1、 - 1 - 中 考数学冲刺 复习 资料 :二次函数压轴题 面积类 1如图，已知抛物线经过点 A（ 1， 0）、 B（ 3， 0）、 C（ 0， 3）三点 （ 1）求抛物线的解析式 （ 2）点 M 是线段 BC 上的点（不与 B， C 重合），过 M 作 MN y 轴交抛物线于 N，若点M 的横坐标为 m，请用 m 的代数式表示 MN 的长 （ 3）在（ 2）的条件下，连接 NB、 NC，是否存在 m，使 BNC 的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由 解答： 解：（ 1）设抛物线的解析式为： y=a（ x+1）（ x 3），则： a（ 0+1）（ 0 3） =3， a= 1； 抛
2、物线的解析式： y=（ x+1）（ x 3） = x2+2x+3 （ 2）设直线 BC 的解析式为： y=kx+b，则有： ， 解得 ； 故直线 BC 的解析式： y= x+3 已知点 M 的横坐标为 m， MN y，则 M（ m， m+3）、 N（ m， m2+2m+3）； 故 MN= m2+2m+3（ m+3） = m2+3m（ 0 m 3） （ 3）如图； S BNC=S MNC+S MNB=MN（ OD+DB） =MNOB， S BNC=（ m2+3m） 3=（ m） 2+ （ 0 m 3）； 当 m=时， BNC 的面积最大，最大值为 - 2 - 2如图，抛物线 的图象与 x 轴交于
3、 A、 B 两点，与 y 轴交于 C点，已知 B 点坐标为（ 4， 0） （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）试探究 ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （ 3）若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点，求 MBC 的面积的最大值，并求出此时 M点的坐标 解答： 解：（ 1）将 B（ 4， 0）代入抛物线的解析式中，得： 0=16a 4 2，即： a=； 抛物线的解析式为： y=x2 x 2 （ 2）由（ 1）的函数解析式可求得： A（ 1， 0）、 C（ 0， 2）； OA=1， OC=2， OB=4， 即： OC2=OAOB，又： OC AB， OAC OCB，得： OCA=
4、OBC； ACB= OCA+ OCB= OBC+ OCB=90， ABC 为直角三角形， AB 为 ABC 外接圆的直径； 所以该外接圆的圆心为 AB 的中点，且坐标为：（， 0） （ 3）已求得： B（ 4， 0）、 C（ 0， 2），可得直线 BC 的解析式为： y=x 2； 设直线 l BC，则该直线的解析式可表示为： y=x+b，当直线 l 与抛物线只有一个交点时，可列方程： x+b=x2 x 2，即： x2 2x 2 b=0，且 =0； 4 4（ 2 b） =0，即 b= 4； 直线 l： y=x 4 所以点 M 即直线 l 和抛物线的唯一交点，有： - 3 - ，解得： 即 M（
5、2， 3） 过 M 点作 MN x 轴于 N， S BMC=S 梯形 OCMN+S MNB S OCB=2（ 2+3） +23 24=4 平行四边形类 3如图，在 平面直角坐标 系中，抛物线 y=x2+mx+n 经过点 A（ 3， 0） 、 B（ 0， 3），点 P是直线 AB 上的动点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 M，设点 P 的横坐标为 t （ 1）分别求出直线 AB 和这条抛物线的解析式 （ 2）若点 P 在第四象限，连接 AM、 BM，当线段 PM 最长时，求 ABM 的面积 （ 3）是否存在这样的点 P，使得以点 P、 M、 B、 O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，
6、请直接写出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由 （ 1）分别利用 待定系数法求 两函数的解析式：把 A（ 3， 0） B（ 0， 3）分别代入 y=x2+mx+n与 y=kx+b，得到关于 m、 n 的两个方程组，解方程组即可； （ 2）设点 P 的坐标是（ t， t 3），则 M（ t， t2 2t 3），用 P 点的纵坐标减去 M 的纵坐标得到 PM 的长，即 PM=（ t 3）（ t2 2t 3） = t2+3t，然后根据二次函数的最值得到 - 4 - 当 t= =时， PM 最长为 =，再利用三角形的面积公式利用S ABM=S BPM+S APM计算即可； （ 3）由 PM OB，根
