1、 第 1 页 共 6 页 中学生标准学术能力诊断性测试 2018 年 9 月测试 理科 数学试卷 参考答案 一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 C 2 B 3 A 4 D 5 C 6 B 7 B 8 A 9 D 10 C 11 D 12 A 二、 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13 2 14 n2+n 15 3016 ( )1, 三、解答题：共 70分 ， 解答应写出文字说明 .证明过程或演算步骤 ， 第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答 ， 第 22,23题为选考
2、题，考生根据要求作答 （一）必考题： 60分。 17 （ 12分） （ 1） 3=AB ， 1=AC ， 60=A ，所以由余弦定理可知 ，2 2 23 1 - 2 3 1 c o s 6 0BC ， 7BC .3分 . 根据正弦定理，14213s in,237s3 = A CBA CBin6 分 （ 2） 2 2 2AB AC BC， ACB 为钝角，则14 714 2131c2 = ACBos 8分 71, 2A C C D ，在 ACD 中，根据余弦定理，222 7 7 71 -2 1 -2 2 1 4AD .10分 求得 132AD 12分 第 2 页 共 6 页 18.（ 12 分）
3、 （ 1）取 PC 中点 F ， E 是 PD 的中点， CDEF/ ，又由题意知 Q 是 FC 的中点，M 是 EC 的中点， QMEF/ ， .2 分 ABCDQM / .又 QM PAB平 面 , AB PAB平 面 ， PABQM 平面/ 4分 方法一：（ 2）当 45=PBA 时，存在线段 PC上的中点 F，使得 EF/平面 PAD，且 EF与平面 PBC 所成角为 45同时成立。 .5 分 理由如下： 由（ 1）知，当 F 为 PC 中点时， ABEF/ . PA ABCD平 面 , ABPA .又 四边形ABCD 为矩形， ADAB ， PADAB 平面 ， PADEF 平面 .
4、8 分 BCPA ， BCAB ， PABBC 平面 ， PABPBC 平面平面 ， PBA 为AB 与平面 PBC 所成角， 45PBA 12分 方法二：（ 2）当 45=PBA 时，存在线段 PC上的中点 F，使得 EF/平面 PAD，且 EF与平面 PBC 所成角为 45同时成立。 .5 分 理由如下： 由（ 1）知，当 F 为 PC 中点时， /EF CD . ABCDPA 平面 且 CD 平面 ABCD PA CD ABCD 为矩形 CD AD 且 PA AD A= CD平面 PAD EF平面 PAD.8 分 另一方面：过点 A作 AG PB 于 G 由上理 P A B CA B B
5、 C B CP A A D A = 平面 PAB AG 平面 PAB AG BC PB BC B= AG平面 PBC 第 3 页 共 6 页 AB 在平面 PBC内的射影为 PB ABP 就是直线 AB与平面 PBC所成的角 45PBA = 且 /EF CD ， /CD AB /EF AB 且 EF 与平面 PBC 成角 45.12分 （其他方法酌情给分） 19 （ 12 分） （ 1）由题意得 6,5,4,3,2= 故 411212 66)2( =P ， 311212 462)3( =P ， 1851212 44262)4( = +=P ，911212 242)5( =P ， 3611212
6、 22)6( =P . 所以 的分布列为 2 3 4 5 6 P 41 31 185 91 361 6分 （ 2）由题意知 的分布列为 1 b c P 21 31 61 35613121 =+= cbE ， 9561)35(31)35(21)351()( 222 =+= cbD 10 分 解得 2=b ， 3=c 12分 20. (12分） （ 1） 焦点 )0,3(F ，当 1=m 时，直线 1: =xl ，点 )23,1( A ，31023=AFk 或 31023 直线 AF 的方程为： )3(4 33 += xy 或 )3(4 33 += xy 3 分 第 4 页 共 6 页 （ 2）当
7、直线 l 的斜率不存在时， 1=m ， 2 33=ABFS或 233+ 4 分 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l ： )( mxky = ，联立方程 =+)(14 22mxkyyx ，得 0448)41( 22222 =+ kmxmkxk .设 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB ，则2221 418 kmkxx +=+，22221 41 44 kkmxx + =. 由题意知 11 | 2 =+kkm，即 1222 +=kmk 6分 222222212212121 41 )1(16)41 8(|4)(| kkmkmkkxxxxkxxkyy + +=+=，利用 式，消去 k ，得
8、 334|221 += myy， 3 |3|32|3|21221 += m myymS A B F当 1m 或 31 m 时， 3 )3(322 + = m mS A B F，令 mt = 3 ，( 0 , 3 1) ( 3 1, )t + + ，则 2 3332632632322+=+= tttttSA B F； .8 分 当 3m 时， 3 )3(322 += m mS A B F，令 3=mt ， )0( + ，t ，则12326 32632 322 +=+=tttttSA B F； .10 分 当 1=m 时， ABF 面积的最大值为 233+ 12分 21（ 12 分） （ 1）22
9、 )2)(1( )44()2( 41)( + +=+= xax axaxx aax axf当 10 a 时， 044 a ， ),0( +x 时， 0)( xf ， )(xf 单调递增； 第 5 页 共 6 页 当 1a 时， 044 a ， )44,0( ax 时， 0)( xf ， )(xf 单调递减；),44( + ax ， 0)( xf ， )(xf 单调递增。 .4分 （ 2） 由（ 1）讨论知，当 10 a 时， )(xf 在 ),0( +x 时， )(xf 单调递增， 0232ln2)0()( += fxf ， .6分 当 231 a 时， 232ln212 )1(4)12ln
10、(2)44()( += aaaaafxf 令 12 = at ， 2,1(t ， )1(ln2)( ttttg = ， 则 0)11()11(2)( 22 =+= ttttg， .10分 则 )(tg 单调递减， 232ln2)2()( = gtg ， 0)( xf 。 综上所述， 0)( xf 12 分 （其它方法酌情给分） （二）选考题：共 10 分 ， 请考生在第 22， 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 作答时请写清题号 22【 选修 44： 坐标系与参数方程 】 （ 10 分 ） （ 1）曲线 xyC 2: 2 = .4 分 （ 2）曲线 axyC 2: 2 =
11、 ， 直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程得， 0328)2228(2 =+ atat ， 设交点 A ， B 所对参数分别为 1t ， 2t ， 则 att 222821 +=+ ， 32821 += att ， .6 分 aattttttAB 3284)(| 22122121 +=+= ， .8分 | 2 MBMAAB = 328328 2 +=+ aaa 得 1=a .10分 23【 选修 45： 不等式选讲 】 （ 10 分 ） 第 6 页 共 6 页 （ 1）=+=252321323x-5|32|2|)(xxxxxxxxf.2分 当 23x 时， 32325 ,x,-x 当 232 x 时， 231213 ,x,x 当 2x 时， xx ,25 综上可知， 所求不等式的解集为 ( )13, .5分 （ 2） 要证： 1)( xxf ，即证： 1|3|2| + xaxx )2,0(x ， 即证： 1|3|2 + xaxx ，即证： 33ax .7分 30 a 且 )2,0(x ， 60 ax .8分 则 33-3- ax ，即 33ax ，则 1)( xxf 成立 . .10分
