奇闻逸事也常常能吸引学生的目光。而数学中的人文性恰恰又 是数学作为一门逻辑推理性较强的学科在教学过程中被忽视的 ,
10、 以致于许多人对数学家的认识仅仅停留在华罗庚、陈景润等极少数国内数学家中 , 对于数学的发展史和国外的许多著名数学家知之甚少。数学人文知识的介绍也应当成为“趣味数学”教学的内容之一。 例 5: 命题 : 所有三角形都是等腰 ( 边 ) 三角形。 ( 如图 ) 在任意三角形 ABC 中 , 证明 : ABC 为等腰三角形。证明 : 作 BAC 的平分线 AP, BC 的中垂线 DP, 且 AP DP= P, 作 PE AB 于 E, PF BC 于 F, 联结 PB 和 PC 由 角 平 分 线 性 质 得 : AE=AF。 又 易 证 : BEP CFP, 从而得到 BE=CF。所以 AB=A
11、C。命题成立。显然 , 以上结论是有悖于常理的 , 但是证明过程中论据充分 , 无懈可击 , 那究竟是哪里出错了呢 ?例 5 是关于古希腊数学中的一个很有代表性的经典 ( 假 ) 命题 , 它的错误证明的出现 , 激发了当时许多数学家对三角形性质的研究 , 并取得了丰硕的成果。另外如哥德巴赫猜想 , 费尔马大定理等内容的介绍 , 也都能激发学生的学习兴趣和求知欲 , 进而培养其的探索精神和自学能力。 (五 ) 趣味性原则 : 趣味数学本身就是以“趣味”来吸引人 , 打动人。要体现“趣味”就要力求问题朴实 , 贴近生活 , 解法新颖 , 使学生在探求过程中获得切身的感受和实践经验。以生活中的小事
12、入手 , 发现和总结出一些简明易懂 , 却不易察觉 , 甚至许多时候被忽略了的细节 , 并从中体验数学中蕴涵的乐趣。 例 7: 某班有 49 位学生 , 坐成 7 行 7 列 , 每个座位的前后左右的座位叫做它的“邻座”要让这 49 位同学都换到他的邻座上去且每人只能换一次座位 , 问这种调换位置的方案能不能实现 ?表面上看 , 由于每个人调换座位的选 择较多 , 所以把可以尝试的调换方法排列出来几乎有“无限”多种 ,感觉调换方案是可以实现的。然而经过几次有“规律”的尝试后发现都不能成功。于是接着猜想如果方案不能实现 , 考虑如何去否定它 , 却同样面临无从下手的窘境。这时 , 问题的“趣”便
13、体现出来了 , 在吸引思考者目光的同时 , 本题的解法又恰恰体现了“巧” , 利用数学的奇偶性这一浅显的数学思想来否定猜想的高超解法令人拍手叫绝。 解 :7 7 的表格代表所有座位 , 且座位上用 1, 0, 相互间隔。即 1 的前后左右都是 0, 0 的前后左右都是 1, 所以按照题目要 求 , 1 只能换到 0 的位置上 , 0只能换到 1 的位置上。显然 25 个 1 一次性换到 24 个 0 的位置上是不可能的 , 所以调换位置的方案不能实现。三、教学模式的进一步探讨和遗留问题 (一 ) 教学目标与教学内容 趣味数学选修课的开设是为了全面深入贯彻教学改革计划 , 实现对课堂教学的扩展
14、, 对必修课内容的合理补充。因此需要建立起系统的知识理论结构和对应的教学内容 , 确定专门的教学教材 , 并根据其的内容加以区分。如生活中的数学 , 各个专业中的数学建模 , 数学的发展史等等 , 分块分体系进行系统的教学 , 而 不仅仅简单的停留在解答个别趣味数学问题上。 ( 二 ) 数学实验和数学建模 数学实验和数学建模是对数学知识的深层次理解和应用。数学研究性学习也属于该范畴之内。在中职学校 , 理工类专业将数学和专业知识融合 , 开展有特色的数学和专业选修课 , 初步培养学生的数学建模能力 , 对学生的思维能力 , 动手能力的提高有着深远的影响 , 同时 , 它对学生的专业知识的提高也是大有裨益的。 ( 三 ) 建立评定机制 评价趣味数学选修课的效果 , 还需要建立起一套评定标准。而不再是仅仅依赖于传统解题能力的书面笔试考核 , 这是选修课的自身特 点所要求的 , 也是今后教学改革的方向之一 从传统的笔试向多元化的考试形式转变。同时 , 评定机制要以素质教育为目标 , 以考核学生的自学能力 , 探索能力 , 动手能力和对知识的融会贯通 , 灵活运用能力为主 , 以数学实验和数学模型取代抽象的理论数学题。