7、据平行四边形的判定得到当 PM=OB 时，点 P、 M、 B、 O 为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当 P 在第四象限： PM=OB=3， PM 最长时只有，所以不可能；当 P 在第一象限： PM=OB=3，（ t2 2t 3）（ t 3） =3；当 P 在第三象限： PM=OB=3，t2 3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的 t 的值 解答： 解：（ 1）把 A（ 3， 0） B（ 0， 3）代入 y=x2+mx+n，得 解得 ，所以抛物线的解析式是 y=x2 2x 3 设直线 AB 的解析式是 y=kx+b， 把 A（ 3， 0） B（ 0， 3）代入 y=kx+b，得 ，
8、解得 ， 所以直线 AB 的解析式是 y=x 3； （ 2）设点 P 的坐标是（ t， t 3），则 M（ t， t2 2t 3）， 因为 p 在第四象限， 所以 PM=（ t 3）（ t2 2t 3） = t2+3t， 当 t= =时，二次函数的最大值，即 PM 最长值为 =， 则 S ABM=S BPM+S APM= = （ 3）存在，理由如下： PM OB， 当 PM=OB 时，点 P、 M、 B、 O 为顶点的四边形为平行四边形， 当 P 在第四象限： PM=OB=3， PM 最长时只有，所以不可能有 PM=3 当 P 在第一象限： PM=OB=3，（ t2 2t 3）（ t 3） =
9、3，解得 t1= ， t2= （舍去），所以 P 点的横坐标是 ； 当 P 在第三象限： PM=OB=3， t2 3t=3，解得 t1= （舍去）， t2= ，所以 P点的 横坐标是 所以 P 点的横坐标是 或 - 5 - 4 如图，在平面 直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为 A（ 0， 1）， B（ 2， 0）， O（ 0，0），将此三角板绕原点 O 逆时针旋转 90，得到 ABO （ 1）一抛物线经过点 A、 B、 B，求该抛物线的解析式； （ 2）设点 P 是在第一象 限内抛物线上 的一动点，是否存在点 P，使四边形 PBAB 的面积是 ABO 面积 4 倍？若存在，请求出 P 的坐
10、标；若不存在，请说明理由 （ 3）在（ 2）的条件下，试指出四边形 PBAB 是哪种形状的四边形？并写出四边形 PBAB的两条性质 解：（ 1） ABO 是由 ABO 绕原点 O 逆时针旋转 90得到的， 又 A（ 0， 1）， B（ 2， 0）， O（ 0， 0）， A（ 1， 0）， B（ 0， 2） 方法一： 设抛物线的解析式为： y=ax2+bx+c（ a0）， 抛物线经过点 A、 B、 B， ，解得： ， 满足条件的抛物线的解析式为 y= x2+x+2 方法二： A（ 1， 0）， B（ 0， 2）， B（ 2， 0）， 设抛物线的解析式为： y=a（ x+1）（ x 2） 将 B（
11、 0， 2）代入得出： 2=a（ 0+1）（ 0 2）， 解得： a= 1， 故满足条件 的抛物线的解析式为 y=（ x+1）（ x 2） = x2+x+2； （ 2） P 为第一象限内抛物线上的一动点， 设 P（ x， y），则 x 0， y 0， P 点坐标满足 y= x2+x+2 - 6 - 连接 PB， PO， PB， S 四边形 PBAB=S BOA+S PBO+S POB， =12+2x+2y， =x+（ x2+x+2） +1， = x2+2x+3 AO=1， BO=2， ABO 面积为： 12=1， 假设四边形 PBAB 的面积是 ABO 面积的 4 倍，则 4= x2+2x+3
12、， 即 x2 2x+1=0， 解得： x1=x2=1， 此时 y= 12+1+2=2，即 P（ 1， 2） 存在点 P（ 1， 2），使四边形 PBAB 的面积是 ABO 面积的 4 倍 （ 3）四边形 PBAB 为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意 2 个均可 等腰梯形同一底上的两个内角相等； 等腰梯形对角线相等； 等腰梯形上底与下底平行； 等腰梯形两腰相等（ 10 分） 或用符号表示： BAB= PBA或 ABP= BPB； PA=BB； BP AB； BA=PB 5如 图，抛物线 y=x2 2x+c 的顶点 A 在直线 l： y=x 5 上 （ 1）求抛物线顶点 A 的坐标； （ 2
13、）设抛物线与 y 轴交于点 B，与 x 轴交于点 C、 D （ C 点在 D 点的左侧），试判断 ABD 的形状； （ 3）在直线 l 上是否存在一点 P，使以点 P、 A、 B、 D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由 - 7 - 解：（ 1） 顶点 A 的横坐标为 x= =1，且顶点 A 在 y=x 5 上， 当 x=1 时， y=1 5= 4， A（ 1， 4） （ 2） ABD 是直角三角形 将 A（ 1， 4）代入 y=x2 2x+c，可得， 1 2+c= 4， c= 3， y=x2 2x 3， B（ 0， 3） 当 y=0 时， x2 2x
14、 3=0， x1= 1， x2=3 C（ 1， 0）， D（ 3， 0）， BD2=OB2+OD2=18， AB2=（ 4 3） 2+12=2， AD2=（ 3 1） 2+42=20， BD2+AB2=AD2， ABD=90，即 ABD 是直角三角形 （ 3）存在 由题意知：直线 y=x 5 交 y 轴于点 E（ 0， 5），交 x 轴于点 F（ 5， 0） OE=OF=5， 又 OB=OD=3 OEF 与 OBD 都是等腰直角三角形 BD l，即 PA BD 则构成平行四边形只能是 PADB 或 PABD，如图， 过点 P 作 y 轴的垂线，过点 A 作 x 轴的垂线交过 P 且平行于 x
15、轴的直线于点 G 设 P（ x1， x1 5），则 G（ 1， x1 5） 则 PG=|1 x1|， AG=|5 x1 4|=|1 x1| PA=BD=3 由勾股定理得： （ 1 x1） 2+（ 1 x1） 2=18， x12 2x1 8=0， x1= 2 或 4 P（ 2， 7）或 P（ 4， 1）， 存在点 P（ 2， 7）或 P（ 4， 1）使以点 A、 B、 D、 P 为顶点的四边形是平行四边形 - 8 - 周长类 6如 图， Rt ABO 的两直角边 OA、 OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上， O 为坐标原点， A、 B 两点的坐标分别为（ 3， 0）、（ 0， 4）
16、，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 B，且顶点在直线 x=上 （ 1）求抛物线对应的函数关系式； （ 2）若把 ABO 沿 x 轴向 右平移得到 DCE，点 A、 B、 O 的对应点分别是 D、 C、 E，当四边形 ABCD 是菱形时，试判断点 C 和点 D 是否在该抛物线上，并说明理由； （ 3）在（ 2）的条件下，连接 BD，已知对称轴上存在一点 P 使得 PBD 的周长最小，求出 P 点的坐标； （ 4）在（ 2）、（ 3）的 条件下， 若点 M 是线段 OB 上的一个动点（点 M 与点 O、 B 不重合），过点 M 作 BD 交 x 轴于点 N，连接 PM、 PN，设 OM 的长为
17、t， PMN 的面积为 S，求 S和 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围， S 是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时 M 点的坐标；若不存在，说明理由 - 9 - 解：（ 1） 抛物线 y= 经过点 B（ 0， 4） c=4， 顶点在直线 x=上， = =， b= ； 所求函数关系式为 ； （ 2）在 Rt ABO 中， OA=3， OB=4， AB= ， 四边形 ABCD 是菱形， BC=CD=DA=AB=5， C、 D 两点的坐标分别是（ 5， 4）、（ 2， 0）， 当 x=5 时， y= ， 当 x=2 时， y= ， 点 C 和点 D 都在所求抛物线上； （ 3）设
18、CD 与对称轴交于点 P，则 P 为所求的点， 设直线 CD 对应的函数关系式为 y=kx+b， 则 ，解得： ， ， 当 x=时， y= ， P（ ）， （ 4） MN BD， OMN OBD， 即 得 ON= ， 设对称轴交 x 于点 F，则 （ PF+OM） OF=（ +t） ， ， S PNF=NFPF=（ t） = ， S= （ ）， = （ 0 t 4）， a= 0 抛物线开口向下， S 存在最大值 由 S PMN= t2+ t=（ t ） 2+ ， 当 t= 时， S 取最大值是 ，此时，点 M 的坐标为（ 0， ） - 10 - 等腰三角形类 7如图，点 A 在 x 轴上， O
19、A=4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至 OB 的位置 （ 1）求点 B 的坐标； （ 2）求经过点 A、 O、 B 的抛物线的解析式； （ 3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、 O、 B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由 解：（ 1）如图，过 B 点作 BC x 轴，垂足为 C，则 BCO=90， AOB=120， BOC=60， 又 OA=OB=4， OC=OB=4=2， BC=OBsin60=4 =2 ， 点 B 的坐标为（ 2， 2 ）； （ 2） 抛物线过原点 O 和点 A、 B， 可设抛物线解析式为 y=ax2
20、+bx， 将 A（ 4， 0）， B（ 2 2 ）代入，得 ，解得 ， 此抛物线的解析式为 y= x2+ x （ 3）存在， 如图，抛物线的对称轴是直线 x=2，直线 x=2 与 x 轴的交点为 D，设点 P 的坐标为（ 2， y）， 若 OB=OP， 则 22+|y|2=42，解得 y=2 ， 当 y=2 时，在 Rt POD 中， PDO=90， sin POD= = ， POD=60， POB= POD+ AOB=60+120=180， - 11 - 即 P、 O、 B 三点在同一直线上， y=2 不符合题意，舍去， 点 P 的坐标为（ 2， 2 ） 若 OB=PB，则 42+|y+2
21、|2=42， 解得 y= 2 ， 故点 P 的坐标为（ 2， 2 ）， 若 OP=BP，则 22+|y|2=42+|y+2 |2， 解得 y= 2 ， 故点 P 的坐标为（ 2， 2 ）， 综上所述，符合条件的点 P 只有一个，其坐标为（ 2， 2 ） ， 8在平 面直角坐标系 中，现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点 A（ 0， 2），点 C（ 1， 0），如图所示：抛物线 y=ax2+ax 2 经过点 B （ 1）求点 B 的坐标； （ 2）求抛物线的解析式； （ 3）在抛物线上是否还 存在点 P（点 B 除外），使 ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直
22、角三角形？若存在，求所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 解：（ 1）过点 B 作 BD x 轴，垂足为 D， BCD+ ACO=90， ACO+ CAO=90， BCD= CAO，（ 1 分） 又 BDC= COA=90， CB=AC， BCD CAO，（ 2 分） BD=OC=1， CD=OA=2，（ 3 分） 点 B 的坐标为（ 3， 1）；（ 4 分） - 12 - （ 2）抛物线 y=ax2+ax 2 经过点 B（ 3， 1）， 则得到 1=9a 3a 2，（ 5 分） 解得 a=， 所以抛物线的解析式为 y=x2+x 2；（ 7 分） （ 3）假设存在点 P，使得 ACP 仍然
23、是以 AC 为直角边的等腰直角三角形： 若以点 C 为直角顶点； 则延长 BC 至点 P1，使得 P1C=BC，得到等腰直角三角形 ACP1，（ 8 分） 过点 P1 作 P1M x 轴， CP1=BC， MCP1= BCD， P1MC= BDC=90， MP1C DBC（ 10 分） CM=CD=2， P1M=BD=1，可求得点 P1（ 1， 1）；（ 11 分） 若以点 A 为直角顶点； 则过点 A 作 AP2 CA，且使得 AP2=AC，得到等腰直角三角形 ACP2，（ 12 分） 过点 P2 作 P2N y 轴，同理可证 AP2N CAO，（ 13 分） NP2=OA=2， AN=OC
24、=1，可求得点 P2（ 2， 1），（ 14 分） 经检验，点 P1（ 1， 1）与点 P2（ 2， 1）都在抛物线 y=x2+x 2 上（ 16 分） 9 在平面 直角坐标系中 ，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点 A（ 0， 2），点 C（ 1， 0），如图所示，抛物线 y=ax2 ax 2 经过点 B （ 1）求点 B 的坐标； （ 2）求抛物线的解析式； （ 3）在抛物线上是否还存 在点 P（点 B 除外），使 ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 - 13 - 解：（ 1）过点 B 作 BD x
25、轴，垂足为 D， BCD+ ACO=90， AC0+ OAC=90， BCD= CAO， 又 BDC= COA=90， CB=AC， BDC COA， BD=OC=1， CD=OA=2， 点 B 的坐标为（ 3， 1）； （ 2） 抛物线 y=ax2 ax 2 过点 B（ 3， 1）， 1=9a 3a 2， 解得： a=， 抛物线的解析式为 y=x2 x 2； （ 3）假设存在点 P，使得 ACP 是等腰直角三角形， 若以 AC 为直角边，点 C 为直角顶点， 则延长 BC 至点 P1 使得 P1C=BC，得到等腰直角三角形 ACP1，过点 P1 作 P1M x 轴，如图（ 1）， CP1=B
26、C， MCP1= BCD， P1MC= BDC=90， MP1C DBC， CM=CD=2， P1M=BD=1， P1（ 1， 1），经检验点 P1 在抛物线 y=x2 x 2 上； 若以 AC 为直角边，点 A 为直角顶点，则过点 A 作 AP2 CA，且使得 AP2=AC， 得到等腰直角三角形 ACP2，过点 P2 作 P2N y 轴，如图（ 2）， 同理可证 AP2N CAO， NP2=OA=2， AN=OC=1， P2（ 2， 1），经检验 P2（ 2， 1）也在抛物线 y=x2 x 2 上； 若以 AC 为直角边，点 A 为直角顶点，则过点 A 作 AP3 CA，且使得 AP3=AC， 得到等腰直角三角形 ACP3，过点 P3 作 P3H y 轴，如图（ 3）， 同理可证 AP3H CAO， HP3=OA=2， AH=OC=1， P3（ 2， 3），经检验 P3（ 2， 3）不在抛物线 y=x2 x 2 上； 故符合条件的点有 P1（ 1， 1）， P2（ 2， 1）两点
